第三章《代数式》 单元培优卷 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 苏科版七年级上册《代数式》单元培优卷，通过选择、填空、解答题（8/10/10题，24/30/96分）覆盖整式运算、图形面积、实际应用等，渗透抽象能力、模型意识与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|多项式乘法（第1题）、图形面积（井盖/铜钱，第2/6题）、规律探究（●个数，第5题）|结合校园安全、传统文化情境，考查符号意识| |填空题|10/30|列代数式（两位数/连续偶数，第11/14题）、合并同类项（第12题）、扇形面积（折扇，第18题）|融入生活实际，强化数感与几何直观| |解答题|10/96|整式化简（第21题）、优惠方案比较（第27题）、数的整除规律（第23题）|分层设计，从基础运算到创新应用，培养推理能力与应用意识|

第三章《代数式》 单元培优卷 2026-2027学年苏科版数学七年级上册 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．已知多项式 ax-3与x-1的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为(　　) A．0 B．- 2 C．- 3 D．3 2．在校园安全建设中，需对校园井盖（如图1）周边做防滑彩绘，井盖是半径为r的圆，彩绘外边界是边长为a的正方形（如图2），用含a，r的代数式表示防滑彩绘（阴影部分）的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，这是一个简单的数值运算程序，当输入的x的值为时，则输出的值为（　　） A．14 B．10 C． D． 4．如图，长方形的长为a，宽为2b。若空白部分为两个半圆，则图中阴影部分的面积为(　　) A．2πb2 B． C． D． 5．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（　　） A．63 B．64 C．80 D．81 6．铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，铜钱外部的圆半径为a，正方形边长为b，下列表示铜钱阴影部分的面积的式子是（　　） A． B． C． D． 7．某景点门票价格规定，成人票每张20元，学生票每张10元．一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付的门票费用是（　　）元 A． B． C． D． 8．设一个正方形的边长为 a cm。若其边长增加了4cm，则新正方形的面积增加了(　　) A．(8a+16) cm2 B． C． D． 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果. 9．已知，，则的值为　 　． 10．箱苹果的质量是千克，用代数式表示每箱苹果的质量是　 　千克． 11．一个两位数的个位数字是，十位数字是，列式表示这个两位数是　 　． 12．多项式合并同类项后不含项，则k的值是　 　． 13．长方形的长为，宽为，则长方形的周长为　 　． 14．三个连续的偶数，设最小的一个为2n，那么它们的和可表示为　 　． 15．某校有一块劳动教育基地，其平面图形如图所示．当，时，基地（阴影部分）的面积S为　 　． 16．可以化简为　 　． 17．如图是一个“数值转换机”的示意图，当，时，输出的结果是　 　． 18．中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为　 　（结果保留）． 三、解答题：本大题10小题，共96分. 19．已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6， （1）求c的取值范围； （2）化简：|a+b-c|-|c-a-b|． 20．某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 ，半圆形弯道的直径为． （1）这条跑道的周长为 （用含的代数式表示）； （2）当 时，求这条跑道的周长（π取3，结果取整数）． 21．计算或者化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．小王购买了一套经济适用房，地面结构如图所示（墙体厚度、地砖间隙都忽略不计，单位：米），他计划给卧室铺上木地板，其余房间都铺上地砖． 根据图中的数据，解答下列问题：（结果用含x、y的代数式表示） （1）求整套住房需要铺多少平方米的地砖？ （2）当，时，求客厅的面积比其余房间的总面积多多少平方米？ 23．小王在数学学习中发现：，，，，…而自然数12，27，33，45，……，这样的自然数都能被3整除． 猜想：如果一个自然数的所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并给出了当这个自然数为两位数时的说明如下： 如果一个两位数的十位、个位上的数字分别是a、b，那么记这个两位数为，于是． 而9a能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 据此回答下列问题： （1）用含a、b、c的代数式表示三位数 （其中a是百位数，b是十位数，c是个位数）； （2）类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 24．请仔细阅读小明的数学日记，并按要求完成相应任务． x年x月x日晴 整式的加减 我们已经学过整式的加减，知道整式的加减可以归结为合并同类项，而合并同类项实际就是合并同类项的系数．因此，进行整式的加减，关键就是把各同类项的系数进行加减． 今天在课外阅读时我又学习了一种新的解决整式加减问题的方法．具体做法如下：如果把两个整式的各同类项对齐，我们就可以像小学列竖式进行加减法一样，来进行整式的加减运算了． 怎样把同类项对齐呢？其实，只要将参加运算的整式按同一字母进行降幂排列（按同一字母的指数从大到小的顺序排列），凡缺项则留出空位或添零，然后让常数项对齐（即右对齐）即可． 例如：计算时，可以用下列竖式计算： ∴． 我尝试用上述方法计算：． ∴． 任务： （1）上述小明同学的尝试过程出现了错误，错误的原因是______； （2）请帮助小明写出正确的尝试过程． 25． 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为a和b，我们可将这个两位数记为，如=10a+b： 同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如 =100a+10b+c. 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数. （1）填空： ①可表示为　 　. ②若，则y=　 　. （2）的运算结果能被9整除，请说明共中的道理. （3）【迁移运用】 小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验。 步骤1：小明写下一个两位数： 步骤2：小天将一个两位数输入下图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去： 步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数. 请推测两位数与之间的数量关系。并简要说明理由. 26．如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） （1）一扇这样的窗户一共需要铝合金_________米，需要玻璃________平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含x，y的式子表示） （2）某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 当时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 27．综合与实践 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解交口文化，交口县某中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆；方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶． （1）若该客户按方案一购买，需付款__________元（用含的式子表示）； 若该客户按方案二购买，需付款__________元（用含的式子表示）． （2）当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ （3）试求当取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 28．先阅读，后探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）可以理解为 ； 若，则 ； （2）若数轴上表示数的点位于与3之间，则的值为 ； （3）如图所示，有理数m、n在数轴上对应点分别为M、N，化简：． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：(ax-3)(x-1)=ax2+(-a-3)x+3， 由条件可知-a-3=0， 解得：a=-3， 故答案为：C. 【分析】(ax-3)(x-1)=ax2+(-a-3)x+3，根据题意得到-a-3=0，求解即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：防滑彩绘（阴影部分）的面积为． 故答案为：C. 【分析】利用正方形的面积公式和圆的面积公式并利用割补法求出阴影部分的面积即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：， 故选：D． 【分析】根据程序框图将-2代入，结合有理数的乘法，加法，有理数的乘方即可求出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：阴影部分的面积为， 故答案为：B. 【分析】利用长方形、圆的面积公式，即可求解. 5．【答案】C 【解析】【解答】由图可知，图①中有3个黑点，图②有8个黑点，图③有15个黑点，观察规律3=22-1，8=32-1，15=42-1，则第n个图形中黑点的个数为(n+1)2-1， 当n=8时，(8+1)2-1=80. 故答案为：C。 【分析】 题目给出了前三个图形中黑点的具体数量（3， 8， 15）。我们需要从这些数据中找出隐藏的规律，并用一个含有序号n的代数式来表示第n个图形的黑点数，代入n=8即可求解。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：阴影部分的面积为． 故答案为：B. 【分析】根据圆及正方形面积计算公式及“阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积 ”求解即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得，该旅游团应付的门票费用是元， 故答案为：B． 【分析】 根据公式 应付的门票费用=用成人票数成人票单价求出成人费用+用学生票单价学生票数求出学生费用，计算即可解答． 8．【答案】A 【解析】【解答】解： 设一个正方形的边长为 a cm，若其边长增加4cm， ∴增加后的边长为：(a+4)cm， ∴ 新正方形的面积为：（a+4)2cm2， 又原正方形的面积为：a2cm2， ∴新正方形的面积增加了：（a+4)2cm2-a2cm2= (8a+16) cm2 故答案为：A。 【分析】分别表示出来原正方形和新正方形的面积，再求他们的差即可。 9．【答案】 【解析】【解答】解：因为，， 所以，， 所以， 故答案为：． 【分析】先将，转化为，， 再整体代入即可. 10．【答案】 【解析】【解答】解：由题意，a箱苹果的总质量为b千克，则每箱苹果的质量为千克． 故答案为：． 【分析】根据总质量与箱数的关系，建立代数式即可求出答案. 11．【答案】 【解析】【解答】解：这个两位数是10n+m. 故答案为：10n+m. 【分析】根据两位数可表示为十位上的数字乘以10，再加上个位上的数字，即可得到答案. 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴项的系数为． 令， 解得． 故答案为： 【分析】多项式合并后不含项，则项的系数为零，即项的系数为，令，． 13．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得，长方形的周长＝2（a+b）= 故答案为：． 【分析】 根据长方形的周长＝2（长+宽）列式，再化简即可解答． 14．【答案】 【解析】【解答】解：三个连续的偶数，设最小的一个为， 另两个偶数分别为，， ， 故答案为： 【分析】相邻两个偶数相差2，因此当最小的偶数为2n时，则另外两个连续偶数分别为，，此时列式求和即可。 15．【答案】21 【解析】【解答】解：由图知，基地（阴影部分）的面积S为 ， 当，时， 上式， 故答案为：． 【分析】根据题意利用长方形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积，再将m、n的值代入计算即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：， 故答案为：． 【分析】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项即可. 17．【答案】 【解析】【解答】解： ， 故答案为：． 【分析】由数值转换机得此就是求x=-1与y=2时，代数式(x2+y3)÷2，从而把x、y的值代入进行有理数混合运算即可求解． 18．【答案】 【解析】【解答】解：由图可得，折扇的扇面面积为： ． 故答案为： 【分析】根据扇形面积建立代数式即可求出答案. 19．【答案】（1）解：∵a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6， ∴6-4＜c＜6+4，即2＜c＜10； （2）解：由题意得，a+b＞c，则a+b-c＞0，c-a-b＜0， ∴|a+b-c|-|c-a-b| =（a+b-c）-（a+b-c）=0． 【解析】【分析】(1)直接由三角形三边关系可得c的取值范围； (2)根据三角形三边关系判断绝对值内式子的符号，再去绝对值，合并同类项即可. 20．【答案】（1） （2）解：， ． 这条跑道的周长为． 【解析】【解答】解（1）直道的长为， 直道总长度为， 半圆形弯道的直径为， 半圆形弯道的总长度为， 这条跑道的周长为． 故答案为： 【分析】（1）根据周长为直道长度加上弯道长度解题即可． （2）吧a、b代入（1）中结果计算即可． （1）直道的长为， 直道总长度为， 半圆形弯道的直径为， 半圆形弯道的总长度为， 这条跑道的周长为． （2）， ． 这条跑道的周长为． 21．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【解析】【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将分母相同的加数结合在一起，进而根据有理数加法法则计算可得答案； （2）利用加法的交换律和结合律，将同类项结合在一起，进而分别合并同类项（合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变）即可； （3）先计算乘方，再计算小括号内的部分，然后计算中括号内的部分，进而计算乘除，最后计算加减即可； （4）先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），项合并同类项即可. （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．【答案】（1）解：客厅的面积为，厨房的面积为，卫生间的面积是，卧室的面积是； ∴地砖的面积是； （2）解：客厅的面积为，厨房的面积为，卫生间的面积是，卧室的面积是；∴客厅的面积比其余房间的总面积多． ∴当，时，． 【解析】【分析】（1）根据图中的数据，结合长方形的面积公式，分别表示出客厅，厨房，卫生间和卧室的面积，由多项式的加法求和，即可得到答案； （2）根据题意，结合长方形的面积公式，列式表示出客厅的面积比其余房间的总面积多的面积，将将，代入代数式，进行计算，即可求解. 求解即可． （1）解：客厅的面积为，厨房的面积为，卫生间的面积是，卧室的面积是； ∴地砖的面积是； （2）解：客厅的面积为，厨房的面积为，卫生间的面积是，卧室的面积是； ∴客厅的面积比其余房间的总面积多． ∴当，时，． 23．【答案】（1） （2）证明： ； ∵能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除 【解析】【解答】（1）解：依题意，， 故答案为：． 【分析】（1）根据题意， a是百位数表示a个100，b是十位数表示b个10，c是个位数表示个1，即可写出这个三位数的代数式. （2）根据整式加减法则，仿照例题进行计算即可说明． （1）解：依题意，， 故答案为：． （2）证明： ； ∵能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除． 24．【答案】（1）解：列竖式时没有将同类项对齐； （2）解：；∴． 【解析】【分析】（1）在列竖式计算中，将两个多项式中的同类项列在同一竖列中，然后将同类项的系数相减，字母和字母的指数不变，观察例题，得到答案． （1）根据新定义下的整式加减运算规则，得到，结合整式加减运算法则，即可求解. （1）解：列竖式时没有将同类项对齐； （2）解：； ∴． 25．【答案】（1）；2 （2）解：由信息1和信息2可知 能被9整除． （3）解：，理由如下： 将输入运算程序，得： 减去得： 而四位数可以表示为：． 所以 即 所以 即． 【解析】【解答】解：（1）①可表示为 ②∵， ∴， 解得：； 故答案为：；2； 【分析】（1）①根据题意列出代数式即可求解； ②根据数字的表示方法结合题意列出方程，进而即可求解； （2）根据数字的表示方法结合题意进行整式的加减运算，进而化简求出结果，从而即可求解； （3）根据流程图和数字的表示方法进行计算，进而即可求解。 26．【答案】（1）， （2）解：当时，铝合金长：（米） 玻璃面积：（平方米） 甲：（元） 乙：（元） ∵， ∴公司在甲厂商购买窗户合算． 【解析】【解答】解：（1）一扇这样的窗户一共需要铝合金：米； 需要玻璃：平方米； 【分析】（1）根据窗户的图形，结合长方形和圆的周长与面积公式，分别列出代数式，进行化简计算，即可求解； （2）将当时，分别代入（1）中的代数式，求得甲、乙的费用，比较大小，即可答案． （1）解：一扇这样的窗户一共需要铝合金：米； 需要玻璃：平方米； （2）解：当时， 铝合金长：（米） 玻璃面积：（平方米） 甲：（元） 乙：（元） ∵， ∴公司在甲厂商购买窗户合算． 27．【答案】（1） （2）解：当时， 方案一需付款， 方案一需付款， ， 选择方案一更优惠． （3）解：根据题意，得， 解得． 答：当时，两种方案所需费用相等． 【解析】【解答】解：方案一需付款 方案二需付款， 故答案为：， 【分析】（1）根据具体优惠方案，可分别得出方案一需付款 ；方案二需付款； （2） 当时，分别求得（1）中代数式的值即可； （3）根据题意，得出（1）中的两个代数式相等，即可得出方程，解方程即可。 （1）解：方案一需付款 方案二需付款， 故答案为， （2）解：当时， 方案一需付款， 方案一需付款， ， 选择方案一更优惠． （3）根据题意，得， 解得． 答：当时，两种方案所需费用相等． 28．【答案】（1）x与2两数在数轴上对应的两点之间的距离；5或 （2）5 （3）解：由有理数m、n在数轴上的位置可得，， ∴，， ∴ ． 【解析】【解答】（1）解：可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3 ∴或； （2）解：∵数轴上表示数的点位于与3之间，表示x到的距离加上x到3的距离 ∴； 【分析】（1）根据题意，结合绝对值的几何意义即可求出答案. （2）根据绝对值的性质即可求出答案. （3）根据数轴上点的位置关系可得，，再根据绝对值的性质去绝对值，再计算加减即可求出答案. （1）解：可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3 ∴或； （2）解：∵数轴上表示数的点位于与3之间，表示x到的距离加上x到3的距离 ∴； （3）解：由有理数m、n在数轴上的位置可得，， ∴，， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $