第二十五章 一元二次方程单元测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，结合5G基站、赵爽几何解法等情境，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、配方法、根的判别式|赵爽几何解法（文化传承）、菱形面积（几何应用）| |填空题|5/15|方程解、新定义运算|“运算‘’”考查知识迁移（创新应用）| |计算题|2/15|因式分解法、公式法|基础解法巩固（运算能力）| |解答题|6/60|增长率、利润问题|5G基站增长率（时代情境）、长方体侧面积（空间观念）|

人教版九年级第二十五章一元二次方程单元测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程一定是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是  (    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.将一元二次方程化为一般形式，该方程的一次项系数为(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解方程时，原方程变形为(    ) A. B. C. D. 5.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 6.一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为，则该菱形的面积为(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 8.如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 9.若在方程的中添加一个合适的数字，使该方程没有实数根，则添加的数字可以是  (    ) A. B. C. D. 10.我国古代数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若是方程的解，则代数式的值为          ． 12.一个关于的一元二次方程，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则这个一元二次方程是          ． 13.若关于的方程是一元二次方程，则的值为          ． 14.方程化成一般形式为          ，          ，用求根公式可求得          ，          ． 15.对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ． 三、计算题：本大题共2小题，共15分。 16.解方程：． 17.用公式法解方程： ； ． 四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 19.本小题分 随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东基站的数量约万座，计划到年底，全省基站数是目前的倍，到年底，全省基站数量将达到万座． 计划到年底，全省基站的数量是多少万座？ 按照计划，求年底到年底，全省基站数量的年平均增长率． 20.本小题分 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元． 若销售单价为每件元，求每天的销售利润； 要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 21.本小题分 如图，有一张矩形硬纸板，长为，宽为在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体盒子．当剪去的正方形的边长为多少时，所得长方体盒子的侧面积为？ 22.本小题分 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 23.本小题分 下面是某同学解方程的过程． 解：移项，得，第一步 两边开平方，得，第二步 去括号，得，第三步 解得．第四步 该同学的解答从第          步开始出错，错误的原因是           请写出正确的解答过程． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的定义，注意一定是一个正数．找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，系数不为的整式方程即可． 【解答】 解：、不是整式方程，不合题意； B、含有个未知数，不合题意； C、当时，不合题意； D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，二次项系数不为的整式方程，符合题意． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键． 首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【解答】 解：， ， ， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且， 解得：且， 故选：． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，也考查了三角形三边的关系和菱形的性质． 利用因式分解法解方程得到，，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为，然后计算菱形的面积． 【解答】 解：， 解得，， 菱形一条对角线长为， 菱形的边长为， 菱形的另一条对角线为， 菱形的面积． 故选：． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：设剪去小正方形的边长是， 则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选D． 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用整体代入法求代数式的值，一元二次方程的解等知识点，解决本题的关键是由题意求得根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可． 【解答】 解：是方程的一个解， ， 则 ． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得：， 故答案为：． 根据一元二次方程的定义得出，求出即可． 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键． 14.【答案】         【解析】略 15.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】 解：根据题意得， ， ， 或， 所以，． 故答案为或． 16.【答案】解：， 或， 所以，．  【解析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想先把方程左边分解因式，使原方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可． 17.【答案】解：， ， 或， ，； 方程整理得， 则，，， ， ， 解得，．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得：， 的取值范围为． 关于的一元二次方程有两个实数根，， ，． ， 当时，有， 联立解得：，， ，； 当时，有， 联立解得：，不合题意，舍去． 符合条件的的值为．  【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论； 由根与系数的关系可得、，分和可找出或，联立或求出、的值，进而可求出的值． 19.【答案】解：万座． 答：计划到年底，全省基站的数量是万座． 设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，舍去． 答：年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 年全省基站的数量目前广东基站的数量，即可求出结论； 设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为，根据年底及年底全省基站数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 20.【答案】解：元； 答：每天的销售利润为元． 设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件， 依题意得：， 解得，不符合题意，舍去． 答：每件工艺品的售价应为元．   【解析】本题主要考查的是一元二次方程的应用． 根据题意列出算式进行计算即可； 设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据题意列出方程求解即可． 21.【答案】设剪去的正方形的边长为依题意，得整理，得，解得，当时，，不合题意，舍去．当剪去的正方形的边长为时，所得长方体盒子的侧面积为  【解析】见答案 22.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，第二轮后共有个人患了流感根据题意，得，解这个方程，得，不合题意，舍去答：平均一个人传染了个人．  【解析】略 23.【答案】【小题】 二 开方时未考虑到正负两种情况 【小题】 正确的解答过程如下： 移项，得， 两边开平方，得或， 去括号，得或， 解得，．   【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $