2.2 基本不等式（第2课时：基本不等式恒成立问题，条件求值与“1”的妙用） 同步练习题 - 2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式的恒成立问题、条件求值与“1”的妙用，通过“例题精练-基础夯实”分层设计，实现从单一知识点应用到综合问题解决的进阶，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|综合应用（恒成立问题、条件求值、“1”的妙用）|梯度递进，从基础最值（例1）到含参数恒成立（例2），培养逻辑推理能力| |基础夯实|单一知识点（基本不等式求最值、条件等式应用）|题型多样，单选直接应用公式，多选辨析概念，填空强化运算，巩固模型观念|

2.2 基本不等式 （第2课时：基本不等式恒成立问题，条件求值与“1”的妙用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. （3）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由，，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值. （3）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以在时的最小值为. 【例2】已知正实数x，y满足， (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由基本不等式、完全平方公式得解； （2）根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的代换可求a的取值范围. 【详解】（1）因为，有， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为2； （2）若恒成立，则， 因为， 当且仅当即，时，取等号， 所以的最小值为，即， 故实数a的取值范围是 【例3】已知，. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1），当且仅当时取等号. 的最小值为. （2），当且仅当时取等号. 的最小值为. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为9. 2．已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 3．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 4．已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】因为，解得，当且仅当，即时等号成立. 5．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 6．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 7．“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当时，利用基本不等式可证得，而得不到，可通过举例验证，利用充分条件，必要条件的概念即可判断． 【详解】当时，对于任意正实数， ．当且仅当时等号成立， 所以：是对于任意正实数恒成立的充分条件； 同理：若时， ，当且仅当时等号成立， 也成立， 故不是对于任意正实数恒成立的必要条件． 综上：是对于任意正实数恒成立的充分不必要条件． 故选：A． 8．命题“”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化为命题成立为真命题，再结合基本不等式求得最小值，从而可得，求解即可. 【详解】依题意，命题成立为真命题， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 二、多选题 9．若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 10．设正实数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最小值7 D．有最小值 【答案】AC 【分析】对于A，利用乘“1”可判断；对于B，直接利用基本不等式判断；对于C，消元配方求解；对于D，利用不等式判断. 【详解】因为正实数满足，所以， 当且仅当时取等号，A正确； ，所以有最大值2，B错误； 正实数满足，则， ，当时，，C正确； 由，可得，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 11．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．若，则的最大值是______． 【答案】 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 13．设a，b为正数，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 14．已知，则的最小值为______，此时x=__________. 【答案】 ； ； 【分析】根据目标代数式，构造隐含的“1”：，应用“1”的代换有，根据基本不等式求其最小值、等号成立时的值即可. 【详解】∵，且， ∴当且仅当时等号成立； 故答案为：，. 【点睛】本题考查了利用基本不等式“1”的代换求最小值，难点是结合已知代数式构造“1”，属于中档题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 （第2课时：基本不等式恒成立问题，条件求值与“1”的妙用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 【例2】已知正实数x，y满足， (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【例3】已知，. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 2．已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 5．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 7．“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．命题“”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．设正实数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最小值7 D．有最小值 11．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 三、填空题 12．若，则的最大值是______． 13．设a，b为正数，且，则的最小值为______． 14．已知，则的最小值为______，此时x=__________. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $