第2章 实数的初步认识 章末复习（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理实数章节知识体系，涵盖平方根、立方根、实数概念与分类、运算等核心内容，用对比表格呈现平方根与立方根的性质差异，思维导图串联概念、运算与实际应用，突出算术平方根非负性、实数与数轴一一对应等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，包含概念辨析、性质应用、实际问题等15类题型，如“算术平方根的非负性”典例结合变式训练，培养抽象能力与运算能力，规律探究题引导学生发现小数点移动规律，发展推理意识。基础题巩固知识，综合题提升思维，助力学生自主复习，为教师精准教学提供支持。

第2章 实数的初步认识 章末复习 1. 掌握（算术）平方根、立方根的概念，会求非负数的（算术）平方根、立方根；能运用算术平方根、立方根解决简单的实际问题。 2. 理解实数的相关概念与分类，知道实数和数轴上的点是一一对应的关系；从有理数到无理数的认知跨越，理解无理数的无限不循环特性。 3. 会比较两个实数的大小；会估计一个无理数的大小。 4. 能熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数的运算性质和运算律在实数范围内依然适用。 5. 了解近似值的概念与作用；能指数一个近似值的精确度，在实际问题中能按问题要求对结果取近似值。 6. 数学思想的渗透：分类讨论（实数分类）、数形结合（数轴表示）、类比迁移（有理数→实数运算）。 1. 算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的算术平方根。的算术平方根记为 ，读作：根号。 规定：0的算术平方根是 0 ，即。 2. 平方根的定义：如果一个数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的平方根，也叫做二次方根 。 3. 一个正数有 两个 平方根，这两个平方根互为 相反数 ；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根。 如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负平方根是。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方和平方互为逆运算。 4. 平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 2位 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1位 。如：，，，. 5. 平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。 6. 平方根和算术平方根的联系： （1）平方根包含 算术 平方根；（2）被开方数都是 非负数 ；（3）0的平方根和算术平方根均为 0 。 7. 算术平方根的性质： 8. 立方根的定义:如果，那么 x 叫作 的立方根，也称为 三次方根 。的立方根记作 ，读作“三次根号”。 9. 求一个数的立方根的运算叫作 开立方 。开立方是立方运算的逆运算。 10. 正数的立方根是 正数 ；负数的立方根是 负数 ；零的立方根是 零 。 11. 立方根的性质： ； ； 。 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑。 12. 立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位。例如，，，，. 13. 有理数与无理数 （1） 有限 小数和 无限循环 小数都称为有理数。 （2） 无限不循环 小数又叫无理数。 注意：因为分数可以转化为有限小数或无限循环小数，所以无理数 不能 写成分数形式（m、n为整数）。 （3）常见的无理数有三种形式：①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③构造数（看似有规律，实则无循环节的数），如：1.313113111…….。 14. 估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ 两边逼近法 ”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。 需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 14. 实数： 有理数 和 无理数 统称为实数。 15. 实数的分类 实数 实数 16. 实数与数轴上的点的关系：在实数范围内，每一个实数都可以用 数轴 上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 实数 。故实数与数轴上的点 一 一 对应。 17. 实数的性质：有理数的绝对值、倒数、相反数的意义、有理数的运算法则在 实数 范围内仍然使适用。 18. 准确数：一个完全 精确 、没有任何 误差 的值。它是理论上的真实值或数学上严格定义的值。 19. 近似值：一个接近准确值但不完全 相等 的值。它是为了实际应用的需要，对准确值进行简化、估算或测量得到的结果，总会存在一定的 ‌误差 ‌。取近似值一般采用 四舍五入 的方法。 20. 求一个数的近似数（精确到指定数位）首先需要明确精确到的数位（如个位、十位、百位，或十分位、百分位等），再看该数位的 后一位数 结合四舍五入，即可得到精确到指定数位的近似数。若需要精确的数是科学记数法形式或带有计数单位形式时，先把它还原成一般数，再按上述步骤处理。 21. 有效数字：从一个数的 左边 第一个不是0的数字起到 末位数字 止，所有的数字都是这个数的 有效数字 。用于准确表示数值的精度和可靠程度。 题型01 平方根与立方根概念辨析 【典例】（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何数的立方根都只有一个 B．如果一个数有立方根，那么这个数一定有平方根 C．一个数的立方根比这个数的平方根小 D．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．体积为17的正方体的棱长 D．是17的一个平方根 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【变式3】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是 【变式4】（24-25七年级下·广东·期中）下列说法正确的是（  ） A．任何数都有平方根的 B．一个正数的平方根一定小于本身 C．负数的立方根一定也是负数 D．的算术平方根等于 题型02 求已知数的（算术）平方根、立方根 【典例】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【变式2】（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的平方根是6 D．的平方根是 【变式3】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是4 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．不是正数就是负数 题型03 利用平方根、立方根解方程 【典例】（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)；(2)． 【变式1】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）求x的值： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的． (1)； (2)． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x的值： (1) (2) 【变式5】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x： (1)； (2)． 题型04 算术平方根的非负性 【典例】（25-26八年级下·北京·期中）已知实数满足，则的值为__________． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·期末）若实数，满足，则______． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）若m、n为实数，且，则为 ． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知满足，则的值为 ． 题型05 平方根、立方根小数点位数移动规律 【典例】（24-25七年级下·河南信阳·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． x 26 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 27 676 681.21 686.44 691.69 696.96 702.25 707.56 712.89 718.24 723.61 729 请根据此表解决下面问题：(1)若一个正方形的边长为26.6，那么这个正方形的面积是___________； (2)算术平方根在26.6~26.7之间的整数有___________个；(3)___________； (4)小明说：“小于26的两个正数，如果它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定小于5.21”，你认可他的说法吗？说说你的理由． 【变式1】（25-26八年级上·广东·阶段检测）已知，，那么的值约为__________ ．（结果精确到0.01） 【变式2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【变式3】（24-25七年级上·浙江·期中）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______；②已知，则______． 【变式4】（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知，，，，则 ． 题型06 算术平方根、立方根的实际应用 【典例】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数． 【变式1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题：(1)这个正方体金属块的棱长是多少？(2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状．(1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长．(2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【变式3】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）为宣传通辽旅游资源，促进旅游业发展，科尔沁区某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 通辽景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？(2)正方形卡片能否直接装进长方形封皮内？请说明理由． 【变式4】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径．(1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 题型07 （算术）平方根与立方根的综合运用 【典例】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根．(1)直接写出，的值，并比较，，的大小；(2)求的所有可能值． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知的立方根是的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根． 【变式2】（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值；(2)若c是的整数部分，求的立方根． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知的平方根是和3，的算术平方根是5，c是的整数部分．(1)求的值；(2)求的平方根． 题型08 立方根与算术平方根的性质 【典例】（24-25九年级上·吉林四平·期末）对任意的实数a，下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】①；②；③；④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【变式3】（2025七年级下·重庆·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【变式4】（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算：______；______． (4)当时，计算的值． 题型09 与平方根、立方根有关的规律探究问题 【典例】（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数． 【变式3】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）；(4)根据（3）计算：． 【变式4】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 题型10 与实数相关的阅读材料与新定义问题考法 【典例】（24-25七年级下·云南·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根） 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：观察； 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：__________________________________________________． （2）探究性质：①81的四次方根是_________；②0的四次方根是_________；③_________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①______________________________________________________； ②______________________________________________________； ③______________________________________________________ 【拓展应用】（1）_________；（2）比较大小：_________． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，． （1）仿照以上方法计算： ； ．（2）若，写出满足题意的所有x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．（3）对290连续求根整数， 次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期中） 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， ， 即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； (2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； (3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 【变式3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是 ． 【变式4】（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求．①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 题型11 实数的概念及实数的分类 【典例】（25-26八年级上·江苏·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中： （1）负数没有立方根；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）无理数包括正无理数，0，负无理数； （4） 实数与数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【变式3】（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}． 【变式4】（25-26八年级上·山东·专项训练）将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}；分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}；无理数集合：{___________…}． 题型12 实数的估算与大小比较 【典例】（24-25七年级下·广西南宁·期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想； 提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？ 实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下： 材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点：    材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______； 拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题： ①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？②若，求x的值． 【变式1】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·开学考试）估算的结果应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各数的大小（填“”“”或“”）： （1） 2；    （2） ；    （3） ． 【变式4】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是其小数部分，求出的值． 题型13 实数的混合运算 【典例】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)；(2)． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）计算与解方程： (1)； (2)；(3)； (4) ． 【变式3】（24-25七年级下·广东惠州·期中）计算： (1)；(2)(3)；(4) 【变式4】（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 题型14 求一个数的近似数 【典例】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）精确到千位的近似值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）将361000000精确到10000000，并用科学记数法表示这个近似数为 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 【变式4】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某人一天饮水，请用四舍五入法将精确到，并用科学记数法表示为 ． 题型15 确定近似数精确程度 【典例】（2024·上海·三模）某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百位，有3个有效数字 C．精确到百分位，有5个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字 【变式1】（24-25七年级上·浙江·期中）下列对取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位；②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为；④精确到百位得到的近似数为． 【变式2】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）合肥园博园跻身全国热门景点，自园博会开幕以来，合肥园博园累计接待服务游客244万人次，单日最高客流量40万人次，跻身全国前二十旅游热门景区．关于244万，下列说法正确的是（    ） A．244万用科学记数法表示为 B．244万精确到个位 C．精确到百分位 D．和244万精确度不同 【变式3】（2024·河北邢台·模拟预测）截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（    ） A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿 C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位 【变式4】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ）． A．与精确度相同 B．精确到了百万位 C．精确到了百分位 D．万精确到了万位 【巩固训练】 1.（25-26八年级上·成都·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．4 B．－4 C．0 D．2 3．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法①是分数，②两个无理数的和仍为无理数，③无理数是无限不循环小数，④数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数，其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）按括号内的要求，用四舍五入法对取近似值，其中错误的是（ ） A．（精确到） B．20242000（精确到千位） C．（精确到万位） D．（精确到千分位） 5．（24-25七年级上浙江·期末）下列说法错误的是（   ） A．相反数等于本身的数只有0 B．平方后等于本身的数只有0，1 C．立方后等于本身的数是0， D．绝对值等于本身的数只有0，1 6．（25-26八年级上·江苏·单元测试）小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 7.（24-25七年级下·江苏南通·期末）写出一个比小的无理数 ；写出一个比大的有理数 ． 8．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若取，计算的结果是 ． 9．（25-26八年级上·湖北·随堂练习）已知下面六个数：，100，，，，．若其中无理数有x个，整数有y个，负数有z个，则 ． 10．（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是 ． 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解下列方程． (1)；(2)． 12．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知的算术平方根是5，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 13．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ．(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【强化训练】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图是一台电脑E盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小．该硬盘的可用空间约为（   ）字节(精确到亿位) A． B． C．148000000000 D． 2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 4．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（    ） n A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知x，y为实数，且，则 ． 6．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 7．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）的算术平方根是 ；若则 ． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）四舍五入法中的“新定义” 阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的差值不超过最后一位数量级的二分之一，假如0～9等可能出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的．我们规定：对非负有理数数“四舍五入”到个位的值记为．例如：，，，…． 解决问题：(1)________（为圆周率）；(2)若，则的取值范围是________． 9．（25-26八年级上·江苏·课后作业）计算： (1)；(2)；(3)． 10．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）小华学习《实数》一章后，进行了如下探究： ①，，和都是36的算术平方根，而36的算术平方根只有一个，所以． ②，，和都是400的算术平方根，而400的算术平方根只有一个，所以_______=_______×_______． (1)请仿照①帮助小华完成②的填空． (2)猜想当，时，，，之间有怎样的数量关系，并举例验证你的猜想． (3)运用以上结论，计算． 11．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 12．（24-25七年级下·河南漯河·期末）阅读材料是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分：_______；的整数部分是________； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2：小玉在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），可设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）请利用小玉的方法估算的近似值：________．（结果精确到0.01） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 章末复习 1. 掌握（算术）平方根、立方根的概念，会求非负数的（算术）平方根、立方根；能运用算术平方根、立方根解决简单的实际问题。 2. 理解实数的相关概念与分类，知道实数和数轴上的点是一一对应的关系；从有理数到无理数的认知跨越，理解无理数的无限不循环特性。 3. 会比较两个实数的大小；会估计一个无理数的大小。 4. 能熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数的运算性质和运算律在实数范围内依然适用。 5. 了解近似值的概念与作用；能指数一个近似值的精确度，在实际问题中能按问题要求对结果取近似值。 6. 数学思想的渗透：分类讨论（实数分类）、数形结合（数轴表示）、类比迁移（有理数→实数运算）。 1. 算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的算术平方根。的算术平方根记为 ，读作：根号。 规定：0的算术平方根是 0 ，即。 2. 平方根的定义：如果一个数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的平方根，也叫做二次方根 。 3. 一个正数有 两个 平方根，这两个平方根互为 相反数 ；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根。 如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负平方根是。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方和平方互为逆运算。 4. 平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 2位 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1位 。如：，，，. 5. 平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。 6. 平方根和算术平方根的联系： （1）平方根包含 算术 平方根；（2）被开方数都是 非负数 ；（3）0的平方根和算术平方根均为 0 。 7. 算术平方根的性质： 8. 立方根的定义:如果，那么 x 叫作 的立方根，也称为 三次方根 。的立方根记作 ，读作“三次根号”。 9. 求一个数的立方根的运算叫作 开立方 。开立方是立方运算的逆运算。 10. 正数的立方根是 正数 ；负数的立方根是 负数 ；零的立方根是 零 。 11. 立方根的性质： ； ； 。 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑。 12. 立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位。例如，，，，. 13. 有理数与无理数 （1） 有限 小数和 无限循环 小数都称为有理数。 （2） 无限不循环 小数又叫无理数。 注意：因为分数可以转化为有限小数或无限循环小数，所以无理数 不能 写成分数形式（m、n为整数）。 （3）常见的无理数有三种形式：①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③构造数（看似有规律，实则无循环节的数），如：1.313113111…….。 14. 估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“ 两边逼近法 ”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。 需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 14. 实数： 有理数 和 无理数 统称为实数。 15. 实数的分类 实数 实数 16. 实数与数轴上的点的关系：在实数范围内，每一个实数都可以用 数轴 上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 实数 。故实数与数轴上的点 一 一 对应。 17. 实数的性质：有理数的绝对值、倒数、相反数的意义、有理数的运算法则在 实数 范围内仍然使适用。 18. 准确数：一个完全 精确 、没有任何 误差 的值。它是理论上的真实值或数学上严格定义的值。 19. 近似值：一个接近准确值但不完全 相等 的值。它是为了实际应用的需要，对准确值进行简化、估算或测量得到的结果，总会存在一定的 ‌误差 ‌。取近似值一般采用 四舍五入 的方法。 20. 求一个数的近似数（精确到指定数位）首先需要明确精确到的数位（如个位、十位、百位，或十分位、百分位等），再看该数位的 后一位数 结合四舍五入，即可得到精确到指定数位的近似数。若需要精确的数是科学记数法形式或带有计数单位形式时，先把它还原成一般数，再按上述步骤处理。 21. 有效数字：从一个数的 左边 第一个不是0的数字起到 末位数字 止，所有的数字都是这个数的 有效数字 。用于准确表示数值的精度和可靠程度。 题型01 平方根与立方根概念辨析 【典例】（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何数的立方根都只有一个 B．如果一个数有立方根，那么这个数一定有平方根 C．一个数的立方根比这个数的平方根小 D．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 【答案】A 【详解】解：∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0， ∴A选项说法正确；D选项说法不正确． ∵一个负数有一个负的立方根，但负数没有平方根，∴B选项说法不正确； 一个数的立方根不一定比这个数的平方根小，例如0的平方根和立方根相等，∴C选项说法不正确； 综上，说法正确的是A选项，故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．体积为17的正方体的棱长 D．是17的一个平方根 【答案】C 【详解】解：A、面积为17的正方形的边长为，描述正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，描述正确，不符合题意； C、体积为17的正方体的棱长为，描述错误，符合题意； D、17的一个平方根为±，所以是17的一个平方根，描述正确，不符合题意；故选C． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意；故选：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：∵方程的解分别为a，b，且，∴，， ∴5的平方根是，故A，B错误，5的算术平方根是，故C正确，D错误．故选：C． 【变式4】（24-25七年级下·广东·期中）下列说法正确的是（  ） A．任何数都有平方根的 B．一个正数的平方根一定小于本身 C．负数的立方根一定也是负数 D．的算术平方根等于 【答案】C 【详解】A．负数没有平方根，原说法错误，不符合题意； B．正数的平方根可能等于或大于原数．如1的平方根为（1不小于1），0.25的平方根为，原说法错误，不符合题意； C．立方根符号与数本身符号一致，负数立方根必为负数．如的立方根为，原说法正确，符合题意． D．的算术平方根为（x的绝对值），当x为负时．例如，时，，原说法错误，不符合题意．故选C． 题型02 求已知数的（算术）平方根、立方根 【典例】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C． D． 【答案】C 【详解】解：、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、没有平方根，该选项说法错误，不合题意；、，该选项说法正确，符合题意； 、被开方数不能是负数，没有意义，该选项说法错误，不合题意；故选：． 【变式1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【答案】D 【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确； B. 的立方根是；故正确；C. 的立方根是；故正确； D. 125的立方根是；故错误；故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的平方根是6 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A、 4的平方根是，结论错误，不符合题意； B、的平方根是，结论错误，不符合题意； C、没有平方根，结论错误，不符合题意； D、的平方根是，结论正确，符合题意．故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D． ，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式4】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是4 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．不是正数就是负数 【答案】C 【详解】解：解：A、的立方根是，故本选项的说法错误； B、的平方根是，故本选项的说法错误； C、的算术平方根是，故本选项的说法正确； D、可能为，故本选项的说法错误．故选：C． 题型03 利用平方根、立方根解方程 【典例】（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：， 两边开平方，得， 即或， 解得或 （2）解：， 变形，得， 两边开立方，得， 解得． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x的值： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【变式5】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 开平方，得； （2）解：， 移项，得， 开立方，得， 解得：． 题型04 算术平方根的非负性 【典例】（25-26八年级下·北京·期中）已知实数满足，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：实数满足，所以可得，可得，可得． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·期末）若实数，满足，则______． 【答案】 【详解】解：∵，∴，解得，，∴．故答案为：． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）若m、n为实数，且，则为 ． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴，解得：，∴；故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，且， ∴，∴，，∴ ∴帛画的面积为，故选：A． 【变式4】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知满足，则的值为 ． 【答案】12 【详解】 解：满足， ，解得，，．故答案为：12． 题型05 平方根、立方根小数点位数移动规律 【典例】（24-25七年级下·河南信阳·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． x 26 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 27 676 681.21 686.44 691.69 696.96 702.25 707.56 712.89 718.24 723.61 729 请根据此表解决下面问题：(1)若一个正方形的边长为26.6，那么这个正方形的面积是___________； (2)算术平方根在26.6~26.7之间的整数有___________个；(3)___________； (4)小明说：“小于26的两个正数，如果它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定小于5.21”，你认可他的说法吗？说说你的理由． 【答案】(1)707.56(2)5(3)2.62(4)认可；理由见解析 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，， ∴这个正方形的面积是．故答案为：707.56． （2）∵，， ∴算术平方根在26.6~26.7之间的整数有708，709，710，711，712，共有5个整数．故答案为：5． （3）∵，∴，∴．故答案为：2.62． （4）设小于26的两个正数分别是a，b，则a−b＝0.1， ∴a2−b2＝（a＋b）（a−b）＝0.1（a＋b）， ∵，即，∴a2−b2＜0.1×52，即a2−b2＜5.2， ∵5.2＜5.21，∴a2−b2＜5.21． 【变式1】（25-26八年级上·广东·阶段检测）已知，，那么的值约为__________ ．（结果精确到0.01） 【答案】17.32 【详解】解：由算术平方根的性质可知，． 故答案为：17.32． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【答案】A 【详解】解：，∴． 【变式3】（24-25七年级上·浙江·期中）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【详解】解：（1）；；； ；；故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ；故答案为：，； ② 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：，，，， ，，故答案为：． 题型06 算术平方根、立方根的实际应用 【典例】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)，(2)(3)见解析(4)或 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边长，面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，∴小正方形的对角线， ∴点A表示的数为，故答案为：，； （2）解：图3中，正方形的面积为，∴正方形的边长，故答案为：； （3）解：如图，点P即为所求； （4）解：∵，，∴， ∵，当点N在点M的右侧时，N表示的数为， 当点N在点M的左侧时，表示的数为．综上所述，点N表示的数为或． 【变式1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题：(1)这个正方体金属块的棱长是多少？(2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状．(1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长．(2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：，解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：，解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 【变式3】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）为宣传通辽旅游资源，促进旅游业发展，科尔沁区某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 通辽景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？(2)正方形卡片能否直接装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长是，宽是(2)正方形卡片能直接装进长方形封皮内，理由见解析 【详解】（1）解：设长方形封皮的宽为，则长为， 由题意得：，解得或， 答：长方形封皮的长是，宽是． （2）解：正方形卡片能直接装进长方形封皮内，理由如下： ∵正方形卡片的面积为，∴正方形卡片的边长为， ∵，∴正方形卡片能直接装进长方形封皮内． 【变式4】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径．(1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把代入，得，∴（负值舍）， 答：这场雷雨大约能持续； （2）解：，把代入，得． ∴．答：这场雷雨区域的直径大约是． 题型07 （算术）平方根与立方根的综合运用 【典例】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根．(1)直接写出，的值，并比较，，的大小；(2)求的所有可能值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：是27的立方根，， 的算术平方根为的立方根为， ，， ，； （2）解：，是的平方根，． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知的立方根是的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是 ，解方程，得 将代入，得，解得 的整数部分； （2）解：将，，代入得的平方根是． 【变式2】（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值；(2)若c是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1)或(2)2或0 【详解】（1）解：∵的立方根是，∴， ∵是4的平方根，或， 当时，解得， 当时，解得． 综上，或． （2）解：∵，∴的整数部分是3，， 当，时，，8的立方根是2； 当，时，，0的立方根是0； 综上，的立方根是2或0． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知的平方根是和3，的算术平方根是5，c是的整数部分．(1)求的值；(2)求的平方根． 【答案】(1)(2)的平方根是 【详解】（1）解：的平方根是和3，的算术平方根是5， ，，解得：，， ，的整数部分； （2）解：由（1）可知， ，的平方根是． 题型08 立方根与算术平方根的性质 【典例】（24-25九年级上·吉林四平·期末）对任意的实数a，下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，即A选项恒成立， ∵，即B选项恒成立，∵，即C选项不恒成立， ∵，即D选项恒成立，故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，解得，∴． ∵4的平方根是，∴的平方根是． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】①；②；③；④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知，∵与的值互为相反数，∴， 解得， ∴，∴. 【变式3】（2025七年级下·重庆·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【详解】解：∵，∴或1或，解得或1或3， 当时，；当时，；当时，； ∴的值为0或2或6．故选：D． 【变式4】82．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算：______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1)(2)a(3)；(4) 【详解】（1）解：∵， ∴可得，故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，，故答案为：； （3）解：；，故答案为：；； （4）解：∵∴． 题型09 与平方根、立方根有关的规律探究问题 【典例】（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为．故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：，则第行有个数，故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为．综上，第八行第十五个数为，故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 【答案】 【详解】解：，，……， 依此类推可知，第n个等式为：， 故答案为：． 【变式2】57．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段练习）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数． 【答案】1979 【详解】解：新建一列数：，共有2022个数， ，， 该列数中包括有理数：，个数为：， ，无理数列中，是这列无理数中的第1979个数， 故答案为：1979． 【变式3】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）已知，，，因为，所以． (1)计算下列各式的值：________，________，________； (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？直接写出关系式：________； (3)由（2）猜想：________（，）；(4)根据（3）计算：． 【答案】(1)4；5；20(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵，，故答案为：4；5；20； （2）解：由（1）的结果可得，，故答案为：； （3）解：由（2）猜想：，故答案为：； （4）解：． 【变式4】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式；第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为；故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 题型10 与实数相关的阅读材料与新定义问题考法 【典例】（24-25七年级下·云南·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根） 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：观察； 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：__________________________________________________． （2）探究性质：①81的四次方根是_________；②0的四次方根是_________；③_________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①______________________________________________________； ②______________________________________________________； ③______________________________________________________ 【拓展应用】（1）_________；（2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1）一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【详解】类比探索：（1）类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①81的四次方根是：；②0的四次方根是：0；③没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；②0的四次方根是0；③负数没有四次方根； 拓展应用：（1）； （2）∵，∴． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，． （1）仿照以上方法计算： ； ．（2）若，写出满足题意的所有x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．（3）对290连续求根整数， 次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ． 【答案】（1）5；7；（2）；（3）4；（4）255 【详解】解：（1）；∵，∴，∴，故答案为：5；7． （2）∵，∴，∴， ∴整数；故答案为． （3）∵，，，， ∴对290连续求根整数4次之后结果为1；故答案为：4． （4）∵， ∴对256进行4次连续求根整数运算需要4次结果为1， ∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255． 理由如下：∵， ∴对255进行3次连续求根整数运算需要4次结果为1．故答案为：255． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期中） 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， ， 即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：， ． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； (2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； (3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，，即， 的整数部分为5，的小数部分为．故答案为：； （2）解：，，，， 代入公式得．故答案为：； （3）解：∵，∴，∵，且，∴，， ∴， ∴的算术平方根为， ，，，，代入公式得． 【变式3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是 ． 【答案】 【详解】解：（1）由于300763大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数； （2）由于300763的个位上的数是3，从而它的立方根个位上的数是7； （3）如果划去300763后面的三位数763得到数300，而6的立方是216，7的立方是343， 由此立方根的十位上的数是6，所以，故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求．①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5(2)①两；②8；③，(3) 【详解】（1）解：∵，个位数字为，∴个位数字为，故答案为：； （2）解：①∵，， ∴，∴可以确定是两位数，故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为，∴的个位上的数是，故答案为：； ③∵，，，∴， ∴可以确定的十位上的数是，∴故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6，的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ，，即的十位数字是2．． 题型11 实数的概念及实数的分类 【典例】（25-26八年级上·江苏·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零 【答案】D 【详解】解：A．有理数包括整数和分数，选项正确，不符合题意； B．有理数和无理数统称实数，选项正确，不符合题意； C．无理数一定是无限不循环小数，选项正确，不符合题意； D．因为无理数不为零，所以两个无理数相乘的结果一定不是零，选项错误，符合题意；故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中： （1）负数没有立方根；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）无理数包括正无理数，0，负无理数； （4） 实数与数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：（1）负数有立方根，原说法错误，不符合题意； （2）不带根号的数不一定是有理数，如是无理数，原说法错误，不符合题意； （3）无理数包括正无理数，负无理数，原说法错误，不符合题意； （4）实数与数轴上的点是一一对应的，正确，符合题意，故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【详解】解：无理数为：，得；整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得；∴，故答案为：9． 【变式3】（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}． 【答案】 ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧ 【详解】解：， （1）整数为：③，④0，⑥；故答案为；③④⑥ （2）分数为：①，⑤，⑨3.14．故答案为；①⑤⑨ （3）无理数为：②，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），故答案为：②⑦⑧ 【变式4】（25-26八年级上·山东·专项训练）将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}；分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}；无理数集合：{___________…}． 【答案】； ； ； （每两个1之间依次多一个0 【详解】解：负数集合：{,...}；分数集合：{，...}； 非正整数集合：{,...}； 无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．} 题型12 实数的估算与大小比较 【典例】（24-25七年级下·广西南宁·期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想； 提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？ 实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下： 材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点：    材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______； 拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题： ①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？②若，求x的值． 【答案】（1）4；；（2）①介于3和4两个相邻整数之间；去绝对值等于；②或 【详解】解：（1）∵， ∴，∴的整数部分是4，小数部分为：； （2）①∵，∴，∴；即：介于3和4之间； ∵，∴； ②∵，∴，∴或． 【变式1】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∵和为两个连续正整数，， ∴，，∴．故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·开学考试）估算的结果应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】D 【详解】解： ∵，，∴介于2和3之间， 又∵，，∴在2.6到2.7之间； 当时，；当时，，∴的范围为到． 故的结果在到之间，位于9和10之间，选项D满足．故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各数的大小（填“”“”或“”）： （1） 2；    （2） ；    （3） ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，，即，，∴， （1），故答案为：； （2）；故答案为：； （3），故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是其小数部分，求出的值． 【答案】(1)3；；(2)(3) 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为3，小数部分为．故答案为：3；； （2）解：，，， ，，，，∴的值是； （3）解：，，， ∵是的整数部分，是其小数部分，，， ，∴的值为． 题型13 实数的混合运算 【典例】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）计算与解方程： (1)； (2)；(3)； (4) ． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：； 【变式3】（24-25七年级下·广东惠州·期中）计算： (1)；(2)(3)；(4) 【答案】(1)8(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式4】（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析 (2)m的值为(3)，，；，，（答案不唯一） 【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或．∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 题型14 求一个数的近似数 【典例】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）精确到千位的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：精确到千位的近似值为，故选：． 【变式1】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）将361000000精确到10000000，并用科学记数法表示这个近似数为 ． 【答案】 【详解】解：361000000精确到10000000，并用科学记数法表示为．故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）2024年10月20日泰州市半程马拉松鸣枪开赛，本次半程马拉松赛道全长21.0975千米，将21.0975精确到0.01的近似值是 ． 【答案】21.10 【详解】解：将21.0975精确到0.01的数是21.10．故答案为：21.10． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 【答案】 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是，故答案为： 【变式4】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某人一天饮水，请用四舍五入法将精确到，并用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：将精确到，并用科学记数法表示为．故答案为：． 题型15 确定近似数精确程度 【典例】（2024·上海·三模）某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百位，有3个有效数字 C．精确到百分位，有5个有效数字 D．精确到百位，有5个有效数字 【答案】B 【详解】解：∵，∴它有3个有效数字，9，0，6，精确到百位．故选B． 【变式1】（24-25七年级上·浙江·期中）下列对取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位；②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为；④精确到百位得到的近似数为． 【答案】① 【详解】解：①取近似数是精确到万位，故原说法正确； ②取近似数不是精确到个位，故原说法错误； ③精确到十万位得到的近似数为，故原说法错误； ④精确到百位得到的近似数为，故原说法错误；故答案为：①． 【变式2】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）合肥园博园跻身全国热门景点，自园博会开幕以来，合肥园博园累计接待服务游客244万人次，单日最高客流量40万人次，跻身全国前二十旅游热门景区．关于244万，下列说法正确的是（    ） A．244万用科学记数法表示为 B．244万精确到个位 C．精确到百分位 D．和244万精确度不同 【答案】A 【详解】解：A．244万用科学记数法表示为，故A正确； B．244万精确到万位，故B错误；C．精确到万位，故C错误； D．和244万精确度相同，故D错误．故选：A． 【变式3】（2024·河北邢台·模拟预测）截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（    ） A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿 C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位 【答案】C 【详解】A. 5.02亿用科学记数法表示为，原说法错误； B. 5.02亿，原说法错误；C. 5.02亿是一个九位数，说法正确； D. 5.02亿精确到百万位，原说法错误；故选C． 【变式4】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ）． A．与精确度相同 B．精确到了百万位 C．精确到了百分位 D．万精确到了万位 【答案】B 【详解】解：A、精确到十分位，精确到百分位，则与精确度不相同，此选项不符合题意； B、，则6在百万位上，因此精确到百万位，此选项符合题意； C、，则3后的第一个0在百位上，因此精确到了十位，此选项不符合题意； D、万，则5在千位上，因此万精确到了千位，此选项不符合题意．故选：B． 【巩固训练】 1.（25-26八年级上·成都·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项，故选：C． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．4 B．－4 C．0 D．2 【答案】B 【详解】解：∵正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根，∴没有平方根．故选：B 3．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法①是分数，②两个无理数的和仍为无理数，③无理数是无限不循环小数，④数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数，其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：①是无理数，不是分数，原说法错误； ②两个无理数的和不一定为无理数，例如，原说法错误； ③无理数是无限不循环小数，原说法正确； ④数轴上对应的点如果不是有理数那就一定是无理数，原说法正确；∴说法正确的有2个，故选：B． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）按括号内的要求，用四舍五入法对取近似值，其中错误的是（ ） A．（精确到） B．20242000（精确到千位） C．（精确到万位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【详解】解：A. （精确到），原式正确，不符合题意； B. （精确到千位），原式错误，符合题意 C. （精确到万位），原式正确，不符合题意； D. （精确到千分位），原式正确，不符合题意；故选：B. 5．（24-25七年级上浙江·期末）下列说法错误的是（   ） A．相反数等于本身的数只有0 B．平方后等于本身的数只有0，1 C．立方后等于本身的数是0， D．绝对值等于本身的数只有0，1 【答案】D 【详解】A. 相反数等于本身的数只有0，A选项正确； B. 平方后等于本身的数只有0，1 ，B选项正确； C. 立方后等于本身的数是0， ，C选项正确； D. 绝对值等于本身的数是非负数，D选项不正确．故选：D． 6．（25-26八年级上·江苏·单元测试）小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【答案】B 【详解】解：A、，与7相差较大，故不符合题意； B、，最接近7，故符合题意； C、，与7相差较大，故不符合题意； D、，与7相差较大，故不符合题意；故选：B． 7.（24-25七年级下·江苏南通·期末）写出一个比小的无理数 ；写出一个比大的有理数 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】解：∵ 写出一个比小的无理数是；写出一个比大的有理数是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 8．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若取，计算的结果是 ． 【答案】 【详解】解：原式， 当取时，原式．故答案为： ． 9．（25-26八年级上·湖北·随堂练习）已知下面六个数：，100，，，，．若其中无理数有x个，整数有y个，负数有z个，则 ． 【答案】4 【详解】解：在，100，，，，中， 无理数有，整数有100，负数有，， ，，．∴．故答案为：4 10．（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是 ． 【答案】 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数，故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数，故答案：． 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）解下列方程． (1)；(2)． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 12．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知的算术平方根是5，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵， ，解得：，． （2）∵的算术平方根是的平方根是，，解得：． ，，∴的值在 4 和 5 之间，， ，∴6的平方根为，即的平方根为． 13．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ．(2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 【强化训练】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图是一台电脑E盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小．该硬盘的可用空间约为（   ）字节(精确到亿位) A． B． C．148000000000 D． 【答案】D 【详解】解：该硬盘的可用空间约为，故选：． 2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选C． 3．（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有，解得．故选：B． 4．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（    ） n A． B． C．只有3个正整数n满足 D． 【答案】C 【详解】解：A中，由表格可知，，故A错误； B中，当时，，而，因此，故B错误； C中，由表格，，，满足的正整数需满足，即，共3个，故C正确； D中，表格中，则，故，故D错误；故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵，，， ∴，，∴，，∴，故答案为：． 6．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 【答案】 4 【详解】解：∵，∴ ∴的整数部分为4，小数部分为．故答案为4，. 7．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）的算术平方根是 ；若则 ． 【答案】 2 1 【详解】，4的算术平方根是2，的算术平方根是2， 要使二次根式和有意义，则被开方数须非负， 即且．由得，由得， ，把代入中，，即， ，故答案为：2；1． 8．（24-25七年级上·浙江·期中）四舍五入法中的“新定义” 阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的差值不超过最后一位数量级的二分之一，假如0～9等可能出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的．我们规定：对非负有理数数“四舍五入”到个位的值记为．例如：，，，…． 解决问题：(1)________（为圆周率）；(2)若，则的取值范围是________． 【答案】(1)3(2) 【详解】（1）解：∵，，∴．故答案为：3； （2）解：若，①当，但的小数部分大于或等于0.5时，即； ②当，但的小数部分小于0.5时，即， ③当时，满足，∴的取值范围是．故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏·课后作业）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）原式 （2）原式． （3）原式． 10．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）小华学习《实数》一章后，进行了如下探究： ①，，和都是36的算术平方根，而36的算术平方根只有一个，所以． ②，，和都是400的算术平方根，而400的算术平方根只有一个，所以_______=_______×_______． (1)请仿照①帮助小华完成②的填空． (2)猜想当，时，，，之间有怎样的数量关系，并举例验证你的猜想． (3)运用以上结论，计算． 【答案】(1)，，(2)，举例验证见解析(3) 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：，，． （2）解：猜想． 举例：，，和都是144的算术平方根，而144的算术平方根只有一个， ∴． 答：当，时，，，之间的数量关系为． （3）解： 11．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务1：两； 5 任务 2：48 【详解】解：任务1：∵，，， ∴∴能确定195112的立方根是个两位数， ∵，∴，∴它的立方根的十位上的数是； 任务：∵，，， ∴∴能确定110592的立方根是个两位数， ∵，∴，∴它的立方根的十位上的数是； ∵，∴的个位上的数是，∴． 12．（24-25七年级下·河南漯河·期末）阅读材料是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分：_______；的整数部分是________； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2：小玉在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），可设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）请利用小玉的方法估算的近似值：________．（结果精确到0.01） 【答案】（1），3；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵，∴，∴的小数部分是， ∵，∴，∴的整数部分是3，故答案为：，3； （2）∵，∴，∴， ∵，其中x是整数，且，∴，，∴； （3），， 设，其中，则， ∵，∴，∴， 解得：，则，故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $