第二十五章一元二次方程单元测试2026-2027学年人教版九年级数学 上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学一元二次方程单元卷，全面覆盖定义、解法、根的判别式及实际应用，注重数学思维与应用意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义、解法、根与系数关系|基础概念辨析，如第6题单循环比赛建模| |填空题|6/18|韦达定理、实际应用|结合几何规律，如第16题线段比例关系| |解答题|8/72|综合应用与探究|分层设计，含增长率（23题草莓产量）、动点几何（24题矩形运动）等现实情境，体现数学眼光与建模能力|

人教版九年级上册数学第二十五章一元二次方程单元测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．（本题3分）若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为（     ） A．3 B．9 C． D． 4．（本题3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 5．（本题3分）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（本题3分）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 8．（本题3分）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 9．（本题3分）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12．（本题3分）已知的两个根分别为、，则______． 13．（本题3分）设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 14．（本题3分）用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 15．（本题3分）某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 16．（本题3分）如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 19．（本题8分）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 20．（本题8分）嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 21．（本题9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 22．（本题9分）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 23．（本题10分）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 24．（本题12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 第6页（共6页） 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C A B C A B D 1．A 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．C 【分析】根据题意可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 3．A 【分析】先根据方程的根，求得，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得． 原方程为， 移项得. 开平方，得． 方程的另一个根为． 4．C 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 5．A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 6．B 【分析】利用单循环赛制总场数与球队个数的等量关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：设参加比赛的球队个数为个．由题意得 ， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 7．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 8．A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．B 【详解】解：， ， ． 10．D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 11． 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 12． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 方程的两个根分别为、， ∴ 由韦达定理可得，， ∴． 13． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再展开所求式子后整体代入计算. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴. 14．24 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 15． 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 16． 【分析】由题意得出线段的长度，同理得到线段的长度，据此求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x， ∵， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴； 同理：， 同理：． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）方程无法直接因式分解，可采用一元二次方程公式法求解； （2）方程，先变形，移项后提取公因式，使用因式分解法求解，不能直接两边同除含未知数的因式，避免丢失根． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18．(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 19．垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 20．(1)一；因式分解法 (2)解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； （2）略． 21．(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)，方程的另一个根为． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 22．(1)《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； (2)单价应降低4元． 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 23．(1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 24．(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 答案第10页（共10页） 答案第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $