5.1 变量与函数 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到拓展探究，覆盖常量变量、函数概念等核心知识点，通过实际情境问题培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|常量变量、函数概念、表示方法、自变量取值范围、函数图象|选择填空直接考查概念，解答题如描点画图，强化基础技能| |能力提升|函数表达式与实际应用、图象信息读取|结合出租车收费、气温与海拔等情境，培养模型意识| |拓展探究|动点问题中的分段函数|正方形动点面积问题，发展几何直观与推理能力|

5.1 变量与函数 课时作业 苏科版 · 八年级上册 · 第5章 一次函数 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．了解常量与变量的含义，能分清实际问题中的常量与变量． 2．理解函数的概念，能判断两个变量之间是否构成函数关系，会求函数值． 3．了解函数的三种表示方法（列表法、表达式法、图象法），能根据实际问题列出函数表达式并确定自变量的取值范围． 4．会用描点法画简单函数的图象，能从函数图象中读取信息． 二、知识梳理 知识点1 常量与变量 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量，数值始终保持不变的量叫作常量． 例如：汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 s 与时间 t 的关系为 s=60t，其中 s、t 是变量，60 是常量． 注意：常量与变量是相对于“某一变化过程”而言的．圆的面积公式 S=πr² 中，π 是常数（常量），S 和 r 是变量． 知识点2 函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数． 如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的函数值． 判断要点：①一个变化过程；②两个变量；③“一对一”或“多对一”都可以，但不能“一对多”． 知识点3 函数的表示方法 表示方法 特点 举例 列表法 一目了然，能直接读出对应值，但往往不全面 火车时刻表、数据统计表 表达式法 准确、简明，便于计算，但有些函数难以写出表达式 s=60t，y=2x+1 图象法 直观、形象，能反映变化趋势，但读出的值往往是近似值 气温变化曲线、心电图 知识点4 自变量的取值范围 （1）用整式表示的函数，自变量可以取全体实数； （2）用表达式表示实际问题时，自变量的取值还必须使实际问题有意义，例如时间、长度不能为负数，人数、物体个数必须是整数等． 知识点5 函数的图象 对于一个函数，把自变量 x 与对应的函数值 y 分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点组成的图形叫作这个函数的图象． 描点法画函数图象的步骤：列表 → 描点 → 连线（用平滑的线按自变量从小到大的顺序连接）． 判断点是否在函数图象上：把点的横坐标代入表达式，若求得的函数值等于点的纵坐标，则点在图象上；否则不在． 三、典例精析 【例1】下列各式中，y 是 x 的函数的有哪些？ ① y=3x-5；② y=x²；③ |y|=x；④ y²=x；⑤ y=|x|． 【解答】①②⑤ 中，对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，是函数；③中，当 x=2 时，y=2 或 y=-2，一个 x 对应两个 y；④中，当 x=4 时，y=2 或 y=-2，同样不是函数．所以 y 是 x 的函数的有 ①②⑤． 【例2】一个水池中有水 100 m³，打开出水管后，每小时放水 8 m³，写出池中剩余水量 Q（m³）与放水时间 t（h）之间的函数表达式，并写出自变量 t 的取值范围． 【解答】Q=100-8t．由于放水时间不能为负数，且剩余水量不能为负数，所以 t≥0 且 100-8t≥0，解得 0≤t≤． 【易错提醒】求实际问题中自变量的取值范围，既要考虑表达式本身有意义，更要考虑实际意义（如时间、水量都不能为负）． 四、基础巩固 （一）选择题 1．在圆的面积公式 S=πr² 中，下列说法正确的是（　　） A．常量是 π，变量是 S、r B．常量是 2，变量是 S、π、r C．常量是 π、2，变量是 S、r D．常量是 π，变量是 S 2．下列关系式中，y 不是 x 的函数的是（　　） A．y=3x B．y=x² C．|y|=x D．y=-x+1 3．下列各图中，表示 y 不是 x 的函数的是（　　） 图1 4．对于函数 y=2x-3，当 x=-1 时，函数值为（　　） A．-1 B．-5 C．1 D．5 5．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出了故障，他只好停下来修车，车修好后，为了不迟到，他加快了速度匀速行驶到学校．下面能反映小明离家路程与时间关系的大致图象是（　　） 图2 6．等腰三角形的周长为 20，设底边长为 y，腰长为 x，则 y 关于 x 的函数表达式及 x 的取值范围是（　　） A．y=20-2x（0<x<10） B．y=20-2x（5<x<10） C．y=20-2x（x>5） D．y=10-x（0<x<20） （二）填空题 7．汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 s（km）与行驶时间 t（h）之间的关系式为______，其中变量是______，常量是______． 8．对于函数 y=x+3，当 x=4 时，y=______；当 y=0 时，x=______． 9．一个水池有水 100 m³，每小时放水 8 m³，剩余水量 Q（m³）与放水时间 t（h）的函数表达式为______，自变量 t 的取值范围是______． 10．图3是某地某日的气温 T（℃）随时间 t（时）变化的图象．这天的最高气温是______℃，出现在______时；气温上升的时段是______． 图3 11．下表反映了变量 y 与 x 之间的对应关系： x 1 2 3 4 5 y 3 5 7 9 11 则 y 与 x 之间的函数表达式为______；当 x=10 时，y=______． 12．一根弹簧原长 12 cm，每挂 1 kg 物体弹簧伸长 cm，则挂 x kg 物体后弹簧长度 y（cm）与 x 的关系式为______；当 x=6 时，y=______． （三）解答题 13．用描点法画出函数 y=2x 的图象（x 取 -2，-1，0，1，2），并判断点 (，3)、(-1，2) 是否在该函数的图象上． x -2 -1 0 1 2 y 图4 14．小明从家步行去图书馆看书，看完书后按原路步行回家．图5表示小明离家的距离 s（米）与时间 t（分）之间的关系．根据图象回答： 图5 （1）图书馆离小明家有多远？ （2）小明在图书馆看书用了多长时间？ （3）小明去图书馆和回家时的平均速度分别是多少？ 15．用火柴棒按图6的方式搭正方形． 图6 （1）填写下表： 正方形个数 n 1 2 3 4 5 火柴棒根数 y （2）写出火柴棒根数 y 与正方形个数 n 之间的函数表达式，并写出自变量 n 的取值范围； （3）用 2026 根火柴棒能否恰好搭成这样的图形？若能，能搭多少个正方形？ 五、能力提升 16．汽车油箱中有油 50 L，汽车每行驶 100 km 耗油 8 L，则油箱中剩余油量 y（L）与行驶路程 x（km）之间的函数表达式及自变量的取值范围是（　　） A．y=50-8x（0≤x≤） B．y=50-x（0≤x≤625） C．y=x（0≤x≤625） D．y=50-x（x≥0） 17．某市出租车的收费标准是：起步价 10 元（行驶路程不超过 3 km），超过 3 km 的部分每千米收费 2 元．当行驶路程 x>3 时，车费 y（元）与 x（km）的函数表达式为______；某乘客乘车 8 km，应付车费______元． 18．长方形的周长为 24 cm，一边长为 x cm，另一边长为 y cm，则 y 与 x 的函数表达式为______，自变量 x 的取值范围是______． 19．科学研究表明，在一定高度范围内，气温随海拔高度的增加而降低．某地地面气温为 20℃，海拔每升高 1 km，气温下降 6℃． （1）写出该地气温 T（℃）与海拔高度 h（km）之间的函数表达式； （2）求海拔 3 km 处的气温； （3）当气温为 -4℃ 时，海拔高度是多少？ 20．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量都是常数．从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水又出水，第 12 分钟后只出水不进水．容器内水量 V（升）与时间 t（分）之间的关系如图7所示． 图7 （1）求每分钟的进水量； （2）求每分钟的出水量； （3）第 12 分钟后，经过多长时间容器内的水恰好放完？在图7中补全图象． 六、拓展探究 21．如图8，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从点 B 出发，沿 B→C→D 的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动，到达点 D 时停止．设点 P 运动的时间为 x 秒，△ABP 的面积为 y． 图8 （1）当点 P 在 BC 上运动时，写出 y 与 x 的函数表达式及 x 的取值范围； （2）当点 P 在 CD 上运动时，写出 y 与 x 的函数表达式及 x 的取值范围； （3）画出 y 与 x 之间的函数图象． 参考答案与解析 四、基础巩固 1．A 【解析】π 是一个确定的常数，是常量；S 随 r 的变化而变化，S、r 都是变量．r² 中的“2”是指数，不是变化过程中的量． 2．C 【解析】|y|=x 中，当 x=1 时，y=1 或 y=-1，一个 x 值对应两个 y 值，不满足“唯一确定”，所以 y 不是 x 的函数． 3．C 【解析】C 图中，对于某些 x 的值，竖直方向的直线与图象有两个交点，即一个 x 对应两个 y 值，不是函数． 4．B 【解析】y=2×(-1)-3=-5． 5．B 【解析】修车时路程不变，图象为一段水平线段，排除 C（C 中路程减少了）；修车后速度加快，图象的最后一段应比第一段更陡．A 中最后一段与第一段倾斜程度相同，D 中最后一段比第一段平缓，都不符合；B 中最后一段比第一段更陡，符合题意． 【方法点拨】在“路程—时间”图象中，线段越陡，表示速度越快；水平线段表示路程不变（停止运动）． 6．B 【解析】由周长得 y=20-2x．边长为正：y>0，即 20-2x>0，得 x<10；三角形两边之和大于第三边：x+x>y，即 2x>20-2x，得 x>5．所以 5<x<10． 7．s=60t；s、t；60 8．5；-6 【解析】x=4 时，y=×4+3=5；y=0 时，x+3=0，x=-6． 9．Q=100-8t；0≤t≤ 【解析】见例2． 10．10；14；4 时至 14 时 【解析】从图象上看，最高点对应 (14，10)；从 4 时（最低气温 -4℃）到 14 时图象上升，说明气温上升． 11．y=2x+1；21 【解析】x 每增加 1，y 增加 2，且 x=1 时 y=3，所以 y=2x+1；x=10 时 y=21． 12．y=12+x；15 【解析】伸长量为 x cm，y=12+x；x=6 时 y=12+3=15． 13．【答案】列表中 y 依次为 -4，-2，0，2，4，图象如图9；点 (，3) 在图象上，点 (-1，2) 不在图象上． 图9 【解析】当 x= 时，y=2×=3，等于点的纵坐标，所以在图象上；当 x=-1 时，y=-2≠2，所以不在图象上． 14．【答案】（1）800 米；（2）20 分钟；（3）去时 80 米/分，回家时 40 米/分． 【解析】（1）图象的最高点纵坐标为 800，即图书馆离家 800 米． （2）10 分至 30 分距离不变，说明在看书，时间为 30-10=20（分钟）． （3）去时用 10 分钟，速度 800÷10=80（米/分）；回家用 50-30=20（分钟），速度 800÷20=40（米/分）． 15．【答案】（1）4，7，10，13，16；（2）y=3n+1（n 为正整数）；（3）能，675 个． 【解析】（2）搭第一个正方形用 4 根，以后每增加一个正方形增加 3 根，所以 y=4+3(n-1)=3n+1． （3）令 3n+1=2026，得 n=675，是正整数，所以能搭成，共 675 个正方形． 五、能力提升 16．B 【解析】每千米耗油 8÷100=（L），所以 y=50-x．由 y≥0 得 x≤50÷=625，又 x≥0，所以 0≤x≤625． 17．y=2x+4；20 【解析】x>3 时，y=10+2(x-3)=2x+4；x=8 时，y=2×8+4=20． 18．y=12-x；0<x<12 【解析】2(x+y)=24，y=12-x．边长为正数：x>0 且 12-x>0，所以 0<x<12． 19．【答案】（1）T=20-6h；（2）2℃；（3）4 km． 【解析】（2）h=3 时，T=20-18=2（℃）． （3）令 20-6h=-4，得 6h=24，h=4（km）． 20．【答案】（1）5 升；（2） 升；（3）8 分钟，补全图象如图10． 图10 【解析】（1）前 4 分钟只进水，水量从 0 增加到 20 升，每分钟进水 20÷4=5（升）． （2）4 分至 12 分这 8 分钟内，水量从 20 升增加到 30 升，每分钟净增加 (30-20)÷8=（升）．所以每分钟出水量为 5-=（升）． （3）第 12 分钟后只出水，30÷=30×=8（分钟），即到第 20 分钟水恰好放完．图象为连接 (12，30) 与 (20，0) 的线段． 六、拓展探究 21．【答案】（1）y=2x（0<x≤4）；（2）y=8（4<x≤8）；（3）图象如图11． 图11 【解析】（1）点 P 在 BC 上时，BP=x，△ABP 的底 AB=4，高为 BP=x，所以 y=×4×x=2x．当 x=0 时 P 与 B 重合，不能构成三角形，所以 0<x≤4． （2）点 P 在 CD 上时，点 P 到 AB 的距离始终等于 BC=4，所以 y=×4×4=8．此时 4<x≤8． （3）图象由线段 y=2x（0<x≤4，不含原点）和线段 y=8（4<x≤8）组成． 学科网（北京）股份有限公司 $