第二章 有理数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学第二章有理数单元卷，融合中考真题与创新情境，覆盖数轴、相反数等核心知识，通过地铁客运量、停车收费等现实问题培养运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|数轴、科学记数法、相反数|结合江苏中考真题，考查基础概念辨析| |填空题|8/24|绝对值、数字规律、数轴距离|融入加密规则、几何意义，培养抽象能力| |解答题|10/72|有理数运算、分类讨论、实际应用|设计研学行程、停车收费等情境，通过铺地锦探秘、跳跃点探究提升推理与创新意识|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A B D A A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12． 13．3 14．6469 15．或1/1或 16．或 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；········································2分 （2）解： ．·······································5分 18．（5分） 【答案】正数集：②①⑧⑤；整数集：⑨⑦④⑤；负分数集：⑥③；有理数集：⑨⑦⑥③④②①⑧⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的乘方运算，化简绝对值与多重符号，熟练掌握正数、整数、负分数，有理数的定义是解题的关键；根据有理数的分类填空，即可求解． 【详解】，，， 正数集：3，，，；， 即正数集：{②①⑧⑤}；·······································1分 整数集：，，，；， 即整数集：{⑨⑦④⑤}；·······································2分 负分数集：，；， 即负分数集：{⑥③}；······································3分 有理数集：，，，，，，，，， ， 即有理数集：{⑨⑦⑥③④②①⑧⑤}．·······································5分 19．（6分） 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米；·······································3分 （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟．·······································6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【分析】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：；·······································2分 （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：；·······································4分 （3）解：将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为．·······································6分 21．（6分） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（）根据运算程序计算即可求解； （）设小丽心里想的数是，根据题意列出方程解答即可求解； （）设小丽心里想的数是，可得最终的计算结果是，即把小丽的计算结果加就是她心里想的数，据此即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：；·······································2分 （2）解：设小丽心里想的数是， 则， 解得， ∴小丽心里想的数是， 故答案为：；·······································4分 （3）解：设小丽心里想的数是，则， 即最终的计算结果是， 可知，最终的计算结果比原数小， ∴把小丽的计算结果加就是她心里想的数．································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用数轴比较大小即可解答； （2）由数轴可得，，且，再利用有理数的加法、减法法则即可解答； （3）由数轴可知，，从而确定a、b的值，再根据相反数和倒数的定义得出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴， 故答案为：；·······································3分 （2）解：由（1）得，，， ∴，， 故答案为：；；·······································5分 （3）解：由数轴得，，， 又∵，， ∴，， ∵c、d互为相反数，m、n互为倒数， ∴，， ∴．···································8分 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、相反数、倒数，有理数的大小比较，有理数的加法和减法，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23．（8分） 【答案】(1)①11或5；②22 (2)当为3秒或5秒时，，两点之间的距离为2． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是根据题意找到等量关系，列出方程求解，并利用分类讨论思想分析问题． （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点表示的数； （2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过秒时，，两点之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴或5． 故答案为：11或5；·······································2分 ②根据题意可得，表示数轴上表示有理数的点到表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点到表示有理数8的点之间的距离的和， ∴的最小值为． 故答案为：22；·······································4分 （2）解：设经过秒时，，两点之间的距离为2， 此时点表示的数是， 则， 可得， 解得或5， 故当为3秒或5秒时，，两点之间的距离为2．·······································8分 24．（8分） 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【分析】（本题主要考查了铺地锦乘法算法、十进制与五进制的数的运算、进位规则等知识点，熟练掌握铺地锦的计算规则和不同进制下的进位方法是解题的关键． （1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到；再根据的值和满十进一规则，计算 （4）在五进制下，先计算得到，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【详解】（1）解：如图， ；·······································2分 （2）解：如图， 解得；·······································4分 （3）解：如图， ∴， ， ；·······································6分 （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于．···································8分 25．（10分） 【答案】(1)①5     ②14 (2) (3)，或，或，或， 【分析】本题考查了有理数的运算的应用，整式加减的应用，读懂题意，分清白天时段和夜间时段的不同收费标准是解题的关键． （1）①根据题意，得到停车时段为白天，停车时长1小时36分钟，按2小时收费，即可得到结果； ②停车时间跨两个时间段，分别计费，同时白天停车按8小时收费，夜间停车按2小时收费，累计相加即可得到结果； （2）20:00，应该为白天时段收费， 20:00以后，应是夜间时段收费，分开累加即可得到结果； （3）分别计算和的取不同的值，得到总收费为7元即可． 【详解】（1）解：①10:00进场停车，11:36离场， 在白天时段，时长1小时36分钟，按2小时收费． 需付停车费：（元）． 故答案为：5．·······································2分 ②12:00进场停车，21:46离场， 在白天时间停了8小时；夜间时段停了1小时46分钟，夜间按2小时收费． 需付停车费：（元）． 故答案为：14．·······································4分 （2）10:00进场停车，21:00-24:00离场， 在白天时间停了10小时；夜间时段停了． 需付停车费：．·································6分 （3）当时，白天没有停车费用，则夜间停车费为7元， ． 当时，白天停车费为4元，则夜间停车费为3元， ． 当时，白天停车费为5元，则夜间停车费为2元， ． 当时，白天停车费为6元，则夜间停车费为1元， 根据夜间收费规则，首小时2元，之后1元/小时，停车费不可能为1元，故此种情况不成立． 当时，白天停车费为7元，则夜间停车费为0元， ． 综上所述，，或，或，或，．···································10分 26．（10分） 【答案】(1)1，6，3 (2)①3，9，12；②不变，；③线段的长度为 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点间的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据点与点表示的数互为相反数，可得点，根据点与点的中点为点表示的数，可得点，进而即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可知和关于原点对称，所以可得表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度；②由题易知是和的中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可；③同②思路即可得解． 【详解】（1）解：∵点与点表示的数互为相反数，点表示的数为， ∴点表示的数是1． ∵点表示的数为5， ∴点与点之间的距离为． ∵点与点的中点为点， ∴点表示的数是． 点D在数轴上如图所示．    故答案为：1，6，3．·······································3分 （2）①由题可知和关于原点对称，点表示的数是， ∴表示的数是3． ∵点表示的数为6， ． ， ∴表示的数是9． ． 故答案为：3，9，12．·······································6分 ②的值不变，，理由如下： 由题可知和关于原点对称，点表示的数是， ∴表示的数是． 若，如图所示，    ∵点与点位于点的两侧，且， ． ∴表示的数是． ． 若，如图所示，    ∵点与点位于点的两侧，且， ． ∴表示的数是． ． 综上所述：．·······································8分 ③的值不变，，理由如下： 由题可知和关于原点对称，点表示的数是， ∴表示的数是． ∵点与点位于点的两侧，且， ∴点为的中点． 设点表示的数是， 则， ． ．·······································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找最接近原点的点，只需比较各数的绝对值，绝对值最小的即为所求． 【详解】解：∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，，，， ∵ ∴对应的点到原点的距离最小，最接近原点． 2．（2026·江苏泰州·二模）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知高于海平面记为正，那么低于海平面应记为负，按规则写出对应标注即可． 【详解】解：∵已知高于海平面标注为，即规定高于海平面用正数表示， ∴低于海平面应用负数表示，标注为． 3．（2026·江苏南京·二模）2026年4月22日南京地铁宁马线（号线）全线贯通，“五一”假期首日宁马线全天客运量超195800人次，创开通以来客运新高．用科学记数法表示195800是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】 解：对于数，它共有位整数， ，， ． 4．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数和有理数的乘方运算，利用两个绝对值互为相反数，且绝对值非负，则两数均为0是解题的关键． 首先根据两个绝对值互为相反数，且绝对值非负的已知条件，得到两数均为0，进而解出a和b的值，最后计算的值即可． 【详解】∵与互为相反数，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（25-26七年级上·四川眉山·期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的数，则代数式的值为 （    ）． A．2 B．0 C． D．2或0 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，数轴上点到原点的距离及代数式的求值．根据条件，a和b互为相反数，则；c和d互为倒数，则；x到原点距离为1，则或，代入代数式化简后，值取决于x，可能为2或0． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 当时，； 当时，， ∴值为2或0． 故选：D． 6．（19-20七年级上·江苏无锡·期中）小学的时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻”游戏，现在将，，，，，，，，分别填入如图所示的圆图内，使横、竖以及内外两图上的4个数之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加、减法的应用．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为，， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是， ∴， ， 剩下两个数为和，且满足， ∵当时，，则， 当时，，则． 故选：A． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，，，，然后依次进行排除选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 则①，正确； ②，，正确； ③，错误； ④因为，，所以，正确． 因此错误的有1个． 故选A． 8．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加法运算，数字类规律探索等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过计算序列前几项，发现规律：当n为奇数时，；当n为偶数时，，由2025为奇数，代入公式计算即可求解． 【详解】解∶∵， ， ， ， ， ， ， … ∴规律为：n为奇数时，； n为偶数时，． ∵2025为奇数， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·陕西宝鸡·二模）在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 【答案】 【分析】根据数轴上点表示的数以及两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧， ∴． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键．根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值，即，进而求出线段的长度． 【详解】解：已知点表示的数为，点表示的数为， 则． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·河南·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据数轴上点的位置得到式子的正负，再根据绝对值的性质化简求值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 13．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9，若收到的密文是2025，那么通过解密，它对应的明文是______． 【答案】6469 【分析】本题考查了数字类规律探索．根据“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”，找到密文是2025，各个数位对应的数字即可求解． 【详解】解：∵“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”， ， ， ， ． 故它对应的明文是6469． 故答案为：6469． 15．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【分析】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ；········································2分 （2）解： ．·······································5分 18．（5分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）把下列各数序号按各数从小到大的顺序号填入相应的括号内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集：{                      } 整数集：{                      } 负分数集：{                      } 有理数集：{                      } 【答案】正数集：②①⑧⑤；整数集：⑨⑦④⑤；负分数集：⑥③；有理数集：⑨⑦⑥③④②①⑧⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的乘方运算，化简绝对值与多重符号，熟练掌握正数、整数、负分数，有理数的定义是解题的关键；根据有理数的分类填空，即可求解． 【详解】，，， 正数集：3，，，；， 即正数集：{②①⑧⑤}；·······································1分 整数集：，，，；， 即整数集：{⑨⑦④⑤}；·······································2分 负分数集：，；， 即负分数集：{⑥③}；······································3分 有理数集：，，，，，，，，， ， 即有理数集：{⑨⑦⑥③④②①⑧⑤}．·······································5分 19．（6分）（25-26七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米；·······································3分 （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟．·······································6分 20．（6分）（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【分析】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：；·······································2分 （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：；·······································4分 （3）解：将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为．·······································6分 21．（6分）（25-26七年级上·宁夏银川·期末）小华和小丽玩一个数字游戏，小华说：“你在心里任意想一个数，按以下步骤操作后，告诉我结果，我就会立马知道你心里想的是什么．”你明白其中的道理吗？让我们和小丽一起来揭秘吧． (1)如果小丽心里想的是，那么她最终得到的结果是 ． (2)如果小丽告诉小华她最终得到的结果是，那么小华会告诉小丽心里想的数是 ． (3)小丽又换了几个她最终得到的结果告诉小华，小华都能立马说出她心中想的数字，请你揭示其中的奥秘． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（）根据运算程序计算即可求解； （）设小丽心里想的数是，根据题意列出方程解答即可求解； （）设小丽心里想的数是，可得最终的计算结果是，即把小丽的计算结果加就是她心里想的数，据此即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：；·······································2分 （2）解：设小丽心里想的数是， 则， 解得， ∴小丽心里想的数是， 故答案为：；·······································4分 （3）解：设小丽心里想的数是，则， 即最终的计算结果是， 可知，最终的计算结果比原数小， ∴把小丽的计算结果加就是她心里想的数．································6分 22．（8分）（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空： 0， 0； (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用数轴比较大小即可解答； （2）由数轴可得，，且，再利用有理数的加法、减法法则即可解答； （3）由数轴可知，，从而确定a、b的值，再根据相反数和倒数的定义得出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴， 故答案为：；·······································3分 （2）解：由（1）得，，， ∴，， 故答案为：；；·······································5分 （3）解：由数轴得，，， 又∵，， ∴，， ∵c、d互为相反数，m、n互为倒数， ∴，， ∴．···································8分 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、相反数、倒数，有理数的大小比较，有理数的加法和减法，求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23．（8分）（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且， (1)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索： ①若，则________． ②的最小值为________． (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当为多少秒时，，两点之间的距离为2？ 【答案】(1)①11或5；②22 (2)当为3秒或5秒时，，两点之间的距离为2． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是根据题意找到等量关系，列出方程求解，并利用分类讨论思想分析问题． （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点表示的数； （2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过秒时，，两点之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴或5． 故答案为：11或5；·······································2分 ②根据题意可得，表示数轴上表示有理数的点到表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点到表示有理数8的点之间的距离的和， ∴的最小值为． 故答案为：22；·······································4分 （2）解：设经过秒时，，两点之间的距离为2， 此时点表示的数是， 则， 可得， 解得或5， 故当为3秒或5秒时，，两点之间的距离为2．·······································8分 24．（8分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【分析】（本题主要考查了铺地锦乘法算法、十进制与五进制的数的运算、进位规则等知识点，熟练掌握铺地锦的计算规则和不同进制下的进位方法是解题的关键． （1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到；再根据的值和满十进一规则，计算 （4）在五进制下，先计算得到，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【详解】（1）解：如图， ；·······································2分 （2）解：如图， 解得；·······································4分 （3）解：如图， ∴， ， ；·······································6分 （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于．···································8分 25．（10分）（25-26七年级上·江苏扬州·期中）扬州，这座自古令人向往的“好地方”，如今正以历史与现代交融的崭新面貌迎接八方来客．扬州的商圈，就像一座融合了烟火气与便捷感的宝藏天地！扬州某商场停车场为24小时营业，停车实行计时收费，小型车收费标准为： 停车时段 收费方式 白天（08:00-20:00） 4元/首小时，首小时后1元/小时 夜间（20:00-08:00） 2元/首小时，首小时后1元/小时 备注 1．收费计时单位为1小时，不足1小时的，按1小时收费； 2．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)①若某日黄老师10:00进场停车，11:36离场，则需付停车费________元； ②若某日黄老师12:00进场停车，21:46离场，则需付停车费________元； (2)若某日黄老师10:00进场停车，停了小时后离场（为整数），且离场时间介于当日的21:00-24:00间，则他此次停车的费用为多少元？（用含的代数式表示） (3)若某次黄老师在该停车场停车费用为7元，其中白天时段停车小时，夜间时段停车小时（，均为非负整数），请直接写出所有符合条件的、的值． 【答案】(1)①5     ②14 (2) (3)，或，或，或， 【分析】本题考查了有理数的运算的应用，整式加减的应用，读懂题意，分清白天时段和夜间时段的不同收费标准是解题的关键． （1）①根据题意，得到停车时段为白天，停车时长1小时36分钟，按2小时收费，即可得到结果； ②停车时间跨两个时间段，分别计费，同时白天停车按8小时收费，夜间停车按2小时收费，累计相加即可得到结果； （2）20:00，应该为白天时段收费， 20:00以后，应是夜间时段收费，分开累加即可得到结果； （3）分别计算和的取不同的值，得到总收费为7元即可． 【详解】（1）解：①10:00进场停车，11:36离场， 在白天时段，时长1小时36分钟，按2小时收费． 需付停车费：（元）． 故答案为：5．·······································2分 ②12:00进场停车，21:46离场， 在白天时间停了8小时；夜间时段停了1小时46分钟，夜间按2小时收费． 需付停车费：（元）． 故答案为：14．·······································4分 （2）10:00进场停车，21:00-24:00离场， 在白天时间停了10小时；夜间时段停了． 需付停车费：．·································6分 （3）当时，白天没有停车费用，则夜间停车费为7元， ． 当时，白天停车费为4元，则夜间停车费为3元， ． 当时，白天停车费为5元，则夜间停车费为2元， ． 当时，白天停车费为6元，则夜间停车费为1元， 根据夜间收费规则，首小时2元，之后1元/小时，停车费不可能为1元，故此种情况不成立． 当时，白天停车费为7元，则夜间停车费为0元， ． 综上所述，，或，或，或，．···································10分 26．（10分）（25-26七年级上·重庆·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．    (1)【知识呈现】数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是______，点A与点C之间的距离 ______，点B与点C的中点D表示的数是______，且在图1的数轴上标出点D． (2)【定义】一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．如图2所示； 【初步理解】①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是____，关于点的二次跳跃点表示的数是____，线段的长度为____． 【深入探究】②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)1，6，3 (2)①3，9，12；②不变，；③线段的长度为 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点间的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据点与点表示的数互为相反数，可得点，根据点与点的中点为点表示的数，可得点，进而即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可知和关于原点对称，所以可得表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度；②由题易知是和的中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可；③同②思路即可得解． 【详解】（1）解：∵点与点表示的数互为相反数，点表示的数为， ∴点表示的数是1． ∵点表示的数为5， ∴点与点之间的距离为． ∵点与点的中点为点， ∴点表示的数是． 点D在数轴上如图所示．    故答案为：1，6，3．·······································3分 （2）①由题可知和关于原点对称，点表示的数是， ∴表示的数是3． ∵点表示的数为6， ． ， ∴表示的数是9． ． 故答案为：3，9，12．·······································6分 ②的值不变，，理由如下： 由题可知和关于原点对称，点表示的数是， ∴表示的数是． 若，如图所示，    ∵点与点位于点的两侧，且， ． ∴表示的数是． ． 若，如图所示，    ∵点与点位于点的两侧，且， ． ∴表示的数是． ． 综上所述：．·······································8分 ③的值不变，，理由如下： 由题可知和关于原点对称，点表示的数是， ∴表示的数是． ∵点与点位于点的两侧，且， ∴点为的中点． 设点表示的数是， 则， ． ．·······································10分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·二模）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·二模）2026年4月22日南京地铁宁马线（号线）全线贯通，“五一”假期首日宁马线全天客运量超195800人次，创开通以来客运新高．用科学记数法表示195800是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 5．（25-26七年级上·四川眉山·期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的数，则代数式的值为 （    ）． A．2 B．0 C． D．2或0 6．（19-20七年级上·江苏无锡·期中）小学的时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻”游戏，现在将，，，，，，，，分别填入如图所示的圆图内，使横、竖以及内外两图上的4个数之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·陕西宝鸡·二模）在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 11．（25-26七年级上·河南·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，，则______． 13．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9，若收到的密文是2025，那么通过解密，它对应的明文是______． 15．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 18．（5分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）把下列各数序号按各数从小到大的顺序号填入相应的括号内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集：{                      } 整数集：{                      } 负分数集：{                      } 有理数集：{                      } 19．（6分）（25-26七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 20．（6分）（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 21．（6分）（25-26七年级上·宁夏银川·期末）小华和小丽玩一个数字游戏，小华说：“你在心里任意想一个数，按以下步骤操作后，告诉我结果，我就会立马知道你心里想的是什么．”你明白其中的道理吗？让我们和小丽一起来揭秘吧． (1)如果小丽心里想的是，那么她最终得到的结果是 ． (2)如果小丽告诉小华她最终得到的结果是，那么小华会告诉小丽心里想的数是 ． (3)小丽又换了几个她最终得到的结果告诉小华，小华都能立马说出她心中想的数字，请你揭示其中的奥秘． 22．（8分）（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空： 0， 0； (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 23．（8分）（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且， (1)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索： ①若，则________． ②的最小值为________． (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当为多少秒时，，两点之间的距离为2？ 24．（8分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 25．（10分）（25-26七年级上·江苏扬州·期中）扬州，这座自古令人向往的“好地方”，如今正以历史与现代交融的崭新面貌迎接八方来客．扬州的商圈，就像一座融合了烟火气与便捷感的宝藏天地！扬州某商场停车场为24小时营业，停车实行计时收费，小型车收费标准为： 停车时段 收费方式 白天（08:00-20:00） 4元/首小时，首小时后1元/小时 夜间（20:00-08:00） 2元/首小时，首小时后1元/小时 备注 1．收费计时单位为1小时，不足1小时的，按1小时收费； 2．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)①若某日黄老师10:00进场停车，11:36离场，则需付停车费________元； ②若某日黄老师12:00进场停车，21:46离场，则需付停车费________元； (2)若某日黄老师10:00进场停车，停了小时后离场（为整数），且离场时间介于当日的21:00-24:00间，则他此次停车的费用为多少元？（用含的代数式表示） (3)若某次黄老师在该停车场停车费用为7元，其中白天时段停车小时，夜间时段停车小时（，均为非负整数），请直接写出所有符合条件的、的值． 26．（10分）（25-26七年级上·重庆·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．    (1)【知识呈现】数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是______，点A与点C之间的距离 ______，点B与点C的中点D表示的数是______，且在图1的数轴上标出点D． (2)【定义】一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．如图2所示； 【初步理解】①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是____，关于点的二次跳跃点表示的数是____，线段的长度为____． 【深入探究】②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·江苏扬州·中考真题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·二模）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，则某盆地低于海平面，在等高线上标注为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·二模）2026年4月22日南京地铁宁马线（号线）全线贯通，“五一”假期首日宁马线全天客运量超195800人次，创开通以来客运新高．用科学记数法表示195800是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 5．（25-26七年级上·四川眉山·期中）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的数，则代数式的值为 （    ）． A．2 B．0 C． D．2或0 6．（19-20七年级上·江苏无锡·期中）小学的时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻”游戏，现在将，，，，，，，，分别填入如图所示的圆图内，使横、竖以及内外两图上的4个数之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026·陕西宝鸡·二模）在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 11．（25-26七年级上·河南·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，，则______． 13．（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9，若收到的密文是2025，那么通过解密，它对应的明文是______． 15．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 16．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 18．（5分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）把下列各数序号按各数从小到大的顺序号填入相应的括号内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集：{                      } 整数集：{                      } 负分数集：{                      } 有理数集：{                      } 19．（6分）（25-26七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 20．（6分）（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 21．（6分）（25-26七年级上·宁夏银川·期末）小华和小丽玩一个数字游戏，小华说：“你在心里任意想一个数，按以下步骤操作后，告诉我结果，我就会立马知道你心里想的是什么．”你明白其中的道理吗？让我们和小丽一起来揭秘吧． (1)如果小丽心里想的是，那么她最终得到的结果是 ． (2)如果小丽告诉小华她最终得到的结果是，那么小华会告诉小丽心里想的数是 ． (3)小丽又换了几个她最终得到的结果告诉小华，小华都能立马说出她心中想的数字，请你揭示其中的奥秘． 22．（8分）（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空： 0， 0； (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 23．（8分）（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且， (1)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，试探索： ①若，则________． ②的最小值为________． (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当为多少秒时，，两点之间的距离为2？ 24．（8分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 25．（10分）（25-26七年级上·江苏扬州·期中）扬州，这座自古令人向往的“好地方”，如今正以历史与现代交融的崭新面貌迎接八方来客．扬州的商圈，就像一座融合了烟火气与便捷感的宝藏天地！扬州某商场停车场为24小时营业，停车实行计时收费，小型车收费标准为： 停车时段 收费方式 白天（08:00-20:00） 4元/首小时，首小时后1元/小时 夜间（20:00-08:00） 2元/首小时，首小时后1元/小时 备注 1．收费计时单位为1小时，不足1小时的，按1小时收费； 2．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)①若某日黄老师10:00进场停车，11:36离场，则需付停车费________元； ②若某日黄老师12:00进场停车，21:46离场，则需付停车费________元； (2)若某日黄老师10:00进场停车，停了小时后离场（为整数），且离场时间介于当日的21:00-24:00间，则他此次停车的费用为多少元？（用含的代数式表示） (3)若某次黄老师在该停车场停车费用为7元，其中白天时段停车小时，夜间时段停车小时（，均为非负整数），请直接写出所有符合条件的、的值． 26．（10分）（25-26七年级上·重庆·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．    (1)【知识呈现】数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是______，点A与点C之间的距离 ______，点B与点C的中点D表示的数是______，且在图1的数轴上标出点D． (2)【定义】一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．如图2所示； 【初步理解】①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是____，关于点的二次跳跃点表示的数是____，线段的长度为____． 【深入探究】②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $