专题01 二次函数与特殊图形2026-2027学年九年级数学上册人教版

专题01 二次函数与特殊图形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次函数与一般等腰三角形】 1．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 2．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于．点是第三象限抛物线上的一动点，连接，，，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)若的面积等于面积的，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的纵坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，垂足为设点的横坐标为，则点的坐标为，，由的面积等于面积的构造方程求解即可； （3）先求得直线为，进而得，，设，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：把，分别代入中 得 解得 ∴二次函数的表达式为 设，则 解得（舍去）， ∴点坐标为 （2）解：如图，过点作轴，垂足为 设点的横坐标为 ∴点的坐标为， ∵点坐标为 ∴ ∵的面积等于面积的 ∴ 即， ∴ 解得，． ∴设坐标为 （3）解：设直线为， ∵直线为过设坐标为，点坐标为， ∴， 解得， ∴直线为， 当，得， ∴，， ∵二次函数的表达式为， ∴二次函数的对称轴为， 设，， 当时， ∵点坐标为， ∴， 解得或， ∴点的纵坐标为或， 当时，同理可得点的纵坐标为或， 综上，点的纵坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，二次函数的图像及性质，待定系数法求解一次函数与二次函数，二次函数与特殊三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 3．如图，若抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴于点H，交于点M，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D为抛物线的顶点，连接，，求的面积； (3)在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先配方得到顶点D的坐标，然后根据解答即可； （3）先表示，，，然后分为或两种情况列方程解题即可； （4）设点，，求出的最值时的点P的坐标，然后设，表示，，，然后分局勾股定理列方程解题即可． 【详解】（1）解：将A，两点的坐标代入， 得，解得， 故二次函数的表达式为； （2）解：， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：存在. 令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把点B和C的坐标代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点M的坐标为， ， ， ， 当时，， 解得 ，(舍去)， ； 当时， 解得 (舍去)， (舍去)， ； 综上，点的坐标为或； （4）解：设点，， ∴， 当时，最大为， 又∵， ∴的值最大，此时点， 设， 则，，， 当时，， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，， 解得：（舍去）， 综上所述点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，二次函数与一次函数的综合是解题的关键． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标； (3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或. 【分析】(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可． 【详解】(1)∵抛物线经过点和点． ∴抛物线的表达式为：， ∴对称轴为：x==-2， 把x=-2代入得：y=4， ∴顶点. (2)设点， 则，， 矩形的周长， ∵， ∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为. (3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠DBA， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0） ∴，， ①当时， ∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD， ∴， ∴， ∴=AB-AM=1； ②当时，则， ∵∠DMN=∠DBA， ∴∠NDM=∠DBA， ∵∠DAB是公共角， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∵，即， ∴； ③当时， ∵，而， ∴， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏． 【题型2 二次函数与等腰直角三角形】 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当M点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点M的坐标； ②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使是以为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2＋2x−3；（2）S最大值为，点M的坐标为（−，−）；（3）P（−1，−1）、M（−2，−3） 【分析】（1）将C（0，−3）代入抛物线的解析式求得k的值，从而得到抛物线的解析式； （2）连接AC，过点M作MD⊥x轴，交AC于点D．先求得点A、B的坐标，然后再求得直线AC的解析式，设M（x，x2＋2x−3），则D（x，−x−3），则MD＝−x2−3x，然后依据四边形AMCB的面积＝△ABC面积＋△AMC面积列出S与x的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，从而可求得点M的坐标； （3）先求得抛物线的对称轴方程为x＝−1，然后过点M作MD⊥直线x＝−1，垂足为D，设直线x＝−1与x轴交于点E，先证明△APE≌△PMD，从而得到EP＝MD，AE＝PD．设点P（−1，a），点M（a−1，a−2）．将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M与点P的坐标． 【详解】解：（1）∵y＝（x＋1）2＋k与y轴交于点C（0，−3） −3＝1＋k，得，k＝−4 ∴抛物线解析式为y＝（x＋1）2−4，即y＝x2＋2x−3； （2）如图1所示：连接AC，过点M作MD⊥x轴，交AC于点D． 令y＝0得：x2＋2x−3＝0，解得x1＝−3，x2＝1， ∴A（−3，0）、B（1，0）． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b． ∵将A（−3，0）、C（0，−3）代入得：，解得k＝−1，b＝−3． ∴直线AC解析式为y＝−x−3． 设M（x，x2＋2x−3），则D（x，−x−3），则MD＝−x2−3x． ∵四边形AMCB的面积＝△ABC面积＋△AMC面积， ∴四边形AMCB的面积＝MD•AO＋AB•OC＝×（−x2−3x）×3＋×4×3＝−x2−x＋6＝−（x＋）2＋． ∴当x＝−时，S最大值为，点M的坐标为（−，−）． （3）存在，理由如下． ∵x＝＝−1， ∴抛物线的对称轴为：直线x＝−1． 如图2所示：过点M作MD⊥直线x＝−1，垂足为D，设直线x＝−1与x轴交于点E， ∵△APM为等腰直角三角形， ∴AP＝PM，∠APE＋∠MPD＝90°． ∵∠MPD＋∠PMD＝90°， ∴∠PMD＝∠APE． 在△APE和△PMD中 ， ∴△APE≌△PMD（AAS）． ∴EP＝MD，AE＝PD． 设点P（−1，a），点M（a−1，a−2）． 将M点代入y＝x2＋2x−3中，得（a−1）2＋2（a−1）−3＝a−2，整理得：a2−a−2＝0，解得a＝2或a＝−1， ∵点P在x轴的下方， ∴a＝−1． ∴P（−1，−1）、M（−2，−3）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判断、求二次函数的最大值，列出S与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，用含a的式子表示点M的坐标是解答问题（3）的关键． 7．如图，抛物线的图像与轴交于A，B两点，与轴交于点C，其中，B点坐标为，C点坐标为，点D是抛物线上一动点，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)动点D位于直线下方的抛物线上时，连接，，是否存在点D使得的面积最大，若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，说明理由； (3)动点P在对称轴上何处时，使得为直角三角形，求出此时P点坐标． 【答案】(1) (2)存在． (3)或或或 【分析】（1）把点，两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论； （2）存在．设，连接．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题； （3）设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点．则，，分三种情形：，，，分别求解可得结论． 【详解】（1）解： 抛物线的图象经过点，点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在． 理由：如图，连接，设．    令，则， 解得或2， ，， ， ， ， ，， 时，的面积最大，最大值为4，此时； （3）解：如图，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点．    抛物线的对称轴为直线， ．，， ，， ， 当时，，， 是等腰直角三角形， ， ， 当时，， 是等腰直角三角形， ， 当时，设，设的中点为，连接，则，过点作于点， ，， ， ， 解得或， ，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 8．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线经过点，得到，进而把抛物线解析式化为顶点式得到抛物线对称轴是直线，再根据抛物线的对称性即可求出点D的坐标为； （3）①根据题意得到，则，再由是的垂直平分线，得到，即可得到，求出；②根据平行四边形的性质得到，则点E的坐标为或，再由点E在抛物线上进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得A的坐标为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的对应的函数关系式为：． （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴是直线， ∵轴，，即 ∴点D的坐标为； （3）解：①当，是等腰直角三角形时，． ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴． ∴． ∴点M的坐标为； ②∵若以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴点E的坐标为或， ∵点E在抛物线上， ∴或 ∴（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【题型3 二次函数与平行四边形】 9．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2)满足条件的点坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ 设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述：满足条件的点坐标为或或． 10．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分别令，令，即可求解； （3）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 11．抛物线y＝ax2+bx﹣2的图像经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求A、B、C点的坐标； (3)求证：△ACB是直角三角形； (4)P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2） (3)见解析 (4)P1（﹣5，﹣2），P2（5，﹣2），P3（3，2） 【分析】（1 ）利用待定系数确定抛物线的函数解析式； （2 ）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系写出带你A、B、C的坐标； （3 ）利用勾股定理的逆定理证明； （4 ）需要分类讨论：分当P点在AB（x轴）下方和当P点在AB（x轴）上方两种情况，利用平行四边形的对边平行且相等的性质解答． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴即为所求； （2）解：由知，令x＝0，得y＝﹣2； 令y＝0，即， 解得x1＝﹣1，x2＝4． ∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）； （3）证明：如图，由（2）知OA＝1，OB＝4，OC＝2， ∴AB＝OA+OB＝5． 又由勾股定理得：AC＝，BC＝． ∵AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （4） 解：如图，①当P点在AB（x轴）下方时， 则当PC∥AB，且PC＝AB时，四边形ABCP为平行四边形， 过C点向右作PC∥AB，此时P1（﹣5，﹣2）． 过C点向左作PC∥AB，此时P2（5，﹣2）； ②当P点在AB（x轴）上方时， 则当AB和CP为对角线时，四边形ACBP为平行四边形， 作P3D⊥AB于D，连接P3C交AB于E，则P3D＝OC＝2， 易得：△AOC≌△BDP3， ∴BD=OA=1， ∴OD＝3，即P3（3，2）（此时为特殊的平行四边形）． ∴满足要求的P点有3个，分别为P1（﹣5，﹣2），P2（5，﹣2），P3（3，2）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数关系式，二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识点．解答（4）题时，一定要分类讨论，以防漏解． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点（与，不重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． (4)若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使的值最小？最小值为______． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为，，或 (4)存在， 【分析】（1）根据，在抛物线上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）先求出点的坐标和直线的解析式，设点，则，根据，得，最后利用二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，分两种情况讨论，设，当平行四边形以为边时，可得，，即轴，则点和的纵坐标相等，代入可求，则，即，求解即可；当平行四边形以为对角线时，易得点和的纵坐标的绝对值相等，代入可求或，再根据中点坐标公式，即可求解； （4）连接，，作点关于轴的对称点，连接，分别求出点、和的坐标，根据对称的性质，可得，，从而，进而可得当、、、四点共线时， 最小值为的长，最后根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，，即， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， ， ， 当时，取得最大值，为， 则面积的最大值是； （3）解：存在，的坐标为，，或； 设点， 如图，当平行四边形以为边时， 以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形， ，，即轴， 点在抛物线上，， 当时，，解得或（舍去）， ， ， ， ，解得或， 则或； 如图，当平行四边形以为对角线时， 平行四边形以为对角线， 点和到的距离相等，即点和的纵坐标的绝对值相等， 的纵坐标为3， 当时，，解得或， 即或 平行四边形的对角线互相平分，即和的中点的横坐标相等， 当时，，解得， 当时，，解得， 或； 综上所述：在轴上存在点，坐标为，，或时，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形； （4）解：存在，最小值为， 连接，，作点关于轴的对称点，连接， 直线为抛物线的对称轴， 对称轴， 抛物线与轴交于点， 当时，，即， ， 点和关于对称轴对称， ， 直线的解析式为， 当时，，即 点和点关于轴对称， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即最小值为的长， ，，， 轴，，， 在中，， 存在点，使的值最小，最小值为． 【题型4 二次函数与矩形】 13．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标； (3)如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：y＝，点D（﹣2，4） (2)矩形PEFG周长最大时，点P的横坐标为 (3)存在，AN＝1或 【分析】（1）抛物线的表达式为：y=-，即可求解； （2）PE=，PG=2（-2-m）=-4-2m，矩形PEFG的周长=2（PE+PG），即可求解； （3）分MN=DM、NM=DN、DN=DM，三种情况分别求解． 【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝＝， 则点D（﹣2，4）； （2）设点P（m，）， 则PE＝，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m， 矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣4﹣2m）＝， ∵＜0，故当m＝时，矩形PEFG周长最大， 此时，点P的横坐标为； （3）∵∠DMN＝∠DBA， ∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB， ∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN， ∴∠NMA＝∠MDB， ∴△BDM∽△AMN，， 而AB＝6，AD＝BD＝5， ①当MN＝DM时， ∴△BDM≌△AMN， 即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1； ②当NM＝DN时， 则∠NDM＝∠NMD， ∴△AMD∽△ADB， ∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝， 而，即＝， 解得：AN＝； ③当DN＝DM时， ∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN， ∴∠DNM＞∠DMN， ∴DN≠DM； 故AN＝1或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x-2经过点C，交y轴于点G． （1）求点C、D的坐标； （2）已知抛物线的顶点在y= x-2 上，且经过C、D两点，若抛物线与y轴交于点M，连接MC，设点Q是线段MC下方此抛物线上一点，当点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的坐标和△MCQ面积的最大值；     （3）将（2）中抛物线沿直线y= x-2 平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E(顶点在y轴右侧），平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形?若存在，请求出此时抛物线的解析式；存不存在，请说明理由． 【答案】(1) C（4，2），D（1，2）;(2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）根据矩形性质得出C、D纵坐标，再令y=2求出x的值，故可得出OA的长，根据正方形的性质即可得出C、D的坐标； （2）由二次函数对称性得出其顶点坐标，设抛物线解析式为y=a（x-）2+，把点D（1，2）代入求出a的值，故可得出二次函数的解析式，得出点M的坐标．利用待定系数法求出直线CM的解析式，再根据三角形的面积即可得出结论； （3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m-2）（m＞0），故可设解析式为y=（x-m）2+m-2，再分FG=EG，GE=EF及FG=FE三种情况进行讨论． 【详解】解：（1）在矩形ABCD中， BC=2，AB=3， ∴点C的纵坐标为2， ∵点C在直线 y=x-2上， 令y=2，2=x-2，解得x=4， 则OA=4-3=1， ∴C（4，2），D（1，2）； （2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为=, 令x=,则y=×-2=， ∴顶点坐标为（，）， ∴设抛物线解析式为y=a（x-）2+，把点D（1，2）代入得，a=， ∴解析式为y=( x-)2+ , 即y＝x2-x+ 又∵C（4，） ∴直线CM的解析式为 过点Q作QH⊥x轴交直线CM于点H 设Q（m，m2-m+）, 则H（m，-m+） ∴S△MCQ= QH(xc−xm)＝2(-m+-m2+m-) =-(m−2)2+ 所以当m=2时，S△MCQ最大=，此时Q（2，） （3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m-2）（m＞0） ∴可设解析式为y=（x-m）2+m-2， ①若FG=EG时，FG=EG=2m，则F（0，2m-2）， 代入解析式得m2+m-2=2m-2, 得m=0（舍去），m=- 此时所求的解析式为：y=（x-+）2+3-; ②若GE=EF时，FG=2m，则F（0，2m-2）， 代入解析式得：m2+m-2=2m-2,解得m=0（舍去），m= 此时所求的解析式为：y= y=（x-）2-; ③若FG=FE时， ∵平移后抛物线的顶点在y轴右侧， ∴∠GEF为钝角， ∴此种情况不存在． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到轴对称的性质、二次函数图象上点的坐标特点等知识，难度较大． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)符合条件的点坐标为：或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点 解得 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得 ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴点的坐标为； 答：的最大值为，点的坐标为； （3）解：， 则抛物线的顶点，对称轴为， 情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点， ∵四边形为矩形， ∴与纵坐标相同， ∴； 情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形， 过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述：符合条件的点坐标为：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用． 【题型5 二次函数与菱形】 17．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积为 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 18．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）①存在，点的坐标为或；②． 【分析】（1）分别令和时即可求解，，三点的坐标，然后再进行求解直线，的函数表达式即可； （2）①设点的坐标为，其中，由题意易得，，，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解． 【详解】解：（1）当时，，解得，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：． 同理可得直线的函数表达式为：； （2）①存在．设点的坐标为，其中， ∵点，点的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解，得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或； ②由题意可得如图所示： 由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为， ∴点，， ∴， 设点， ∵， ∴设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∴联立直线l与直线AC的解析式得：， 解得：， ∴， ∴点， ∵点是直线下方抛物线上的一个动点，且， ∴点M在点N的上方才有可能， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴由两点距离公式可得． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键． 19．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【答案】(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点． (1)求点，点的坐标； (2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式； (3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积． 【答案】(1)， (2) (3)四边形，是菱形，面积最大的菱形面积为18 【分析】（1）当时，，然后求解即可； （2）首先将抛物线配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后根据中心对称的性质得到抛物线的二次项系数为，顶点坐标为，进而求解即可； （3）首先求出，，，，然后得出，，，结合，证明出四边形，是菱形，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴抛物线的二次项系数为，顶点坐标为 ∴抛物线的表达式为； （3）解：如图所示， 当时， ∴ ∵，，抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴，， ∴，， ∴四边形，是平行四边形 又∵， ∴四边形，是菱形 由图可得，菱形的面积大于菱形的面积 ∴菱形的面积． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，关于点成中心对称的图形的性质以及菱形的判定和面积公式，其中根据中心对称的性质求出抛物线的函数表达式是解题的关键． 【题型6 二次函数与正方形】 21．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(1，0)，如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）（3，1）；（2）y=x2-x-2；（3）存在，点P（-1，-1）或（-2，1） 【分析】（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标； （2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案． 【详解】（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BDC≌△COA， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）；    （2）∵抛物线y=ax2-ax-2过点B（3，1）， ∴1=9a-3a-2， 解得：a=， ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2； （3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形， ①若以AC为直角边，点C为直角顶点， 则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1， ∴P1（-1，-1），经检验点P1在抛物线y=x2-x-2上；    ②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）， 同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1， ∴P2（-2，1），经检验P2（-2，1）也在抛物线y=x2-x-2上；    ③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC， 得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）， 同理可证△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1， ∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2-x-2上； 故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两点．    【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．解题关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用的应用． 23．如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 24．如图①，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是的中点，点是抛物线上的一个动点． (1)直接写出点的坐标______； (2)求该抛物线的解析式； (3)当时，求四边形的面积； (4)如图②，过点作直线的垂线，垂足为．以为对角线作正方形，当点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)或 【分析】（1）令，求出点C的坐标，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据，可得点P的纵坐标为4，进而得到点P的坐标为，再由梯形的面积公式，即可求解； （4）先求出，根据正方形的性质可得，，从而得到轴，点M与点Q的横坐标相等，轴，然后求出直线的解析式可得点M的坐标为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据，可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵点是的中点， ∴点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：把点，代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵，点D的坐标为， ∴点P的纵坐标为4， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∵点，， ∴， ∴四边形的面积； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形正方形， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴轴， 即点M与点Q的横坐标相等，轴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点M与点Q的横坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， 即点P的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点；熟练运用化归的数学思想方法成为解题的关键． 【题型7 二次函数与等腰梯形】 25．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O，A，C三点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标； (3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM是等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)； (3)存在，P点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线OC的解析式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解． 【详解】（1）解：由题意：A(2，4)，C(4，2)，O(0，0)， 因为抛物线y=ax2+bx+c经过点O，A，C， ∴， 解得，，， ∴抛物线解析式为； （2）解：连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H． 令G点的横坐标为m（0<m<4），则G(m，−m2+m)． 设直线OC的解析式为y=kx+b，把C(4，2)，O(0，0)代入得： ， 解之得：b=0，k=， ∴直线OC的解析式为y=x，则K(m，m) ∴ ， 当时，的值最大为6，此时GH的值为最大， ， ∴，， ∴G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)； （3）解：存在． 如图所示，过点M作于点R，过点P作于点T． 由题意：， ∴MR=PT， ∵AM=BP， ∴≌． ∴ 设点M的横坐标为t，则． 由（2）知：直线OC的解析式为，则 ∴， 当时， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，无实数解． ∴，此时 ∴P点的坐标为． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、相似三角形，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力． 26．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）P（）（3）在线段AC上存在点A′（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为 【详解】解：（1）由题意得：A（1，2），C（2，1）， ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O， ∴c=0． 又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C， ∴，解得． ∴抛物线解析式为； （2）设点P的横坐标为t， ∵直线OC解析式为：y＝ ∴P（t，）． ∵点M在抛物线上，∴M（t，）． 如图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H， AG=yA﹣yM=2﹣，BH=PN=． 当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形， ∴，化简得3t2﹣8t+4=0． 解得t1=2（不合题意，舍去），t2=， ∴点P的坐标为（）． ∴存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形； （3）如图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．作RH⊥x轴于H， 由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3 设点A′的横坐标为a， 则点A′（a，﹣a+3），点Q（a，）． 设AB与OC相交于点J， ∵△A′RQ∽△AOJ， ∴． ∴． ∴KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a． ∴S四边形RKTQ=KT•A′T﹣A′Q•HT． ∵＜0， ∴在线段AC上存在点A′（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为． 27．已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1)y＝﹣x2+3x； (2)（0，4）； (3)（2，1）或（2，﹣1）． 【分析】（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标； （3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形． 【详解】（1）解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0）， ∴16a+12＝0， 解得a＝﹣ ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x； （2）解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3， ∴顶点D的坐标为（2，3）． ∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2， ∴B（4，2）． 设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入， 得 ， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴点A的坐标为（0，4）； （3）解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下： 设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3． 分两种情况： ①如图1所示， ∵DMBC， ∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形． ∵D（2，3），DM＝BC， ∴3﹣y＝2，解得y＝1， ∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形， 此时，∵OM＝ ，AD＝， ∴OM＝AD， 又∵AODM，AO≠DM， ∴四边形AOMD是等腰梯形； ②如图2所示，      ∵DMAO， ∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形． ∵D（2，3），DM＝AO， ∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1， ∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形， 此时，∵CM＝，BD＝， ∴CM＝BD， 又∵BCDM，BC≠DM， ∴四边形BCMD是等腰梯形． 综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键． 28．如图，抛物线与轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为线段BD上的一个动点，点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示点P的纵坐标； (3)过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标； (4)若点F是第一象限抛物线上的一个动点，过点F作FQ∥AC交x轴于点Q．当点F的坐标为 时，四边形FQAC是平行四边形；当点F的坐标为 时，四边形FQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)． 【答案】（1），（1，4）；(2)； (3)，（）；(4) （2，3）；（）. 【详解】试题分析：（1）∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)， ∴可设抛物线的解析式为： 1分 又∵抛物线 与y轴交于点C(0，3)， ∴ ∴ ∴ 即抛物线的解析式为： 2分 ∴ ∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）                     3分 （2）设直线BD的解析式为： 由B（3，0），D（1，4）得 解得 ∴直线BD的解析式为 5分 ∵点P在直线PD上，点P的横坐标为m ∴点P的纵坐标为： 6分 （3）由（1），（2）知： OA=1，OC=3，OM= m，PM= ∴ 8分 ∵，∴当时，四边形PMAC的面积取得最大值为 9分 此时点P的坐标为（） 10分 （4） （2，3）；（） （每空1分） 考点：二次函数及其应用 点评：二次函数的解析式有三种，（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．根据不同的题目类型选择不同的解析式 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数与特殊图形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次函数与一般等腰三角形】 1．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 2．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于．点是第三象限抛物线上的一动点，连接，，，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)若的面积等于面积的，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的纵坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，若抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴于点H，交于点M，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D为抛物线的顶点，连接，，求的面积； (3)在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标； (3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【题型2 二次函数与等腰直角三角形】 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当M点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点M的坐标； ②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使是以为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线的图像与轴交于A，B两点，与轴交于点C，其中，B点坐标为，C点坐标为，点D是抛物线上一动点，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)动点D位于直线下方的抛物线上时，连接，，是否存在点D使得的面积最大，若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，说明理由； (3)动点P在对称轴上何处时，使得为直角三角形，求出此时P点坐标． 8．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 【题型3 二次函数与平行四边形】 9．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 10．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 11．抛物线y＝ax2+bx﹣2的图像经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求A、B、C点的坐标； (3)求证：△ACB是直角三角形； (4)P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点（与，不重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． (4)若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使的值最小？最小值为______． 【题型4 二次函数与矩形】 13．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标； (3)如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x-2经过点C，交y轴于点G． （1）求点C、D的坐标； （2）已知抛物线的顶点在y= x-2 上，且经过C、D两点，若抛物线与y轴交于点M，连接MC，设点Q是线段MC下方此抛物线上一点，当点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的坐标和△MCQ面积的最大值；     （3）将（2）中抛物线沿直线y= x-2 平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E(顶点在y轴右侧），平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形?若存在，请求出此时抛物线的解析式；存不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 【题型5 二次函数与菱形】 17．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 18．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 19．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点． (1)求点，点的坐标； (2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式； (3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积． 【题型6 二次函数与正方形】 21．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(1，0)，如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．    23．如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 24．如图①，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是的中点，点是抛物线上的一个动点． (1)直接写出点的坐标______； (2)求该抛物线的解析式； (3)当时，求四边形的面积； (4)如图②，过点作直线的垂线，垂足为．以为对角线作正方形，当点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点的横坐标． 【题型7 二次函数与等腰梯形】 25．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O，A，C三点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标； (3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM是等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 27．已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）． 28．如图，抛物线与轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为线段BD上的一个动点，点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示点P的纵坐标； (3)过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标； (4)若点F是第一象限抛物线上的一个动点，过点F作FQ∥AC交x轴于点Q．当点F的坐标为 时，四边形FQAC是平行四边形；当点F的坐标为 时，四边形FQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $