2.2 练习1　利用基本不等式求最值 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式求最值，分层设计从概念理解到综合应用，通过基础巩固、中档提升、拔高探究三阶路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等号条件、简单最值|选择1-3直接考查概念，填空10强化基本运算| |中档|条件最值、多变量应用|选择4-7结合a+b=1等条件，多选8-9辨析易错点| |拔高|证明、实际情境探究|解答13-16含存在性问题与勾股定理应用，培养模型意识|

2.2 练习1　利用基本不等式求最值 1. 不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　 　) A. a＝4 B. a＝ C. a＝－ D. a＝± 2. 已知x＞0，y＞0，若xy＝3，则x＋y的最小值是(　 　) A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 3. 设x＞0，则3－3x－的最大值是(　 　) A. 3 B. 3－2 C. －1 D. 3－2 4. 若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值是(　 　) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 5. 若a，b都是正数，则的最小值是(　 　) A. 5 B. 7 C. 9 D. 13 6. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)·(1＋2y)的最大值是(　 　) A. 16 B. 9 C. 4 D. 36 7. 若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值是(　 　) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　) A. x＋≥2 B. ≥2 C. ≤x2＋y2 D. 若x＜0，y＜0，则≤－2 9. (多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式中，恒成立的有(　 　) A. ab≤1 B. ≤ C. a2＋b2≥2 D. ≥2 10. (2024·河北保定部分高中高一联考) 已知a＞0，b＞0，若ab＝1，则9a＋b的最小值是　 　.  11. 已知4x2＋y2－3xy－1＝0，则xy的最大值是　 　.  12. 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝的最大值是　 　.  13. 已知正数a，b满足a＋b＝1. (1)求ab的取值范围；(2)求的最小值. 14. (2024·潍坊一中高一检测)已知a，b，c均为正数，证明：≥3. 15. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高.根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于4，当这个直角三角形的周长取最大值时，其面积为　 　.  16. 是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＝1(x＞0，y＞0)，且x＋y的最小值为18.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 练习1　利用基本不等式求最值 1. 不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　D　) A. a＝4 B. a＝ C. a＝－ D. a＝± 【解析】该不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±. 2. 已知x＞0，y＞0，若xy＝3，则x＋y的最小值是(　C　) A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 【解析】由于x＞0，y＞0，xy＝3，∴x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立，∴x＋y的最小值为2. 3. 设x＞0，则3－3x－的最大值是(　D　) A. 3 B. 3－2 C. －1 D. 3－2 【解析】∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立， ∴－≤－2，则3－3x－≤3－2. 4. 若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值是(　C　) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【解析】(a＋b)＝4＋＋1≥5＋2＝9，当且仅当 ，即a＝2b时，等号成立，∴的最小值是9. 5. 若a，b都是正数，则的最小值是(　C　) A. 5 B. 7 C. 9 D. 13 【解析】∵a，b都是正数，∴＝5＋≥5＋2＝9(当且仅当b＝2a时，等号成立). 6. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)·(1＋2y)的最大值是(　B　) A. 16 B. 9 C. 4 D. 36 【解析】(1＋x)(1＋2y)≤＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立. 7. 若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值是(　C　) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时，等号成立. 8. (多选)下列结论中，正确的有(　BC　) A. x＋≥2 B. ≥2 C. ≤x2＋y2 D. 若x＜0，y＜0，则≤－2 【解析】对于A，当x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，同理当x＜0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－时取等号，∴A错误；对于B，＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号，∴B正确；对于C，∵－(x2＋y2)＝－(x－y)2≤0，∴≤x2＋y2，∴C正确；对于D，当x＜0，y＜0时，＞0，＞0，∴≥2，当且仅当x＝y时，等号成立，∴D错误. 9. (多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式中，恒成立的有(　ACD　) A. ab≤1 B. ≤ C. a2＋b2≥2 D. ≥2 【解析】∵ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴A正确； ∵()2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴B错误；a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴C正确；，∵ab≤1，∴≥2，∴D正确. 10. (2024·河北保定部分高中高一联考) 已知a＞0，b＞0，若ab＝1，则9a＋b的最小值是　6　.  【解析】∵a＞0，b＞0且ab＝1，∴9a＋b≥2＝6，当且仅当9a＝b＝3时，等号成立. 11. 已知4x2＋y2－3xy－1＝0，则xy的最大值是　1　.  【解析】由题意0＝4x2＋y2－3xy－1≥4xy－3xy－1，当且仅当2x＝y＝±时取等号，故xy≤1，∴xy的最大值为1. 12. 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝的最大值是　2　.  【解析】令W＝，∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立，∴W≤2，即W的最大值为2. 13. 已知正数a，b满足a＋b＝1. (1)求ab的取值范围；(2)求的最小值. 解：(1)∵a，b是正数，且a＋b＝1，∴由基本不等式得a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，即1≥2，∴ab≤.∵a，b是正数，∴ab＞0，∴ab的取值范围是0＜ab≤. (2)∵正数a，b满足a＋b＝1，∴(a＋b)＝10＋≥10＋2＝18，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，∴的最小值为18. 14. (2024·潍坊一中高一检测)已知a，b，c均为正数，证明：≥3. 证明：左边＝－1＋－1＋－1＝－3.∵a，b，c为正数，∴≥2(当且仅当a＝b时取等号)，≥2(当且仅当a＝c时取等号)，≥2(当且仅当b＝c时取等号). 从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)， ∴－3≥3，即≥3. 15. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高.根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于4，当这个直角三角形的周长取最大值时，其面积为　8　.  【解析】设该直角三角形的斜边为c＝4，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝32，∵2ab≤a2＋b2，∴a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤64，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝32，即a＝b＝4时，等号成立.∵a＞0，b＞0，∴a＋b≤8，∴a＋b的最大值为8，该直角三角形周长a＋b＋c≤8＋4，故这个直角三角形周长取最大值8＋4时，a＝b＝4，此时三角形的面积为×4×4＝8. 16. 是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＝1(x＞0，y＞0)，且x＋y的最小值为18.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 解：∵＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋≥a＋b＋2＝()2，又x＋y的最小值为18，∴()2＝18. 由得或 故存在实数a＝2，b＝8，或a＝8，b＝2满足条件. 学科网（北京）股份有限公司 $