专题01 巧构等腰三角形的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“巧构等腰三角形”为核心，通过四种构造模型系统整合平行线、角平分线、垂线及倍角关系的应用，形成“模型-方法-应用”的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |过腰或底作平行线构造|5题|作平行线转化边/角关系|从基础图形构造到等边三角形动态问题，逐步深化| |平行线与角平分线构造|5题|利用角平分线和平行线证等角|结合角平分线性质与平行性质，构建等腰判定条件| |角平分线与垂线构造|5题|延长垂线构造全等三角形|通过三线合一性质，实现线段转化与等量代换| |倍角关系构造|5题|截长补短法构造等腰|从倍角条件出发，建立边与角的数量关系推理|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01巧构等腰三角形的四种模型 题型归纳 题型一过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形 题型二巧用平行线与角平分线构造新等腰三角形 题型三巧用角平分线与垂线构造新等腰三角形 题型四利用倍角关系构造新等腰三角形 题型专练 题型一：过腰或底作平行线构造新等腰（边)三角形 1.(25-26八年级下·四川达州期末)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,E为AC上一点， 且DE∥BC. D B (I)求证：DE=CE: (②)若∠A=90°，AD=4,BC=12,求△BCD的面积. 2.(25-26八年级上安徽合肥期末)已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC D D4 B B E 图1 图2 图3 (I)聪聪探究AE和DB的大小关系的思路是： 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写 出结论：AE DB(填“>”，“<”或“=”)； ②【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你 写出结论：AE DB(填“>”，“<”或“=”)；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作EF∥BC,交AC于点F, (②)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB 的延长线上，且ED=EC,若△ABC的边长为1，AE=3,求CD的长. 3.(25-26八年级下广东佛山阶段检测)综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”，几何图形变幻无穷， 但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显 现出来.于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的 延长线上，且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由. D B 图1 图2 备用图 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (I)【特殊情况，归纳猜想】如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出 你的结论：AE_BD（选填“>”、“<”或者“=”)： (2)【特例启发，推理证明】如图2，当E不是AB的中点时，小优和小秀认为(1)中的结论仍然成立，所 以他们尝试过点E作EF∥BC,交AC于点F.刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来 的证明过程： (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在BA的延长线上时，点D在BC边上，且CE=DE,请自己画图，并探 究(1)中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 4.(25-26八年级上河北衡水期末)操作探究：已知△ABC是等边三角形，点P是边AC上一点. 图1 图2 图3 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()如图1，过点P作PF∥BC,交AB于点F,图中有一个等边三角形： (②)如图2，点P在AC上运动（不与AC重合），点O是CB延长线上一点，且BO=AP,过P作PE⊥AB于 品，连接PQ交4B于D:试说明：在点p运动的过程中，线段ED的长是定值DE-4B。 (3)若将条件中“△ABC是等边三角形”改为“△ABC是等腰三角形，CA=CB”,如图3所示，(2)中 的结论是否还成立？请说明理由， 5.(2026八年级上：陕西西安·专题练习)如图，△ABC为边长为6的等边三角形，E是边AB边上任意 动点，点D在CB的延长线上，且满足AE=BD B D B B 图① 图② 图③ (I)如图①，当点E为AB的中点时，DE= (2)如图②，点E在运动过程中，DE与EC满足什么数量关系？请说明理由： (3)如图③，F是AC的中点，连接EF.在AB边上是否存在点E,使得DE+EF值最小？若存在，求出这 个最小值：若不存在，请说明理由 题型二：巧用平行线与角平分线构造新等腰三角形 6.(25-26八年级下四川达州阶段检测)如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连接BD并延长到点 E,过点E作EF∥BC交AC于点F,交AB于点G. (I)若BD=DE,求证：CD=DF； (2)若BG=GE,∠ACB=759,∠E=20°，求∠A的度数. 7.(25-26八年级上广东汕头期末)如图，△ABC中，AB=AC,∠B的平分线交AC于D,AE∥BC 交BD的延长线于点E,AF⊥AB交BE于点F. 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B (I)若∠BAC=40°.求∠AFE的度数： (2)若AD=CD,AF=2,求BF的长 8.(25-26七年级下·上海期末)如图，已知：在△ABC中，D为边AB上一点，过点D作BC的平行线， 交∠ABC的平分线于点E,交AC于点F,G为BE的中点，连接FG并延长，交BC于点H, 求证： (1)BD=DE; (2 BD=DF+BH 9.(1)如图1，△ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB AC于点E,F.图中有个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由： (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有_个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是 (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与△ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是_ 图1 图2 图3 10.(25-26八年级上陕西榆林·期末)【问题提出】 (I)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是AD的中点，连接BE,且BE平分∠ABC,延长BE交 CD的延长线于点F,若AB=7,CD=10,则BC的长为一： 【问题探究】 4/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E在AC上，连接BE交AD于点F,AE=EF.延长 AD至点H,使DH=AD,连接BH.请判断AC与BF是否相等，并说明理由： 【问题解决】 (3)为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形ABDC(如图③).已 知渠段AB∥CD,AB=5千米，CD=2千米.为实现精准灌溉，技术人员修建了BC、AE(点E在BC 上)两条分渠道，在分渠道AE上设置了控水巡检点F,经勘测，∠DFE=∠BAE,且种植区△ACE和 △ABE的面积相等.工作人员需从分渠端点D出发沿直线前往巡检点F检查设备，求巡检路线DF的长度， B 图① 图② 图③ 题型三：巧用角平分线与垂线构造新等腰三角形 11.(25-26八年级上湖北荆门期末)如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AD交BC于点 D,过C作CN⊥AD交AD于点H,交AB于点N. B D (I)求证：△ANC为等腰三角形： (2)求证：BN=CD 12.(25-26八年级上·湖北十堰期末)在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD于点F,交AB 于点E B (I)求证∠ABE=∠AEB: (2)若∠BAC=70°，∠C=40°，连接DE,求∠DEB的度数. 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26八年级上·安徽淮南期末)【情境建模】 E B D B H 图1 图2 图3 (①)已知：如图1，点D在△ABC的边BC上，若AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC.请你帮 助小蕊完成证明 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在△ABC中，AD平分 ∠BAC,AD⊥BD,AC-AB=2BD,求证：∠ABC=3∠C 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BC=12,AD平分∠BAC,点E为AC中点，AD与BE相交于点F,过点B作 BH⊥AD交AD延长线于点H,设ABFH、△AEF的面积分别为S,S2,若AB-AC=4,则S-S2的最 大值是一 14.(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON.点A为 OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证：△AOC2ABOC (2)【问题探究】如图2，在(1y的条件下，过点A作AD⊥ON,垂足为D,AD交OP于点E.若 AD=OD,试探究AC和OE的数量关系，并证明你的结论. (3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段BC上，且 ∠BDE-4CR,BE1DE于E,DE交AB于F试探究BE和DP之间的数显关系，并证明你的结论， B 图1 图2 图3 15.利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A 作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△AOC≌ABOC,则AO=BO,AC=BC. 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述 构造全等的办法，求∠DAE的度数： 【问题探究】 (2)如图③，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地△ABC,其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角 形土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD: ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 已知BC=13米，AC=10米，△ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 16.(25-26八年级下·山东枣庄·期中)三角形知识及应用 】 ()如图①，在R1△ABC中，∠C=90°，∠B=459,AD平分∠BAC,交BC于点D.如果作辅助线DE⊥AB 于点E,则可以得到ACCD,AB三条线段之间的数量关系为： (2如图，△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC,交BC于点D.(1)中的结论是否仍然成立？若不成立， 试说明理由；若成立，请证明。 17.(25-26八年级上安徽六安·期末)数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在△ABC中， AD平分∠BAC,∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC”. 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D D B D 图① 图② 图③ ()李老师经过分析：要证AB+BD=AC,就是要证线段的和差问题，可以采用“截长法”：如图②，先 在AC上截取AE=AB,再设法证明BD=EC.请按照这种思路补充证明过程. 证明：在AC上截取AE=AB,连接DE; (2)李强同学受到启发，发现也可以采用“补短法”解答这题.请按照这种思路帮助李强同学补充证明过程 证明：如图③，延长AB至点F,使BF=BD,连接DF 18.(25-26八年级下·山西晋中·期中)阅读下面材料： 在几何探究活动中，我们常通过“截长补短”的方法解决线段与角度的相关问题，阅读以下材料回答问题： 问题1：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AC=AB+BD.求证：∠ABC=2∠C. 小亮通过思考，给出了两种辅助线思路： 思路1：如图②，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,利用全等三角形证明. 思路2：如图③，延长AB到点E,使得BE=BD,连接DE,构造等腰三角形证明， ① ② ③ ④ (I)根据以上材料，任选一种思路完成证明：∠ABC=2∠C: (2)问题2：如图④，在△ABC中，AD为∠CAF的平分线，∠ACB=2∠B,线段AB,AC,CD有怎样的 数量关系？请说明理由. 19.(25-26八年级上：广东珠海期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那 么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣 小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在△ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）)·由 ∠AC'D=∠C,∠ACD>∠B,可得∠C>∠B, 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1) (2) 图1 【类比探究】 (I)如图2，在△ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC, 图2 【方法运用】 (2)如图3，在△ABC中，∠C=2∠B,若AD1BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理由. 图3 20.(25-26八年级上：广东惠州期末)项目式学习一一数学建模 【问题引出】 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2LC 求证：AB+BD=AC” B D 图1 图2 图3 图4 【模型探究】 李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD=AC就是要证线段的和差问题，李老师采用了：“截长法”， 如图2，在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证BD=CE即可. (1)请你根据李老师的简要分析完成【问题引出】中的证明. 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型应用】 (2)如图3，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC,BD=DC,∠BAC=70,∠BDC=110°.求 ∠ABD的度数 (3)在(2)的条件下，以A为顶点作一个35°角，角的两边分别交边CD,DB延长线于点E、F,连接 EF,则BE,EF,FC之间存在什么样的关系？并说明理由. 10/10可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01巧构等腰三角形的四种模型 题型归纳 题型一过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形 题型二巧用平行线与角平分线构造新等腰三角形 题型三巧用角平分线与垂线构造新等腰三角形 题型四利用倍角关系构造新等腰三角形 题型专练 题型一：过腰或底作平行线构造新等腰（边)三角形 1. 【答案】(I)证明：CD平分∠ACB, ∴.∠BCD=∠DCE, DE∥BC, ∴.∠BCD=∠CDE, ∴∠DCE=LCDE, ∴.DE=CE (2)24 【详解】(1)略 (2)解：如图，作DF⊥BC交BC于F, D E 平分 C...CD ∠ACB∠A=∠DFC=90 .AD=DF=4, 1/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③m)x12×4=24 2. 【答案】(1)①=： ②AE=DB,理由如下： 过点E作EF∥BC,交AC于点F, 图2 则∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠FEC=∠ECD, :△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60° .∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°， △AEF为等边三角形，∠EFC=120°， ∴.AE=EF,∠DBE=∠EFC=120°， ED=EC. .∠D=∠ECD ∴.∠D=∠FEC, 在△DBE和△EFC中， ∠DBE=∠EFC=120° ∠D=∠FEC ED=EC ∴.aDBE≌aEFC(AAS). :.DB=EF, :AE=DB: (2)CD=4 【详解】(1)①解：，ED=EC, ∴.∠D=∠ECD ,△ABC是等边三角形， 2/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACB=∠ABC=60°， :点E为AB的中点， ÷∠ECD=)∠ACB=30,AB=BE. ∴∠D=30°， ,∠ABC=∠D+∠DEB .∠DEB=∠ABC-∠D=30°， ∴.∠DEB=∠D. ∴DB=BE, .AE=DB: 故答案为：=： ②略 (2)解：过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F,如图3所示： 图3 则∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠FEC=∠ECD :△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°， .∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=60°， ∴：△AEF为等边三角形，∠EFC=60°， ∴.AE=EF,∠DBE=∠EFC=60°， .ED=EC, .∠D=∠ECD, .∠D=∠FEC, 在△DBE和△EFC中， [∠DBE=∠EFC=60° ∠D=∠FEC ED=EC 3/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ADBE≌△EFC(AAS), .AE=EF=3.DB=EF=3, BC=1, ∴.CD=BC+DB=1+3=4, 3. 【答案】(I)尸 (2)如图，过点E作EF∥BC交AC于点F, 则∠AEF=∠ABC=60°， ,∠A=60° ∴，△AEF是等边三角形， .AE=FE=AF,∠AFE=60°， ∴.∠EFC=∠DBE=120°， .AB=AC,AE=AF, ..BE=CF. :EF∥BC, ∴.∠ECB=∠CEF, .ED=EC, ∴.LD=∠ECB=∠CEF」 在△DBE和△EFC中， ∠DBE=∠EFC ∠D=∠CEF BE=FC ·aDBE≌aEFC(AAS), ∴BD=FE, :BD=AE: (3)不发生变化，证明如下： 4/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点E作EF∥BC交CA的延长线于点F, F 20 3 D .∠I=∠F,∠BCE+∠CEF=180°， .∠B=∠I=∠BAC=60°， .∠EAF=∠2=∠F=60°， ∴，△AEF是等边三角形， .AE=EF,∠F=∠B=60°， .DE=CE, .∠3=∠BCE, .∠3+∠4=180° .∠4=∠CEF, 在△BDE与△FEC中， ∠4=∠CEF ∠B=∠F DE=CE ∴.△BDE≌aFEC(AAS). .BD=EF, .'AE BD 【详解】(1)解：：△ABC是等边三角形，点E为AB的中点， ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=∠ACE=30°，AE=BE, .ED=EC, ∴.∠D=∠ECD=30°， ,∠EBC=∠D+∠BED .∠D=∠BED=30°， .BD=BE. ∴.AE=BD; 5/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)略 4. 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【详解】(1)解：如图1，△ABC是等边三角形 .∠A=∠ABC=60°， .PF l BC. ∴∠AFP=∠ABC=60°， ∴△AFP为等边三角形， △AFP、△ABC是等边三角形，共2个 故答案为：2： (②)线段ED的长是定值，DE=AB,理由如下： 如图2，作PFI川BC交AB于F, 是等边三角形 ←OB 图2 AABC .∠A=∠ABC=60°， .PF BC, ∠AFP=∠ABC=60°， ∴△AFP为等边三角形， .PF=PA, 又PE⊥AB, .AE=EF, .OB=PA.PF=PA, ..BO=PF, 6/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DBQ=180°-∠ABC=120°， ∠DFP=180°-∠AFP=120°， ∴∠DBQ=∠DFP. 在△QBD和△PFD中， ∠DBQ=∠DFP ∠QDB=∠FDP BO=PF ∴.AQBD2APFD(AAS), .FD=BD, .ED=EF+FD= F(F+F)-48 1 (3)(2)中的结论还成立. 理由：如图3，过点作QH⊥AB于H, 图3 CA=CB,∠ABC=∠QBH .∠A=∠ABC=∠QBH, 在△APE与△BOH中， ∠A=∠QBH ∠AEP=∠H=90° PA=OB ∴△APE≌△BQH(AAS): ∴AE=BH,QH=PE, 在△PED与△QHD中， ∠QDH=∠EDP ∠QHD=∠PED OH=PE '.△PED≌△QHD(AAS) .DE=DH, 7/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE-EH-(EB+BH)-(EB+AE)-4B. 5. 【答案】()3V5 (2)DE=CE,理由见解析 (3)3V万 【详解】(I)解：如图①，过点E作EH⊥BC于H, A E 为边长为的等边三角形，点是 的中点， D B H 图① △ABC 6 ∴AE=BE=DB=3,∠ABC=60°，且EH⊥BC, ∠BEH=30° H=子，BH=E-Bm-5aH- 2 .39 :DH=DB+BH=3+22: ∴.DE=VDHP+EH 故答案为：3V3: (2)解：DE=CE.理由如下： 如图②，过E作EF川BC交AC于F. B 是等边三角形， D B 图② △ABC ∴.∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC .EF Il BC. ∴.∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°， 8/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF是等边三角形， .AE=EF=AF, :AB-AE=AC-AF, .BE=CF. :∠ABC=∠ACB=∠AFE=6O°， ∴∠DBE=∠EFC=I20°，且AE=EF=DB,BE=CF, '△DBE≌△EFC(AS), :DE CE, (3)解：如图③，将△ABC沿AB翻折得到△ABC',连接C'F交AB于点E',连接CE,DE',过点F作 FH⊥AC'于点H, C H 图③ :将△ABC沿AB翻折得到△ABC', ∴AC=AC'=BC=BC'=6,∠BAC=∠BAC'=60°，且AE'=AE',CE=CE :△ACE'2△AC'E'(SAS), .C'E'=CE', 由(2)可知：DE=CE, .C'E'=CE'=DE' .DE+EF =CE+EF=C'E+EF, ∴.根据两点之间线段最短，可得当点C,点E,点F三点共线时，DE+EF的值最小，即点E在点E'处， :F是AC的中点， .AF=CF=3,且HF⊥AC,∠FAH=180°-∠CAB-∠C'AB=60°， H-m=5h5, 2 315 CH=6+ 22￥ 9/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF =CH2+HF2 可= ∴DE+EF的最小值为3V7」 题型二：巧用平行线与角平分线构造新等腰三角形 6. 【答案】(1) 证明：EF∥BC ∴.∠DEF=∠DBC,∠DFE=∠DCB, 又BD=DE, .aDEF≌aDBC(AAS). ∴CD=DF; (2)∠A=65° 【详解】(1)略 (2)解：，BG=GE,∠E=20°， .∠GBE=∠E=20°， ,EF∥BC, .∠FBC=∠E=20°， .∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°， 又：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ACB=75°， ∴.∠A=65° 7. 【答案】(1)125 (2)4 【详解】(1)解：AB=AC,∠BAC=40°， ∠ABC=180°-400 =70° 2 BD平分∠ABC, ∠ABD=2D8C=×70=35, AF⊥AB, 10128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAF=90° ∴∠AFE=∠BAF+∠ABD=90°+35°=125° 答：∠AFE的度数为125° (2)'AE∥BC,∠E=∠DBC. E D B 在△ADE和△CDB中， ∠E=∠DBC ∠ADE=∠CDB AD=CD :△ADE≌aCDB(AAS), .AE=CB. '∠E=∠DBC,∠ABD=∠DBC, .∠E=∠ABD, :AB=AE, ∴AB=CB=AC, ∴△ABC为等边三角形， ∠ABC=60°， .∠ABD=30°， AF=2, .BF=4, 答：BF的长为4. 8 【答案】(I)证明：DE∥BC, ∴∠GBH=∠E(两直线平行，内错角相等)， :BE平分∠ABC, .∠CBE=∠DBE, .∠DBE=∠E, 11/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BD=DE: (2)证明：G为BE的中点， ∴.BG=EG, 在△BGH和△EGF中， ∠BGH=∠EGF BG=EG ∠GBH=∠E aBGH≌aEGF(ASA), :BH=EF, .BD=DE=DF+EF=DF+BH 9. 【答案】(1)2，EF=BE+CF,理由见解析.(2)5，EF=BE+CF(3)2,BE=EF+CF 【详解】(I)解：EF=BE+CF,理由如下： :∠ABC,∠ACB的平分线交于O点， .∠EBO=∠CBO.∠FCO=∠BCO, :EF∥BC ∴.∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO. ·∠EBO=LEOB,∠FCO=∠FOC, ∴.BE=OE,CF=OF, ∴，△OEB和△OFC为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形. :.EF=OE+OF=BE+CF. 故答案为：2. (2)解：：AB=AC,即△ABC为等腰三角形， .∠ABC=∠ACB, :∠ABC,∠ACB的平分线交于O点， ∴.∠EBO=∠CBO=∠FCO=∠BCO ∴.OB=OC,即△BCO为等腰三角形， :EF∥BC, ∴.∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE, ∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC,AE=AF,即△AEF为等腰三角形， 12128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=OE,CF=OF, .△OEB和△OFC为等腰三角形， ..EF=OE+OF=BE+CF 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，EF=BE+CF (3)解：，∠ABC的角平分线与△ABC外角∠ACD的角平分线交于点O, ∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠DCO, EF∥BC, ∴.∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠DCO, ∴∠EBO=LEOB,∠FCO=∠FOC, ∴BE=OE,CF=OF, :.△OEB和△OFC为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形. ∴.BE=OE=EF+OF=EF+CF 故答案为：2，BE=EF+CF 10. 【答案】(1)17；(2)AC=BF,证明见解答过程；(3)3km 【详解】(1)解：延长BE交CD的延长线于点F, 如图①所示： E 图① :AB∥DC ∴.∠A=∠FDE,∠ABE=∠F 点E是AD的中点， ..AE=DE, 在△ABE和△DFE中 ∠A=∠FDE ∠ABE=∠F AE=DE ∴△ABE≌△DFE(AAS)」 13128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=DF, .CF=CD+DF=CD+AB. ~BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE, 又∠ABE=∠F, ∠CBE=LF, .BC=CF=CD+AB. AB=7,CD=10, ∴.BC=7+10=17. (2)证明：延长AD至点H,使DH=AD,连接BH, 如图②所示： D H 图② :AD是△ABC的中线，， ∴CD=BD, 在△ACD和△HBD中， DH=AD ∠CDA=∠BDH CD=BD ·.AACD≌△HBD(SAS), ·.AC=BH,∠H=∠CAD AE=EF,∠AFE=∠BFH, .∠EAF=∠AFE, .∠H=∠EAF=∠EFA=∠BFH, :BH=BF .AC=BF. (3)过点A作AH⊥BC于点H,延长CD,AE相交于点N, 14/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图③所示： 图③ :.SABE=2 CE·AH E·AH,S4cE=2 1 S.ABE=SACE .CE=BE, AB∥CD, .∠N=∠BAE,∠NCE=∠ABE 在△NCE和△ABE中， ∠N=∠BAE ∠NCE=∠ABE, CE=BE .ANCE≌△ABE(AAS), .CN=AB ∠DFE=∠BAE,∠N=∠BAE. .∠DFE=∠N, :DF DN .DN=CN-CD=AB-CD, .DF=AB-CD. AB=5km,CD =2km, .DF=AB-CD=5-2=3km 题型三：巧用角平分线与垂线构造新等腰三角形 11. 【答案】(1) 证明：，CW⊥AD, 15128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AHN=∠AHC=90°. 又，AD平分∠BAC, .∠NAH=∠CAH, 又AH=AH, .△ANH≌aACH(ASA). ∴.AN=AC, .△ANC为等腰三角形： (2) 证明：如图，连接WD, B AD平分∠BAC, .∠NAD=∠CAD. 由(1)得AN=AC, 又，AD=AD :△AND≌aACD(SAS), ,ND=CD,∠AND=∠ACD 又：∠ACB=2∠B,即∠ACD=2∠B .∠AWD=2∠B」 :∠AND=∠B+∠NDB, .∠B=∠NDB, .BN =ND. .BN=CD 12. 【答案】(I) 证明：，AD是∠BAC的角平分线， .∠BAD=∠CAD, .90°-∠BAF=90°-∠EAF, :BE⊥AD, 16128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFB=∠AFE=90°」 .∠ABF=90°-∠BAF,∠AEF=90°-∠EAF, ∴.∠ABF=∠AEF,即∠ABE=∠AEB; (2)15° 【详解】(1)略 (2)解：，∠BAC=70°，∠C=40°， .∠ABC=180°-∠BAC-∠C=70°， 由得乙ABE=∠AEB-180°-，B1C-5. 2 .AB=AE, :AD是∠BAC的角平分线， .∠BAD=∠CAD, 又AD=AD, ∴△ABD≌aAED(SAS). ∴∠AED=∠ABD=70°， ∴.∠DEB=∠AED-∠AEB=15° 13, 【答案】(I)证明：：AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, :AD⊥BC, ∴.∠BDA=∠CDA=90° :.∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴∠B=∠C, .AB=AC: (②)证明：如图，延长BD交AC于E点， D B :AD平分∠BAC,AD⊥BD, 由(I)可得∠ABE=∠AEB,AB=AE, 17128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BE=2BD, AC-AB=2BD. .AC-AE=BE. .BE=CE, ∴.∠C=∠EBC, :∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC=2∠C. ∴.∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C+∠C=3∠C: (3)12 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：延长BH,AC交于点G,如图所示： F D ·G AD平分∠BAC, .∠BAH=∠GAH, ,BH⊥AD, ∴∠AHB=∠AHG, .AH AH .△ABH≌aAGH(ASA). .'BH=GH,AB=AG, 8m=成m分8m ,E为AC的中点， 1 ÷8a=8,acs=23c, …S1-S2 =S.RFH -S.AEF =(SBFH+S.ADF）-(SA+SMBF)） 18128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -SABH -SABE 2 -68） 1 =2., 当△BCG的面积最大时，S-S2最大， .AB-AC=4,AB=AG, ..AG-AC=4. 即CG=4, BC=12, :当BC⊥CG时，△BCG的面积最大， 六△BCG的最大面积为：2×12×4=24， 六8-S的摄大值为：×24=12， 14. C答案】(4)见解析：(2)OE=24C,见解析：(3)BE2DF；见解 【详解】(1)在△AOC和△BOC中， ∠AOC=∠BOC OC=OC ∠OCA=∠OCB=90° .△AOC≌△BOC(ASA): (2)OE=2AC,理由如下： NB D p、C MA 由(1)得，△AOC≌ABOC, .AC=BC,即AB=2AC, ∠BCO=∠ADB=90°， 19128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BOC+∠OBC=∠DAB+∠OBC=90°， .∠BOC=∠DAB 在△DOE和△DAB中， [∠DOE=∠DAB OD=AD ∠ODE=∠ADB=90° ∴△DOE≌△DAB(ASA), ∴OE=AB, :.OE =2AC: (3)BE=)DF.理由如下： 如图：过点D作DG∥AC,交BE的延长线于点G,与AF相交于H, G A H C DGIAC .∠GDB=∠C,∠BHD=∠A=90°， :∠BDE=∠ACB :∠EDB=∠EDG=∠ACB, 2 BE⊥ED, .∠BED=90°， ∴.∠BED=∠BHD, ,∠EFB=∠HFD, ∠EBF=∠HDF, AB=AC,∠BAC=90° .∠C=∠ABC=45°， DGI AC. ∴.∠GDB=∠C=45°， .∠GDB=∠ABC=45°， ..BH DH, 20128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BGH和△DFH中， [∠HBG=∠HIDF BH DH ∠BHG=∠DHF=90° :∴△BGH≌△DFH(ASA), ∴BG=DF, 在△BDE和△GDE中， I∠BDE=∠GDE DE=DE ∠BED=∠GED=90° :.△BDE≌△GDE(ASA), BE=EG,即BE=)BG, 2 .BE-IBG- 2 DF 15. 【路案】(D4E=26:〈2BE-CD,是见解折（3及o-四 13· 【详解】(1)如图2，延长AE交BC于点F, D E B F 由已知可知AC=FC, .∠EFC=∠EAC=63 ,∠EFC=∠B+∠DAE, .∠DAE=∠EFC-∠B=63°-37°=26°： （2）BE=CD,证明如下： 2 如图，延长BE、CA交于点F,则∠BAF=180°-∠BAC=90°， 21128 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B BE⊥CD, .∠BED=90°=∠BAC, :∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC, .∠ABF=∠ACD, 又AB=AC, .△ABF≌△ACD(ASA)」 .BF=CD. 由己知可知，BE=FE=}BE, 2 1 ...BE=CD: (3)如图，延长AD交BC于E, B E A 由已知可知，AD=ED,EC=AC=I0, S.4CD=S.ECD, .S.4BC=20 10 10 .S.c=138.we- ×20=200 13 13 1 100 5m=23c=13 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 16. 22128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)AB=AC+CD (2)成立，证明见解析 【详解】(I)解：，DE⊥AB, .∠AED=90°=∠C, :AD平分∠BAC, ·.∠CAD=∠EAD, 在△CAD和△EAD中 [∠C=∠AED ∠CAD=∠EAD AD=AD .△CAD≌aEAD(AAS), ∴.CD=DE,AC=AE, ,∠B=45°，∠DEB=90°. ·.∠BDE=45°=∠B,则DE=EB, ∴.DC=BE. .AE+BE=AC+DC=AB 故答案为：AB=AC+CD (2)解：成立 证明：如图2，在AB上截取AE=AC,连接DE, E D B 图2 ,在△ACD和△AED中， AC=AE ∠CAD=∠BAD AD=AD .△ACD≌△AED(SAS). .CD=ED∠C=∠AED」 又∠C=2∠B, .∠AED=2∠B, 23128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠AED=∠B+∠EDB, ∴.2∠B=∠B+∠EDB, .∠B=∠EDB, ∴，ED=EB, .AB=AE+EB,ED=EB=CD,AE=AC, ..AB=AC+CD 17. 【答案】(1) 证明：AD平分∠BAC, ∠BAD=∠EAD, 在△ABD和△AED中， AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD .∴AABD≌△AED(SAS) ∴∠B=∠AED,BD=DE, 又：∠B=2∠C, .∠AED=2∠C. ,∠AED=∠C+∠EDC=2LC, ∴.∠C=∠EDC, .DE =CE, ..BD=CE, ∴.AB+BD=AE+CE=AC. (2) 证明：BF=BD, .∠F=∠BDF, ∴.∠ABD=∠F+∠BDF=2∠F, ∠ABD=2∠C, ∠F=∠C, 在△AFD和△ACD中， 24128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠F=∠C ∠FAD=∠CAD AD=AD ∴△AFD≌△ACD(AAS). .AC=AF, ∴.AB+BD=AB+BF=AC. 18. 【答案】(1) 证明：按照思路1： AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△AED中， (AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴.△ABD≌△AED .∠ABC=∠AED,BD=ED, :AC=AB+BD,AE=AB, ∴.EC=BD=ED ∴.△DEC是等腰三角形， ∠EDC=∠C, ∴.∠AED=∠EDC+∠C=2∠C, ∴.∠ABC=2∠C」 按照思路2： :BE =BD, :∴△EBD是等腰三角形， .∠AED=∠BDE, :AC=AB+BD, .AC=AB+BE=AE, AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD 25128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AED和△ACD中， AD=AD ∠EAD=∠CAD AE=AC .△AED≌△ACD ∴.∠AED=∠C '∠ABC=∠AED+∠BDE=2∠AED=2∠C, ∴.∠ABC=2∠C (2) AB,AC,CD三者之间的关系是：CD=AB+AC. 理由如下： 在射线AF上截取线段AE,使AE=AC, E A 平分 B D .·AD ∠CAF .∠CAD=∠FAD, 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD(SAS) AD=AD .·.△AED≌△ACD ∴.ED=CD,∠ACD=∠AED, ∴.∠ACB=∠DEF, 又：∠DEF=∠B+∠EDB,∠ACB=2∠B ∠B=∠EDB, .BE DE=CD. .AB+AE=CD .AB+AC=CD」 19. 【答案】(1)见解析，(2)BD=AC+CD,理由见解析 26128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)证明：把△ABC翻折，使点B落在点C上，折痕分别交AB、BC于点D、E D B 由翻折的性质可知，CD=BD, AD+CD>AC, .AD+BD=AB>AC,AB>AC; [方法运用] (2)解：BD=AC+CD,理由如下： 如图(3)，在BD上取E,使DE=CD,连接AE, E D (3) DE=CD ∠ADE=90°=∠ADC AD=AD ∴.△ADE≌△ADC(SAS) ∴.AE=AC,∠AED=∠C=2∠B, :∠AED=∠B+∠BAE, .∠B=∠BAE, .BE=AE=AC, ∴.BD=BE+DE=AC+CD,即BD=AC+CD; 20 【答案】(1)证明见解析：(2)∠ABD=90°，(3)EF+BE=FC,理由见解析 【详解】解：(1)如图2，在AC上截取AE=AB,连接DE, :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD 又AE=AB,AD=AD ∴△ABD≌△AED(SAS). .∠B=∠AED,BD=DE .·∠AED=∠B=2∠C=∠C+∠EDC 27128 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EDC=∠C, :DE EC=BD, :AC=AE+EC=AB+BD,AB+BD=AC: (2)AB=AC,∠BAC=70°， ÷∠ABC=∠4CB=)x180°-70)=55°， 2 .BD=DC,∠BDC=110° ∠DBc=∠DCR-2x0s0-10)=35, :.∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°， (3)EF+BE=FC,理由如下： 由(2)中同理可得：∠ACD=∠ABD=90°， .∠ABE=90°， 如图，在CD上取点G,使CG=BE,连接AG, 由AB=AC,∠ABE=∠ACD=90,BE=CG, 可得：△ABE≌△ACG(SAS), .∠EAB=∠GAC,AE=AG :∠EAB+∠BAF=35°=∠GAC+∠BAF, .∠FAG=∠BAC-(∠GAC+∠BAF)=70°-35°=35°， .∠FAG=∠FAE ∴.AFAG≌△FAE(SAS), ∴EF=FG, GF+GC=FC, ∴EF+BE=FC. 28128 专题01 巧构等腰三角形的四种模型 题型一 过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形 题型二 巧用平行线与角平分线构造新等腰三角形 题型三 巧用角平分线与垂线构造新等腰三角形 题型四 利用倍角关系构造新等腰三角形 题型一：过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形 1．（25-26八年级下·四川达州·期末）如图，在中，平分交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， ， ． (2)24 【分析】（1）可证，，即可得证； （2）作交于，可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作交于， 平分，， ， ． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)聪聪探究和的大小关系的思路是： ①【特殊情况，探索结论】如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②【特例启发，解答题目】如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：__________（填“＞”，“＜”或“＝”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点作，交于点． (2)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】(1)①； ②，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． ②过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②略 （2）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 4．（25-26八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有 个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）根据是等边三角形，，得出、是等边三角形即可； （2）作交于，先判定为等边三角形，再根据三线合一，得到，然后判定，得到，进而得到； （3）作于，先判定，得到，，再判定，得到，进而得到（2）中的结论还成立． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， 、是等边三角形，共2个 故答案为：； （2）线段的长是定值，即，理由如下： 如图，作交于， 是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）（2）中的结论还成立． 理由：如图3，过点作于， 在与中， 在与中， 5．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，为边长为6的等边三角形，是边边上任意一动点，点在的延长线上，且满足． (1)如图①，当点为的中点时，_____； (2)如图②，点在运动过程中，与满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图③，是的中点，连接．在边上是否存在点，使得值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理． （1）如图①，过点作于，由等边三角形的性质可得，由直角三角形的性质可求， ，由勾股定理可求解； （2）如图②，过作交于，可证是等边三角形，，由可证，可得； （3）如图③，将沿翻折得到，连接交于点，连接，，过点作于点，由可证，可得，可得当点，点，点三点共线时，的值最小，由勾股定理可求最小值． 【详解】（1）解：如图①，过点作于， 为边长为的等边三角形，点是的中点， ，，且， ， ∴， ， ∴， ∴. 故答案为：； （2）解：．理由如下： 如图②，过作交于． 是等边三角形， ，． ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． ， ，且，， ， ， （3）解：如图③，将沿翻折得到，连接交于点，连接，，过点作于点． ∵将沿翻折得到， ，，且， ， ， 由（2）可知：， ． ， 根据两点之间线段最短，可得当点，点，点三点共线时，的值最小，即点在点处， 是的中点， ，且'，'， ， ， ， ， 的最小值为． 题型二：巧用平行线与角平分线构造新等腰三角形 6．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在中，点D为边上一点，连接并延长到点E，过点E作交于点F，交于点G． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）只需要证明，则可证明； （2）由等边对等角得到的度数，由平行线的性质得到的度数，则可求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 7．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． (1)若．求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可知，再根据角平分线以及垂直关系即可求解； （2）根据平行条件，可证明,从而可知为等边三角形，进而可知的长度． 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ． 答：的度数为． （2），， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 答：的长为4． 8．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：在中，D为边上一点，过点D作的平行线，交的平分线于点，交于点，为的中点，连接并延长，交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：， （两直线平行，内错角相等）， 平分， ， ， ； (2)证明：为的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义可得，进而得到； （2）先证，得到，再根据边的关系即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 9．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 10．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，是的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，是的中线，点在上，连接交于点，．延长至点，使，连接．请判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）为了保证某果园的灌溉效果，园方计划修建节水灌溉渠，主渠道围成四边形（如图③）．已知渠段，千米，千米．为实现精准灌溉，技术人员修建了、（点在上）两条分渠道，在分渠道上设置了控水巡检点，经勘测，，且种植区和的面积相等．工作人员需从分渠端点出发沿直线前往巡检点检查设备，求巡检路线的长度． 【答案】（1）17；（2），证明见解答过程；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的关键． （1）延长交的延长线于点，证明和全等得，进而得，再根据平分得，则，由此可得出之间的等量关系，即可求解； （2）延长至点，使，连接，根据是的中线，得出，证明和全等得，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点作于点，延长相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，再根据得，则，然后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 如图①所示： ， ， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ∵，， ． （2）证明：延长至点，使，连接， 如图②所示： ∵是的中线，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）过点作于点，延长相交于点， 如图③所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型三：巧用角平分线与垂线构造新等腰三角形 11．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过C作交于点H，交于点N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (2) 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， 由（1）得， 又∵ ∴， ∴， 又∵，即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，由角平分线的定义可得，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）连接，先证，得到，，根据三角形外角的性质和已知条件证明，从而可得，由此即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）在中，是的角平分线，于点F，交于点E． (1)求证； (2)若，连接，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，根据垂线的定义和直角三角形两锐角互余可得，据此可证明结论； （2）由三角形内角和定理可得，由等角对等边可得，证明，得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）【情境建模】 (1)已知：如图1，点在的边上，若平分，且，求证：．请你帮助小蕊完成证明． 【理解内化】 (2)请尝试直接应用“情境建模”中小蕊反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为，，若，则的最大值是______． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)证明: 如图，延长交于点， ∵平分，， 由（）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)12 【分析】（）由平分，得，再根据，，证出则可得出结论； （）延长交于点，由（）可得，，证明 ，进而可以解决问题； （3）延长，交于点G，证明，得出，，即可得出，根据为的中点，得出，求出，从而得出当的面积最大时，最大，求出的面积的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，交于点G，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵ ， ∴当的面积最大时，最大， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴的最大面积为：， ∴的最大值为：． 14．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 15．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四：利用倍角关系构造新等腰三角形 16．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）三角形知识及应用 (1)如图①，在中，平分，交于点D．如果作辅助线于点E，则可以得到三条线段之间的数量关系为 ； (2)如图，中，平分，交于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）证明，得，再根据等角对等边得到，由此即可求解； （2）在上截取，连接，证明，得，再根据三角形外角的性质，等腰三角形的判定得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：成立． 证明：如图2，在上截取，连接， ∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26八年级上·安徽六安·期末）数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在中，平分．求证：”． (1)李老师经过分析：要证，就是要证线段的和差问题，可以采用“截长法”：如图②，先在上截取，再设法证明．请按照这种思路补充证明过程． 证明：在上截取，连接； (2)李强同学受到启发，发现也可以采用“补短法”解答这题．请按照这种思路帮助李强同学补充证明过程． 证明：如图③，延长至点F，使，连接． 【答案】(1) 证明：平分， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ∵， ， ， ， ． (2) 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定及线段和差的转化． （1）通过构造全等三角形，利用全等推导出角与边的关系，结合外角性质证，进而利用线段和差代换即可； （2）先通过构造等腰三角形与角的关系，再构造全等三角形，利用线段和差代换即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 18．（25-26八年级下·山西晋中·期中）阅读下面材料： 在几何探究活动中，我们常通过“截长补短”的方法解决线段与角度的相关问题，阅读以下材料回答问题： 问题1：如图①，在中，平分，且．求证：． 小亮通过思考，给出了两种辅助线思路： 思路1：如图②，在上截取，使得，连接，利用全等三角形证明． 思路2：如图③，延长到点，使得，连接，构造等腰三角形证明． (1)根据以上材料，任选一种思路完成证明：； (2)问题2：如图④，在中，为的平分线，，线段，，有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1) 证明：按照思路1： 平分， ， 在和中， ， ，， ，， , 是等腰三角形， ， ， ∴． 按照思路2： ， 是等腰三角形， ， ， ， 平分， 在和中， ， ， ． (2) ，，三者之间的关系是： ． 理由如下： 在射线上截取线段，使， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．重点在于利用材料里的“截长补短”法，构造全等三角形． （1）先通过证明，证得，再证明是等腰三角形，，所以； （2）在射线上截取线段，使，先证明，证得，，然后再证明，，最后证得 【详解】（1）略 （2）略 19．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 20．（25-26八年级上·广东惠州·期末）项目式学习——数学建模 【问题引出】 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，． 求证：”．      【模型探究】 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了：“截长法”，如图2，在上截取，连接，只要证即可． （1）请你根据李老师的简要分析完成【问题引出】中的证明． 【模型应用】 （2）如图3，和是等腰三角形，且．求的度数． （3）在（2）的条件下，以为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点、，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）在上截取，连接，结合角平分线的定义证明，得到，根据三角形外角性质以及等角对等边求出，进而得出结论； （2）根据等边对等角，三角形内角和求出的度数，再进一步求出的度数； （3）在上取点，使，连接，求得，证明，得到，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图2，在上截取，连接， 平分， ． 又， ， ， ， ， ，即； （2）， ， ， ， ， （3），理由如下： 由（2）中同理可得：， ， 如图，在上取点，使，连接， 由， 可得：， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $