专题01 勾股定理与几何最值的三类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为基础，通过“解题通法+题型归纳+压轴挑战”三阶体系，系统提炼将军饮马、全等转化、数形结合三类几何最值问题的核心解法，强化模型迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|三点共线原则|勾股定理为底层工具，统领三类最值问题| |题型一：将军饮马|1典例+4变式|作对称点构造共线|线段和差最值→对称转化→三点共线| |题型二：全等三角形|1典例+4变式|平移拼接线段共线|含公共点线段→全等平移→共线求最值| |题型三：数形结合|1典例+2变式|代数问题几何化|代数式最值→勾股模型→线段和最小| |压轴挑战|14题|综合应用三类方法|多知识点交叉，提升复杂问题解决能力|

专题01勾股定理与几何最值的三类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马最值问题 题型二、全等三角形最值问题 题型三、数形结合最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 利用勾股定理求几何最值是初中数学图形运算基础，所有题型均围绕将军饮马问题、全等三角形、数形结合构造最值问题展开，解题贯穿基本底线原则：三点共线问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马最值问题 典例 1.如图，在中，，点是边的中点，点为边上一动点，平分交于点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接，作于点证明，得到，根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长，进行求解即可． 【详解】解：如图1，在上取点，使，连接，作于点 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长， 如图2，连接 在中，， 为中点， ， 即的最小值为． 题型模版 1.特征：线段和与差最值问题. 2.方法：作对称点，构造三点共线求最值 变式1-1如图，，点是内的定点，且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1.5 【答案】A 【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在线段上时，的周长最小，再依据勾股定理，即可得到周长的最小值． 【详解】如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为，，，， ，， 是等腰直角三角形， ． 的周长的最小值， 即周长的最小值是． 【点睛】最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 变式1-2如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为_______． 【答案】13 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，勾股定理，找出P点的位置是解题的关键． 作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，此时有最小值，即的长度． 【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q， 连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴， ∴， 由对称性可得，， 由勾股定理得，， ∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小， 即的最小值为13． 故答案为：13. 变式1-3如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是________，最大值是________ 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 变式1-4如图，，角内有一点P，，R，Q分别是上一点（均不与点O重合），则的周长的最小值是_________________，当周长取最小值时， ________． 【答案】 /90度 【分析】根据轴对称图形的性质，作出P关于的对称点M、N，连接，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出的值即可；根据对称的性质求得，即可求得的度数． 【详解】解：分别作P关于的对称点M、N， 连接交交于Q、R， 连接， 则， ， 故 为等腰直角三角形， ， 根据对称的性质得到， ， 为等腰直角三角形， ， ， 即． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据题意构造出对称点，转化为直角三角形的问题是解题的关键． 类型二、全等三角形最值问题 典例2 如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作，使，连接，，利用“”证明，得到，从而得到的最小值为，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点作，使，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中， ∵， ∴， ∴的最小值为． 题型模版 1.特征：两条线段为出现公共点. 2.方法：利用平移，拼接线段实现共线求最值. 变式2-1如图，在中，，．点D，E分别在边，上，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作，使，作交的延长线于点H，连接、，则，而，，则，所以，求得，再证明，得，由，得，所以的最小值为，即可得到问题的答案． 【详解】解：作，使，作交的延长线于点H，连接、，则，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 变式2-2在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点，若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，在上截取，由垂直平分，则，，证明，所以，从而证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，即的长，设，则，由勾股定理求出，则，最后通过等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，，在上截取， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，即的长，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴的值最小为． 变式2-3如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，先求出，根据三角形面积公式求出，得出点P到直线的距离为1，说明点P在直线上，根据轴对称可得：，，，从而得出，根据两点之间线段最短，得出当C、P、在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，如图所示： ∵在等腰直角三角形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即点P到直线的距离为1， ∵，且过点P， ∴点P在直线上， 根据轴对称可得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当C、P、在同一直线上时，最小，即最小， ∴当点P在点处时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：， ∴最小值为． 变式2-4已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． (1)如图1，，，连接，求证：； (2)如图2，，，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理． 根据垂直定义可知，所以可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得，所以可得，从而可证结论成立； 由可知，，因为点是的中点，所以，根据垂线段最短可知当时的长度最小，此时是等腰直角三角形的，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，连接， 由可知， 又，点是的中点， ， 在中，当时的长度最小， 又， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 题型三、数形结合最值问题 典例3 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：利用图3，代数式的最小值为______； (3)若，则的最小值为______； (4)已知正数m满足，求m的值． 【答案】(1)13 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． （4）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴的最小值是13， 故答案为：13； （2）解：如图， ， ， ， ∴的最小值是； 故答案为：； （3）解：如图， ，，，，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：构造于，如图所示： 设，则，， ，， ，． 题型模版 1.两点距离公式代数形式； 2.数形结合法，将代数求最值转化几何线段和的问题，利用共线求最值。 变式3-1【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ∴， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ，， ，， ∴方程的解是． 变式3-2按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13；(2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理求出，可得结论．确定的最小值为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴，即， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 2．如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 如图所示，作点关于的对称点，连接，，， 则，，， ∴， 是的中点， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小， 在中， 的最小值为． 故选：D． 3．如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（   ） A．3 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上取一点，使，连接，此时的最小值为的长． 【详解】解：在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴的最小值是5． 4．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点B作，且使，点F与点A在的两侧，连接， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点F，E，A共线时，为最小，最小值是， 的最小值是 故选：B． 二、填空题 5．在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：如图，根据题意，得， 设，则， 根据题意，得， ∴ 当取最大值，有最小值， 当时，最大，此时点B落在A处时，取得最小值， 解得：，即CE的长为． 故答案为：． 6．在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为______；的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，延长至使得，连接，则进而勾股定理，即可求解； 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中， ， ∴， ∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴， 故答案为：，． 7．如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 如图，在上取一点，使，连接，作，   平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 8．如图，在中，，，，点为射线上的一个动点，在的左侧作，其中，，连接，求的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定；过点作，连接，则，证明得出，即到的距离为，作关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质得出的最小值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，连接，则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴在上运动， ∴ ∴到的距离为 作关于的对称点，连接，， ∴ ∴的最小值为的长， ∵， ∴ 故答案为：． 9．如图，点M，N分别在边上，，点P、Q分别在上运动，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的最短路线问题，勾股定理等知识．正确作出辅助线，找出的最小值即的长是解题的关键． 如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，，由，可得即为的最小值，由对称可知，，，，，则，在中，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，当共线时取等号， ∴即为的最小值， ∴由对称可知，，，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为26， 故答案为：26． 10．如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：取的三等分点F（靠近B点），即，，连接；易证可得，再根据三角形的三边关系可得，即可说明当A、D、F三点共线时，的最小值为． 【详解】解：如图：取的三等分点F（靠近B点）， ∵， 即，，连接， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A、D、F三点共线时，有最小值为，即的最小值为． ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________________ ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， ∵是的平分线， ∴点在上， 则有，， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短，， ，， ， 在中，， ， ， ，， 的最小值是． 12．如图，在中，，，是的中点，是上的动点，连接，，则的周长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称确定最值，体现了转化的思想，属于中考常考题型．先根据题意正确画图找到点的位置，最后利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接交于点， ， 则此时的值最小，即的周长最小． 点关于对称， ， ． 是的中点， ， ． 的周长的最小值为：． 故答案为：． 13．如图，点D，E，F分别在的边上，，的面积为15，则的周长的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，过点A作于点H，由三角形的面积公式可得；作点E关于的对称点N，点E关于的对称点M，连接，由轴对称的性质可得，，则可证明；可证明当点E的位置固定时，的周长的最小值为的长，由勾股定理得，故当时，有最小值（此时点E与点H重合），即此时有最小值，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵的面积为15，， ∴， ∴； 如图所示，作点E关于的对称点N，点E关于的对称点M，连接， ∴， ， ∵， ∴ ； ∵的周长， ∴当点E的位置固定时，当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长， ∴当点E的位置固定时，的周长的最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴当时，有最小值（此时点E与点H重合），即此时有最小值， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 14．如图在中，其中，，于点D，点E，点F分别在线段，上，且满足，则最小值是________． 【答案】 【分析】过点A作的平行线，在该平行线上取点G，使得，连接，证得，利用逆等线模型可得出，即当点B，，G三点共线时有最小值，最后通过勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图，过点A作的平行线，在该平行线上取点G，使得，连接， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即当点B，，G三点共线时有最小值， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴最小值是． 三、解答题 15．已知和都是等腰直角三角形，且． (1)如图1，点D在内，求证：； (2)如图2， A、D、E三点在同一条直线上，若，，求的面积； (3)如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值． 【答案】(1) 证明：如图1，延长交于H， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ； (2)的面积； (3)周长的最小值为； 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质；延长交于H，证明即可得到证明； （2）本题考查等腰三角形的性质及勾股定理，根据等腰三角形性质得到，结合勾股定理求解即可得到答案； （3）本题考查点到直线的距离垂线段最短，根据当时，有最小值，直接求解即可得到答案； 【详解】（1）略 （2）解：如图2，过点C作于N， 由（1）可知：，， 是等腰直角三角形，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ， 的面积； （3）解：由（1）可知：， 的周长， 有最小值时，的周长有最小值， 当时，有最小值， 是等腰直角三角形，， ， 周长的最小值为． 16．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 【答案】（1）①；②； （2）成立，理由如下： 如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ； （3） 【分析】本题是勾股定理证明平方关系． （1）①由勾股定理可得，，再结合，即可得出结论； ②过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （2）过作于，交于，则四边形、四边形是长方形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）以、为边作长方形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图，过作于，交于， 则四边形、四边形是长方形， ，，， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，以、为边作长方形，连接、， 由（1）中规律可得， 由（2）得：， ∵，，， ∴， 解得：， 当、、三点共线时，最小， ∴的最小值的最小值， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01勾股定理与几何最值的三类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马最值问题 题型二、全等三角形最值问题 题型三、数形结合最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 利用勾股定理求几何最值是初中数学图形运算基础，所有题型均围绕将军饮马问题、全等三角形、数形结合构造最值问题展开，解题贯穿基本底线原则：三点共线问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马最值问题 典例 1.如图，在中，，点是边的中点，点为边上一动点，平分交于点，点是线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 题型模版 1.特征：线段和与差最值问题. 2.方法：作对称点，构造三点共线求最值 变式1-1如图，，点是内的定点，且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1.5 变式1-2如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为_______． 变式1-3如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是________，最大值是________ 变式1-4如图，，角内有一点P，，R，Q分别是上一点（均不与点O重合），则的周长的最小值是_________________，当周长取最小值时， ________． 类型二、全等三角形最值问题 典例2 如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 题型模版 1.特征：两条线段为出现公共点. 2.方法：利用平移，拼接线段实现共线求最值. 变式2-1如图，在中，，．点D，E分别在边，上，且，则的最小值为________． 变式2-2在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点，若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 变式2-3如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式2-4已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． (1)如图1，，，连接，求证：； (2)如图2，，，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值． 题型三、数形结合最值问题 典例3 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：利用图3，代数式的最小值为______； (3)若，则的最小值为______； (4)已知正数m满足，求m的值． 题型模版 1.两点距离公式代数形式； 2.数形结合法，将代数求最值转化几何线段和的问题，利用共线求最值。 变式3-1【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 变式3-2按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 3．如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（   ） A．3 B． C．5 D．6 4．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 二、填空题 5．在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是__________． 6．在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为______；的最大值为______． 7．如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 8．如图，在中，，，，点为射线上的一个动点，在的左侧作，其中，，连接，求的最小值为______． 9．如图，点M，N分别在边上，，点P、Q分别在上运动，连接，则的最小值为_________． 10．如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为________． 11．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________________ ． 12．如图，在中，，，是的中点，是上的动点，连接，，则的周长的最小值为______． 13．如图，点D，E，F分别在的边上，，的面积为15，则的周长的最小值为________． 14．如图在中，其中，，于点D，点E，点F分别在线段，上，且满足，则最小值是________． 三、解答题 15．已知和都是等腰直角三角形，且． (1)如图1，点D在内，求证：； (2)如图2， A、D、E三点在同一条直线上，若，，求的面积； (3)如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值． 16．先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 17．（1）问题①：如图1，长方形中，，，，则与的数量关系是________． ②如图2，P是长方形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为________． （2）探究：如图3，P是长方形外任意一点，上面②的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）应用结论：如图4，在中，，，B是内一点，且，，则的最小值________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $