专题04 线段垂直平分线与角平分线的性质 重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 该专项聚焦线段垂直平分线与角平分线性质，通过“知识点-基础-提高-检测”四层架构，系统整合性质应用、尺规作图及综合计算，提炼辅助线添加与最值转化方法，强化几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个（含性质证明）|性质判定互化、尺规作图步骤|定义→性质→判定→作图，形成概念生成链条| |基础题型|9大题型（每题1例+3练）|垂线段添加、长度/周长/角度计算技巧|性质直接应用到简单推理，夯实技能基础| |提高题型|3大题型（辅助线/最值/综合）|中垂线辅助线、最值转化思想|性质与几何综合结合，培养迁移能力|

专题04 线段垂直平分线与角平分线的性质重难点题型专训（3个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、线段垂直平分线的性质 1 题型二、作已知线段的垂直平分线 2 题型三、作垂线(尺规作图) 3 题型四、角平分线的性质定理 4 题型五、角平分线性质的实际应用 5 题型六、作角平分线(尺规作图) 6 题型七、根据垂直平分线的性质求长度 7 题型八、根据垂直平分线的性质求周长 8 题型九、根据垂直平分线的性质求角度 9 第二部分·练提高题型 题型一、垂直平分线常见辅助线添加问题 1 题型一、利用垂直平分线的性质求最值 2 题型二、垂直平分线的判定与性质综合问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 线段垂直平分线的定义及性质 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【即时训练】 1．（2026·山西晋中·模拟预测）到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（     ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所对边的垂直平分线上， 因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是这个三角形三边垂直平分线的交点. 2．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 【答案】14 【分析】先得出，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为． 知识点02 垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”即可解答． 【详解】解：要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点处． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 【答案】18 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 根据垂直平分线的性质可知即可得知三者相加的和． 【详解】解：∵点O为三边垂直平分线的交点 ∴ ∴ 故答案为：18 ． 知识点03 角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分于点，的面积是，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于点F，则由角平分线的性质得到，根据得到，据此计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵平分，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在四边形中，平分，，，且的面积为2，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，得到是解题的关键．过点作的延长线于点，利用角平分线的性质可得出，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线于点， 平分，， ， ∵的面积为2， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 【基础题型一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（2026八年级下·山西朔州·专题练习）在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等， ∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意． 【例2】（26-27八年级上·全国·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【答案】19 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 1．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，，则四边形的周长是________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】观景台距两座凉亭的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线交于点P，则点P即为所求． 【详解】略 【基础题型二 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，中，，分别以点B和C为圆心，大于线段长的一半为半径作弧，两弧分别交于M，D两点，连接交于点N．则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图得：垂直平分， ∴． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【答案】4 【分析】由尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，进而将的周长转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 即， ， ， ． 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 【答案】C 【分析】利用基本作图（作线段垂直平分线）进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴，， 即直线垂直平分线段． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 线段的垂直平分线与直线的交点即为所求点． 【详解】略 【基础题型三 作垂线(尺规作图)】 【例1】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图是小敏在笔记本上尺规作图的痕迹，这是（     ） A．过直线外一点作已知直线的垂线 B．作一条已知直线的平行线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一个点关于已知直线的对称点 【答案】A 【分析】观察图形中的圆弧痕迹，结合尺规作图的基本方法进行判断即可． 【详解】解：由图可知，作图痕迹符合以下特征：首先以直线外一点为圆心，适当长为半径画弧，与已知直线交于两点； 再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧，两弧在直线另一侧交于一点； 最后连接直线外一点与该交点得到直线． ∴这是过直线外一点作已知直线的垂线的作图痕迹． 【例2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，根据图中的作图痕迹，成立的结论为________（写出一条即可）． 【答案】 【分析】观察图中的作图痕迹，判断所作的是的垂直平分线，再依据垂直平分线的性质推导成立的结论． 【详解】解：根据图中的作图痕迹判断是的垂直平分线． 是的垂直平分线，点C在上， ； 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 【答案】A 【分析】连接，由作图可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，当点、、在同一直线上时，的周长最小，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上时，的周长最小，为． 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是________． 【答案】 【分析】由作图过程可知，直线，然后通过三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ． ， ， ． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）画（或作）图并填空： (1)用尺规作图：作出图中的高（不写作法，保留作图痕迹，并标注出点D的位置）； (2)画出把沿射线方向平移的距离后得到的． (3)若，则 ，线段与线段的关系是 ． 【答案】(1) (2) (3)3，平行且相等． 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）作射线，在射线上取，由题意可知，点与点重合，由（1）可知，，过点作的垂线与平行，分别以、为圆心，长和长为半径作图，与直线交于点、，依次连接、、，即可得到． （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：若,则,线段与线段的关系是平行且相等． 【基础题型四 角平分线的性质定理】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 【例2】（2026·福建厦门·三模）如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵ ∴． 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先得出，又平分，，则有，然后通过线段的和与差得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的长为． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求 【分析】由角平分线的性质定理可得，作出的角平分线即可． 【详解】略． 【基础题型五 角平分线性质的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：如图， 三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择． 故答案为：4． 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 2．（25-26八年级上· 浙江衢州· 期中）如图，在中，，三角形的角平分线相交于点．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，如图所示，由角平分线的交点性质及三角形相似的判定与性质即可得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到，利用正切定义代值求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： 点是两条角平分线的交点， ， ， ， ， 设，则， ， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， （由可知舍去）， ， ． 【点睛】本题考查求正切值，涉及角平分线性质、直角三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程及正切函数定义等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 3．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 【基础题型六 作角平分线（尺规作图）】 【例1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 【例2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图画角平分线，角平分线定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，是的平分线，根据角平分线定理可得，结合三角形的面积公式可求出． 【详解】解：如图，作，垂足为， 由作图可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：由作图可知平分，， ，， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，已知，在的内部．按下列步骤作图： （1）在上取一点M，以点O为圆心，以为半径画弧交射线于点N； （2）以点N为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点D； （3）以点O为端点，作射线． 若，则的度数为______． 【答案】/130度 【分析】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的定义，熟练掌握其相关知识点是解题关键． 根据作图得到，根据余角的性质可得到，即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，， ∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理和对顶角的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ， 平分， ， ， ， ∴． 【基础题型七 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 【例2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，，．以点为圆心，以长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，作线段等于已知线段，线段垂直平分线的判定与性质，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于，根据作图步骤可得，，得到垂直平分，则，，然后利用三角形的面积求得的长，即可解答． 【详解】解：如图所示，连接，，设与相交于， 根据作图步骤可得，， 垂直平分，则，， 由得： ， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】连接，由作图可得，由即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， 的周长为． 2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，．分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定垂直平分是解决问题的关键．连接，根据基本作图以及点是的中点，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出．再根据证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由题可得，点E和点O在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期末）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：垂直平分， ， ，， ， ． （3）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 【基础题型八 根据垂直平分线的性质求周长】 【例1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，若的周长为17，且边的垂直平分线分别交于，则对的周长描述正确的是（    ） A．周长为17 B．周长为11 C．周长为11或17 D．周长不可求 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．先求解，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，即可求出的周长． 【详解】解：的周长为17， ∴ 垂直平分， ， 的周长 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，推出，从而将的周长转化为，最后结合三角形周长公式计算即可． 【详解】解：边的垂直平分线分别交于点 的周长为 即 的周长 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（   ）． A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、最短路径问题等知识点，将求三角形周长的最小值转化为求得最小值成为解题的关键． 如图：连接，由垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得；由于为定值，则要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可；又，即当A、P、C三点共线时，有最小值，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据垂直平分线的性质，可知，，根据的周长为，求得，即可求出的周长． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长； 故答案为：； 3．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若的周长为9，，求的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和外角的性质，解决此题的关键是合理利用垂直平分线的性质； （1）根据垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再根据外角的性质即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质得到线段相等，根据已知线段的长度算出相关线段的长度即可得到答案； 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴； （2）解：由（1）可知：, ∴， ∵的周长为9， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 【基础题型九 根据垂直平分线的性质求角度】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，若 则∠APC的度数记为，则∠ABC的度数为（   ） A． B．+45° C．° D．° 【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM，PN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，进而得出∠MPA+∠NPC =180°-，根据三角形的外角性质得到∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上， ∴AM=PM，PN=CN， ∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN， ∵∠APC=， ∴∠MPA+∠NPC =180°-， ∵∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC， ∴∠B=180°-(∠BMN+∠BNM) =180°-2(∠MPA+∠NPC) =180°-2(180°-) =2-180°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点H，连接． （1）若，，则的度数为________ ． （2）若，则的度数为________ ． 【答案】 /27度 /56度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键． （1）由题意易得，则有，，，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由条件可知， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）由（1）得，，， 由条件可知， 即， ∵， ∴， ∵的垂直平分线相交于点H， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，与角平分线有关的计算，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据平分，的垂直平分线交于点，得，再根据三角形内角和定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴ ∴， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：D 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，，则的长度的取值范围为________； （2）若，的度数为，则的度数为________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】（1）由垂直平分，可得．再利用，可得答案； （2）先证明，利用三角形的外角的性质可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1）∵，，垂直平分， ∴． ∵， ∴，即． （2）由（1）知， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（1）；（2）； 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用三角形的三边关系与内角和定理解决问题是关键． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1) 填表如下： …… …… …… (2) ， 证明：由（1）可得， ∵，， ∴； (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； （2）略 （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 【提高题型一 垂直平分线常见辅助线添加问题】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小：___（提示：可添加辅助线）    【答案】 【分析】延长至，使，连接、，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】延长至，使，连接、， 在和中， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在中，， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系，正确的做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【答案】(1)在中，； (2) 证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 【分析】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【详解】（1）解：已知：在中，． 求证： ． 故答案为：在中，． （2）略 2．（2026·北京·一模）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，求证：． 法一：如图1，在上取一点，使得，接． 法二：如图2，延长到，使得，连接．       图1                      图2 你选择方法_______ 证明： 【答案】 解：法一：在上取一点D，使得，连接，    ∵， ， 是等边三角形， ，， ， ， ; 法二：延长到D，使得，连接，    ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，，， ， 是等边三角形， ， 即． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质； 法一：在上取一点D，使得，连接，推出是等边三角形，再利用等角对等边证明，据此即可证明； 法二：延长到D，使得，连接，推出垂直平分，证明是等边三角形，据此即可证明． 【详解】略 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目： 探究． 如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ (1)图中直角边BC与斜边AB的数量关系是___________； (2)爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在中，，，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP． ①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②帮助小明完成证明过程． 【答案】(1) (2) ①如图所示 ②证明： ，， ． 垂直平分， ． ， ， ， 是等边三角形． ， ． ， ． 【分析】（1）由直角三角形的性质求出一角为，利用全等三角形的性质得出，等边三角形的判定得是等边三角形，最后由等边三角形性质得出结论． （2）根据直角三角形的性质求出一角为，再由垂直平分线的性质得出，，进而得，是等边三角形，再由等边三角形性质证明结论． 【详解】（1）中，，， ． ≌， ,， 是等边三角形（一角为的等腰三角形为等边三角形）． ，， ． （2）略 【点睛】本题考查直角三角形、等边三角形、全等三角形、线段的垂直平分线的性质的理解与运用能力．掌握线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；等边三角形的性质与判定（三边相等，三个角相等且为，有一个角为的等腰三角形是等边三角形）是解题的关键． 【提高题型二 利用垂直平分线的性质求最值】 【例1】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识．连接，，根据等边三角形的性质可得，从而得到，当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵在等边中， 是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵当时，的长最小， ∴， 即最小值为9.5． 故选：D 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 【答案】 【分析】将的周长转化为的形式，从而求出的长，再利用三角形三边关系确定最大值即可．　 【详解】如图，连接， 是的垂直平分线， ， 的周长为：， 长度是定值， 要使的周长最小，即的值最小， 根据两点之间，线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，为， 周长的最小值为：， 则， 根据三角形任意两边之差小于第三边，可得， 当，，三点共线时，取得最大值， 即的最大值是． 1．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 【答案】(1) 作出点如图所示： (2) 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作点关于的对称点，连接，即可求解； （2）根据作图可知：，即点为的中点，再结合得垂直平分，所以，由，得，连接，证明是等边三角形，所以得，再根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由作图可知，，即点为的中点， 又， 垂直平分， ， ，， ， 连接， 又点在的垂直平分线上， ， 是等边三角形， 为的中点， ， ， 即的最小值为． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，则的度数是______； (2)连接，若，的周长是14． ①求的周长； ②若是直线上一个动点，则的最小值是______． 【答案】(1) (2)①22；②8. 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、以及轴对称一最短路线问题，综合运用这些知识点是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，先求得的度数，再利用三角形的内角和定理性质求解； （2）①根据题意，易得，得到，的周长即可求得； ②要求的最小值，可先找到点关于直线的对称点是点，与交于点，因此当点在点处时，有最小值． 【详解】（1）解：，， ， 则． 是的垂直平分线， ∴在中，． 故答案为：． （2）解：①，的周长是， ． 是的垂直平分线， ， 则． ， 的周长是． ②根据题意，点关于直线的对称点是点，与交于点，因此当点在点处时，有最小值， 的最小值是． 故答案为：8. 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在梯形中，，，，，动点从点出发向点运动，动点从点出发，以相同的速度向点运动． (1)如图1，连接、交于点，求证：； (2)过点作，垂足为，当最大时，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段（保留作图痕迹，不写作法），直接写出的最大值 ． 【答案】(1)证明：∵梯形， ∴， ∴， ∵动点从点出发向点运动，动点从点出发，以相同的速度向点运动， ∴， ∴． (2)解：如图：线段即为所求；的最大值为． 【分析】（1）由梯形的定义以及平行线的性质可得，由题意可知，利用“角边角”即可证明结论； （2）先说明必过的中点O，连接，运用尺规作出的中点O，连接，过O作交于P、Q，线段即为所求．如图：构建直角坐标系，易得，，再利用勾股定理求两点间的距离即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，, ∴必过的中点O， 如图：连接，过点作，则 ∴是的最大值，即点O和点E重合， ∴线段即为所求；作图略 如图：建立直角坐标系，则， ∵的中点O， ∴，即， ∴， ∴的最大值为． 【提高题型三 垂直平分线的判定与性质综合问题】 【例1】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 【例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，的周长为，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与交于D，E两点，此时的周长是，则______． 【答案】3 【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质得出，，再根据周长定义列式计算，即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ∴，， ∵的周长为， ∴，， ∵的周长是， ∴的周长， ∴， ∴ 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在锐角中，边的垂直平分线分别交边、于点、，边的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而将的周长转化为 ，结合图形及已知条件，判断线段与在上有重叠部分，利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴的周长 ∵， ∴的周长． 2．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【答案】22 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ， 的周长为． 3．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．15 D．17 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，由题意可得，根据“三角形两边之和大于第三边”，可得，可得当点是与直线的交点时，的值最小，即的周长的最小，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 直线是的垂直平分线，是直线上任意一点， ， ， 当点是与直线的交点时，，即的值最小， ，， 的周长的最小值为：． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知，直线l垂直平分AB，点C在直线l上，是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，直线l垂直平分AB，点C在直线l上，是等腰三角形， ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，直线交于点D．连接：再按如图所示作射线，交于点P，根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，掌握线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质及外角性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质及外角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图得：平分，D在的垂直平分线上， ∴，即A、B选项不符合题意， ∴，则，即C选项不符合题意， ∴， ∴，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级下·广西贵港·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 5．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在四边形中，，，．以点A为圆心，的长为半径作弧，与相交于点E，连接，以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法，等腰三角形的判定，解题的关键是熟悉角平分线的作法，掌握等腰三角形的判定；根据角平分线的定义和平行线的性质可证，进而可得，即可得解． 【详解】解：由作法得，平分， ， ， ， ， ． 故选：． 6．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，垂直平分，若，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，再进行计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长为． 7．（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，，点O是，垂直平分线的交点，则的度数是_______________．    【答案】/40度 【分析】连接，延长交于点E，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，，再根据三角形外角的性质可得，，从而可得，即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点E， ∵点O是，垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查线段垂直平分线线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的面积是__________． 【答案】10 【分析】由角平分线性质定理可得，再根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又是的角平分线，，且， ∴， ∴的面积． 9．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为________．    【答案】22 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 故答案为：22． 10．（24-25七年级下·全国·周测）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2) 作于点G，则， 因为， 所以． (3) 【分析】（1）作于点E，于点F，根据角平分线的性质得，则． （2）作于点G，则，所以； （3）由， ，得计算即可． 【详解】（1）作于点E，于点F， ∵是的角平分线，， 所以， 所以． ∴的值是． （2）略． （3）因为， ， 所以． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形面积的计算，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是的边的中点，过延长线上的点作的垂线，与的延长线交于点，，点在上，且．求证：是三边垂直平分线的交点． 【答案】 证明：如图，连接． 是的边的中点， ． ，， ， ． ， 是三边垂直平分线的交点． 【分析】本题考查了证明点在垂直平分线上，熟练掌握垂直平分线的相关内容是解题的关键； 先作辅助线，根据中点得到边相等，再根据平行的性质得到垂直，即可判定垂直平分线，再根据线段相等得到三边相等进而推导出结论． 【详解】略 13．（2026八年级上·河南安阳·专题练习）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2)8 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，准确作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式和等量代换即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）连接， ∵垂直平分， ∴， ，， 的周长为． 14．（25-26八年级下·山东枣庄·周测）已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可； （2）作于点E，交的延长线于点F，连接，，证明，，推出，，则，由此列方程即可求解． 【详解】（1）解∶如图， 的平分线和的垂直平分线即为所求， ； （2）解：如图，作于点E，交的延长线于点F，连接，， 点D是的平分线和的垂直平分线的交点， ，， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ， ， 设，则， ， ． 15．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【分析】（1）先作出线段线段，然后在点，处分别作出，即可； （2）作的角平分线与的交点即为点，根据三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：图略； ，， ， 是的角平分线， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 线段垂直平分线与角平分线的性质重难点题型专训（3个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、线段垂直平分线的性质 1 题型二、作已知线段的垂直平分线 2 题型三、作垂线(尺规作图) 3 题型四、角平分线的性质定理 4 题型五、角平分线性质的实际应用 5 题型六、作角平分线(尺规作图) 6 题型七、根据垂直平分线的性质求长度 7 题型八、根据垂直平分线的性质求周长 8 题型九、根据垂直平分线的性质求角度 9 第二部分·练提高题型 题型一、垂直平分线常见辅助线添加问题 1 题型一、利用垂直平分线的性质求最值 2 题型二、垂直平分线的判定与性质综合问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 线段垂直平分线的定义及性质 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【即时训练】 1．（2026·山西晋中·模拟预测）到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（     ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 知识点02 垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 知识点03 角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，平分于点，的面积是，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在四边形中，平分，，，且的面积为2，则________． 【基础题型一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（2026八年级下·山西朔州·专题练习）在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【例2】（26-27八年级上·全国·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 1．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，，则四边形的周长是________． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【基础题型二 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，中，，分别以点B和C为圆心，大于线段长的一半为半径作弧，两弧分别交于M，D两点，连接交于点N．则的长为（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【基础题型三 作垂线(尺规作图)】 【例1】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图是小敏在笔记本上尺规作图的痕迹，这是（     ） A．过直线外一点作已知直线的垂线 B．作一条已知直线的平行线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一个点关于已知直线的对称点 【例2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，根据图中的作图痕迹，成立的结论为________（写出一条即可）． 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径在直线上方画弧，两弧交于点．再分别以，为圆心，大于的长（两次长度不同）为半径在直线下方画弧，两弧交于点．点为直线上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．13 B．14 C．15 D．19 2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是________． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）画（或作）图并填空： (1)用尺规作图：作出图中的高（不写作法，保留作图痕迹，并标注出点D的位置）； (2)画出把沿射线方向平移的距离后得到的． (3)若，则 ，线段与线段的关系是 ． 【基础题型四 角平分线的性质定理】 【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【例2】（2026·福建厦门·三模）如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分交于点，于点，若，，则的长为______． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【基础题型五 角平分线性质的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 2．（25-26八年级上· 浙江衢州· 期中）如图，在中，，三角形的角平分线相交于点．若，则的值为__________． 3．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【基础题型六 作角平分线（尺规作图）】 【例1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为________． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，已知，在的内部．按下列步骤作图： （1）在上取一点M，以点O为圆心，以为半径画弧交射线于点N； （2）以点N为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点D； （3）以点O为端点，作射线． 若，则的度数为______． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【基础题型七 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，，．以点为圆心，以长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为________． 1．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，．分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长是_________． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期末）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【基础题型八 根据垂直平分线的性质求周长】 【例1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，若的周长为17，且边的垂直平分线分别交于，则对的周长描述正确的是（    ） A．周长为17 B．周长为11 C．周长为11或17 D．周长不可求 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（   ）． A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为________． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若的周长为9，，求的周长． 【基础题型九 根据垂直平分线的性质求角度】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，若 则∠APC的度数记为，则∠ABC的度数为（   ） A． B．+45° C．° D．° 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点H，连接． （1）若，，则的度数为________ ． （2）若，则的度数为________ ． 1．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，，则的长度的取值范围为________； （2）若，的度数为，则的度数为________．（用含的式子表示） 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【提高题型一 垂直平分线常见辅助线添加问题】 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小：___（提示：可添加辅助线）    1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 2．（2026·北京·一模）同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，求证：． 法一：如图1，在上取一点，使得，接． 法二：如图2，延长到，使得，连接．       图1                      图2 你选择方法_______ 证明： 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目： 探究． 如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ (1)图中直角边BC与斜边AB的数量关系是___________； (2)爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在中，，，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP． ①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②帮助小明完成证明过程． 【提高题型二 利用垂直平分线的性质求最值】 【例1】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是直线上一个动点，若周长的最小值是，则的最大值是________． 1．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，则的度数是______； (2)连接，若，的周长是14． ①求的周长； ②若是直线上一个动点，则的最小值是______． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在梯形中，，，，，动点从点出发向点运动，动点从点出发，以相同的速度向点运动． (1)如图1，连接、交于点，求证：； (2)过点作，垂足为，当最大时，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段（保留作图痕迹，不写作法），直接写出的最大值 ． 【提高题型三 垂直平分线的判定与性质综合问题】 【例1】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，的周长为，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与交于D，E两点，此时的周长是，则______． 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在锐角中，边的垂直平分线分别交边、于点、，边的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 3．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．15 D．17 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，直线交于点D．连接：再按如图所示作射线，交于点P，根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西贵港·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在四边形中，，，．以点A为圆心，的长为半径作弧，与相交于点E，连接，以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，垂直平分，若，，则的周长为_______． 7．（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，，点O是，垂直平分线的交点，则的度数是_______________．    8．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的面积是__________． 9．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为________．    10．（24-25七年级下·全国·周测）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 11．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的长． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是的边的中点，过延长线上的点作的垂线，与的延长线交于点，，点在上，且．求证：是三边垂直平分线的交点． 13．（2026八年级上·河南安阳·专题练习）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 14．（25-26八年级下·山东枣庄·周测）已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ． 15．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $