精品解析：北京市2025年高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共6页：分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共54分） 一、选择题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 已知函数则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则角可以为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. （ ） A. B. C. D. 1 13. 北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 15. 空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量状况，空气质量等级划分如下： AQI AQI AQI 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图： 根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. 10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10 B. 10月8日至27日的AQI的极差小于150 C. 10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI D. 10月8日至27日的AQI逐渐增大 16. 在中，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 17. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 18. 某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B. 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C. 若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D. 若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 第二部分（非选择题共46分） 二、填空题共3小题，每小题4分，共12分. 19. 已知函数，则的定义域是____________. 20. 甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是______；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则______.（填“>”，“=或“<”） 21. 如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共4小题，共34分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 22. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 23. 阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A. B. ② A平面 B平面 ③ A. B. ④ A. B. ⑤ A.平面 B.平面 ⑥ A. B. 24. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）当时，求的最小值. 25. 给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. （1）当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） （2）（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共6页：分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共54分） 一、选择题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的几何表示即可得. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以. 故选：A. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用向量平行的坐标性质列出等式即可求解． 【详解】根据，， 若，则， 即，即． 故选：D． 5. 已知函数则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下： 由图可知，的最小值是. 故选：C 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可求得答案. 【详解】命题“”为存在量词命题,它的否定为全称量词命题, 即, 故选：A 7. 若，则角可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可确定答案. 【详解】由于， 故，则角可以为， 故选：C 8. 已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 9. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的概念计算出a，根据负指数幂的概念计算出b，从而可以比较大小． 【详解】， ∴， 故选：D． 10. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 11. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为幂函数的定义域为，且在上单调递增，又为奇函数， 故上单调递增，则由可推出，故充分性成立； 由也可推出，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 12. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】由. 故选：B. 13. 北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】基本事件总数，包含故宫的基本事件个数，由此即可求出概率． 【详解】在4个著名景点中随机选择2个景点，总的选法有：， 其中包含故宫的有：， 则概率． 故选：C． 14. 已知向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 15. 空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量的状况，空气质量等级划分如下： AQI AQI AQI 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得AQI绘制的折线图： 根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. 10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10 B. 10月8日至27日的AQI的极差小于150 C. 10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI D. 10月8日至27日的AQI逐渐增大 【答案】A 【解析】 【分析】根据图表信息对每个选项进行判断即可. 【详解】选项A，根据图表信息，10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10，所以A正确. 选项B，根据图表信息，10月8日至27日AQI的最大值大于200，最小值在20左右，所以极差大于150，所以B错误； 选项C，根据图表信息，10月8日至27日的AQI数值共有20个，其中位数应是AQI数值按大小顺序排列后中间两个数的平均值，所以C错误； 选项D，根据图表信息，10月8日至27日的AQI是波动的，无逐渐增大的趋势，所以D错误. 故选：A. 16. 在中，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即可. 【详解】依题意，. 故选：B 17. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 18. 某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B. 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C. 若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D. 若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的概念即可逐一判断. 【详解】若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故A错误； 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故B错误； 对于第一阶梯，用户缴费的最大值为元，而第二阶梯用户缴费必然大于元，所以若某户居民自来水年缴费为元，则他来自第一阶梯，故C错误. 由C可知：元费用必在第二阶梯或以上，设用水量为，则，解得，因为，故D正确 故选：D 第二部分（非选择题共46分） 二、填空题共3小题，每小题4分，共12分. 19. 已知函数，则的定义域是____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶数次方根号里的数大于等于零即可得出答案. 【详解】解：由函数，得， 所以的定义域是. 故答案为：. 20. 甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是______；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则______.（填“>”，“=或“<”） 【答案】 ①. 7 ②. ＜ 【解析】 【分析】利用给定数据求出平均数；再利用方差公式求出方差并比较大小. 【详解】甲运动员命中环数的平均数， 乙运动员命中环数的平均数， ， ，因此. 故答案为：7；< 21. 如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题可通过建立平面直角坐标系，结合蜂巢的图形并利用向量的坐标运算来逐一分析三个结论． 【详解】①因为正六边形边长为1，由图形可知，该六边形最长的对角线为2，到在竖直方向上间隔2个最长对角线以及1个正六边形边长对应的距离，最长对角线， 故，①正确． ②建立如图所示平面直角坐标系，由且AB在竖直方向， 可得，则，设，那么，则， 要使最大，需要最大，结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中M点时）， 此时，即的最大值为25，②正确． ③同样基于②建立的平面直角坐标系，虽然C、D两点异于A、B两点，但因为图中蜂巢的对称性， C、D两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题， 为使得C、D两点相距最远，两点之间应靠近边界，根据对称性，可假设C点位于原点A， 此时根据对称性只需要考虑D点位于y轴左边即可，所以. 由图观察可见，离C点最远的顶点应是六边形的顶点， 而对于正六边形MNPQRS，其中，U为PR中点，，，， 在正六边形MNPQRS中，外边界四点P、N、M、S离C点相对较远， 对应坐标为，即，，即， ，即，，即， 可知，，所以外边界四点P、N、M、S中，只需要考虑M、N两点， 因、，故应取更大的，③正确． 故答案为：①②③． 三、解答题共4小题，共34分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 22. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 【答案】（1） （2）2，0（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式求解. （2）利用余弦函数的最值及取最值的条件求解. 【小问1详解】 函数， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 函数的定义域为，则，， 当，即时，取得最大值2， 所以取得最大值2时的一个值是0.（答案不唯一） 23. 阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A. B. ② A.平面 B.平面 ③ A. B. ④ A. B. ⑤ A.平面 B.平面 ⑥ A. B. 【答案】（1）①A，②A （2）③A，④A，⑤B，⑥B 【解析】 【分析】根据题目条件逐项将证明过程补充完整即可. 【小问1详解】 ①线线平行，即，所以选A； ②直线在平面外，即平面，所以选A. 故选：A，A. 【小问2详解】 ③等腰三角形底边上“三线合一”，即，所以选A； ④直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选A； ⑤直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面，即平面，所以选B； ⑥直线垂直于平面，则直线垂直于该平面内的所有直线，即，所以选B. 故选：A，A，B，B. 24. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. 【小问2详解】 已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 25. 给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. （1）当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） （2）（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 【答案】（1）不满足性质①，满足性质① （2）（）.（答案不唯一）（）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义，结合给出的向量序列即可判断； （2）根据定义，（）任写一个同时满足性质①和性质②的向量序列即可， （）分情况讨论向量不同时在向量序列中的情况即可得证. 【小问1详解】 根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，且向量互不相等. 对于向量序列，其末向量不满足性质①，所以不满足性质①； 对于向量序列，其首向量为，末向量为，且向量互不相等，所以满足性质①. 综上，不满足性质①，满足性质①. 【小问2详解】 （）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，，且向量互不相等. 根据性质②，当时，相邻向量差， 即相邻向量要么增加且不变，要么不变且根据前一向量增加或减小. 所以可写出向量序列，经验证，同时满足性质①和性质②. （）设向量序列. 因为满足性质②，所以或. 由性质①且可得， 根据已知条件，存在正整数，使得. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 故当，且向量不同时在向量序列中使，向量序列成对出现. 综上，任何满足条件的序列，在其第一个坐标为4的向量确定后（为或），都有两种方式延伸至终点. 因此，所有满足条件的序列总数是所有可能的前缀路径（截止到第一个坐标为4的向量）数量的两倍，故总数为偶数.” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $