2.8 对数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以对数函数概念为起点，通过“性质归纳-图象分析-综合应用”三级体系，系统整合概念、性质与实际问题，突出逻辑推理与数学建模能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识|概念+性质表|定义-定义域-值域-单调性-定点-反函数链条化梳理|从核心概念生成性质，通过表格对比底数对图象的影响| |图象题型|25题|第一象限底数比较法、平移翻折规律、定点求解技巧|图象特征与性质互推，强化几何直观| |性质题型|30题|单调性判断、定义域值域分析、奇偶性判定流程|性质应用于函数综合问题，培养运算能力| |综合应用|12题|实际问题对数建模、指数对数互化、数据处理方法|从数学到现实的迁移，发展应用意识|

2.8 对数函数 基础知识梳理 1.对数函数的概念 函数且叫做对数函数,其中是自变量,定义域是. 2.对数函数 且 的图象与性质 项目 图象 定义域 值域 性质 过定点,即时 当时 当时 当时 当时 在上是减函数 在上是增函数 3.反函数 指数函数且与对数函数且互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线对称. 4.对数函数定点 1.对数函数且的图象过定点且过点,函数图象只过第一、四象限. 5.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故由此我们可得到以下规律:在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 题型一 对数函数的图象 1．在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 2．已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】已知对任意实数有，则， 两式相减得，因此是周期为2的周期函数. 结合时，可推得时，. 则的图象都是由上的图象左右平移得到的，值域为. 当时，单调递减，由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，单调递增，由图可知，两图像在上分别有一个交点， 要使的图象与曲线（且）恰有6个交点，则，解得. 3．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的图象性质可知，底数，则此对数函数是上的单调递增函数， 则选C正确． 4．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简四个选项函数，依据平移、翻折只改变图像位置与符号、不改变函数类型的规则逐一验证，指数型函数无法经平移翻折变为对数函数，确定答案． 【详解】对于A，和的图像关于直线对称（属于翻折的一种对称变换），沿翻折就能和重合，A不符合题意； 对于B，，把它的图像沿轴翻折，就得到的图像，B不符合题意； 对于C，，这是指数型函数，且底数为、自变量带线性变换，它和对数函数不是通过平移、翻折能互变的类型：平移/翻折不会把指数型函数变成对数函数（二者凹凸性、单调性变化规律、定义域值域结构都无法通过平移翻折统一），无论怎么平移、沿坐标轴翻折，都不能和重合，C符合题意； 对于D，，先沿轴翻折得到，再向上平移1个单位，就得到，D不符合题意． 5．已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，可得出，于是得出，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】对于函数（且）， 由可得，且，故，， 则有，即，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 6．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 7．已知曲线，把C上各点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，相当于把C（    ） A．向下平移4个单位长度 B．向上平移4个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移1个单位长度 【答案】C 【分析】应用对数运算结合平移计算判断. 【详解】曲线，把C上各点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，即可得出， 相当于把C平移1个单位长度,C正确 8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【详解】函数， 所以把函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 9．已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 10．函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 11．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【详解】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 12．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 13．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以 是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 14．函数的大致图象为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 15．(多选)已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故解得，故B错误； 对于C，，因为与无关，所以， ，故不恒过定点，故C错误； 对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减， 且，即，解得，故,故D正确. 16．(多选)若（，且），则函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对进行分类讨论，结合特殊值排除法来确定正确答案. 【详解】当时，， 即，解得， 对于函数，即是增函数， ，排除C选项，D选项符合. 当时，， 所以，所以， 所以，解得， 对于函数，是减函数， ，排除A选项，B选项符合. 17．函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 18．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 19．函数（且）过定点，则__________. 【答案】7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 20．函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求出，进而得到，根据结合基本不等式即可求出答案. 【详解】函数（，且）的图象恒过定点， 因为点在上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 21．已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【详解】令得，， 所以函数的图象过定点，即的坐标为. 22．已知函数的图象如图所示，求满足的关系. 【答案】 【详解】函数是随着的增大而增大，也是随着的增大而增大 ，； 取特殊点 ，. 23．如图所示的四条曲线分别是对数函数，，，的图象，求a，b，c，d与1的大小关系. 【答案】 【详解】由题图知： ，，，. 作平行于x轴的直线l：，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，由图可知. 24．对数函数（）与（）有什么关系？ 【答案】由换底公式，. 两个函数的定义域均为，且对任意，函数值互为相反数， 因此两图象关于轴对称. 【详解】由换底公式，. 所以两个函数的定义域均为，且对任意，函数值互为相反数，因此两图象关于轴对称. 25．已知函数（且）的图象经过点． (1)求实数a的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式即可求解； （2）由对数函数的单调性结合定义域，去掉即可求解. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以 ，解得 ； （2）因为，所以是定义域上的增函数， 由可得，解得， 即不等式的解集为. 题型二 对数函数的性质 1．已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇函数性质求得，再求的定义域，并结合复合函数单调性法则“同增异减”判断即可. 【详解】 ， 因为是定义在R上的奇函数， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以，定义域为， 所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”可得在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数的单调递增区间为. 2．已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 3．函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质，一次函数及二次函数的性质，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 4．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数型函数值域为，则真数必须能取到大于零的任意实数. 【详解】因为函数的值域为， 所以真数能取到大于零的任意实数， 所以，解得. 5．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由“函数值域为”可得： . 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 6．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在上单调递减，选项A错误； 开口向下，对称轴是轴，在区间上单调递减，选项B错误； 是指数函数，底数，在上单调递减，选项C错误； 是对数函数，底数，在区间上单调递增，选项D正确. 7．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 8．已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】因为，由，解得， 所以的定义域是，故A正确； ， 因的对称轴为直线，其图象在上递增，在上递减， 又在上单调递增，故在上递增，在上递减， 所以的最大值为，故B、D正确； ，即 所以解得，故C错误. 9．若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为对恒成立，再利用判断式法即可得到的范围，最后利用符复合函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得对恒成立， 则，解得. 则， 根据复合函数单调性知在上单调递减，则. 故选：C. 10．(多选)已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 11．(多选)已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】先将函数表达式改写为一次函数形式，再根据的符号分两类讨论单调性，最后结合区间端点的函数值求解a的值即可. 【详解】根据已知条件，函数， 当时，， 在上单调递减， 则，解得，满足条件； 当时，，在上单调递增， 则，解得，满足条件. 故选：BD. 12．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】利用复合函数同增异减， 则二次函数在上单调递减且；再结合二次函数图象的对称轴列不等式，同时保证区间内恒大于 0，联立求出的取值范围. 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合对数函数的定义域，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 且函数在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 14．已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 15．函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】对数函数 的定义域为 ，值域为 ，所以只需使 的正值部分取遍 ．分 ，， 三种情况讨论． 【详解】令 ． 当 时，． 当 时， 可以取遍 ，所以符合题意． 当 时，函数 的图象开口向上． 要使 的正值取遍 ，其最小值必须小于或等于 ． 因为且 ，所以 ，解得 当 时，函数 的图象开口向下， 有最大值，所以它的正值不能取遍 ，不符合题意． 综上，实数 的取值范围为 16．已知（且），如果对于任意的都有成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】分两种情况和讨论，进而得到，解出不等式可得出实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减，则的值域为， 所以，即， 因此，解得； 当时，在上单调递增，则的值域为， 所以，即， 因此，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 17．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3)若，则原不等式的解集为；若，则原不等式的解集为；若，则原不等式无解 【分析】（1）根据对数函数的定义，列式即可求出定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断； （3）按照和分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可. 【详解】（1）由函数的解析式可得解得， 所以函数的定义域为. （2）由（1）可知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. （3）可化为，， ①若，则有，即， 因为，， 所以原不等式的解集为， ②若，则有，即， （ⅰ）若，则，原不等式有解，解集为； （ⅱ）若，则，原不等式无解， 综上所述，若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式无解. 18．已知函数，且. (1)求实数和函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，简述理由； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，的定义域为. (2)略 (3) 【分析】（1）先根据计算出，再使对数的真数大于0，即可得解； （2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断奇偶性即可； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以要使函数有意义，则需，解得， 所以的定义域为. （2）为偶函数， 由（1）知，的定义域关于原点对称，，， 所以为偶函数； （3）因为，所以. 因在定义域内单调递增，所以等价于， 解得， 所以的取值范围为. 19．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）解不等式即可得答案； （2）根据函数奇偶性的定义，结合对数运算法则得即可判断. 【详解】（1）由，解得或， 所以函数的定义域为. （2）函数为奇函数. 证明如下:由（1）可知定义域关于原点对称， 对任意的，有， 所以函数为奇函数. 20．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)略 (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明； （2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）令，由题意可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）偶函数； 对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 即， 所以， 所以函数是偶函数； （2）因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）函数与图象有个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 21．已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 22．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以 ，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 23．已知函数． (1)求函数的定义域和值域； (2)求证函数的图象关于直线对称． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)证明见解析 【分析】（1）应用对数复合函数定义域，解指数不等式即可求解定义域，应用对数复合函数值域求解值域； （2）应用指数对数转化计算求解方式得出对称性. 【详解】（1）要使函数有意义，则，即． 故，此时， ∴， 故函数的定义域为，值域为． （2）由，可得，解得， 故原函数的反函数为，其解析式与原函数相同， 所以函数的图象关于直线对称． 24．已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 25．已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合对数函数的定义域与单调性，将对数不等式转化为一元一次不等式求解，注意定义域对解集的限制. （2）将代入函数表达式化简，得到的定值关系，结合基本不等式即可求得的最小值，注意验证等号成立的条件. （3）首先根据对数函数的单调性确定在上的最大值与最小值，将题设不等式转化为关于的恒成立问题，求解对勾函数在上的最大值，再解关于的一元二次不等式，结合的限定条件得到的取值范围. 【详解】（1）当时，的定义域为，因为，所以是增函数， 即，所以，解得， 所以的解集为． （2），所以，（） ， ，因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． （3）因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为， ，在的最大值与最小值之和不大于，即 等价转化为恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，化简得， 解得，又因为， 所以． 26．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 27．已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【分析】（1）根据函数在区间上是严格增函数，由求解； （2）转化为方程在有两个不同的实数解求解. 【详解】（1）因为函数在区间上是严格增函数， 所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到， 即， 化简得，即， 解得． 因此，实数的值为2． （2）由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解， 即关于的方程在有两个不同的实数解， 因为， 因此． 由题意得，即 综上，实数的取值范围为． 28．已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值及对应的值； (3)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)时最大值为 (3) 【分析】（1）利用对数函数的定义列式求出定义域. （2）求出在上的最大值，再结合对数函数单调性求出最大值. （3）由函数的性质，结合直线与函数的图象有两个交点求出范围. 【详解】（1）函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，而函数是增函数， 所以当时，函数取得最大值. （3）由（2）知，当时，，单调递增，取值集合为， 当时，，单调递减，取值集合为， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个不同的实数解， 所以实数的取值范围是. 29．设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值为，最大值为2 【分析】（1）利用代入法，结合对数型函数的定义域性质进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的最值性质、对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 由题意可得，解得，故函数定义域为； （2）由（1）可得， 令，对称轴为， 当时，， 则，，故， 故函数的最小值为，最大值为2. 30．已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数解析式，然后利用换元法，结合二次函数的性质计算值域即可. （2）先化简不等式，然后构造新函数，判断单调性，求得最大值，进而得到结果. 【详解】（1） 令，则在上的值域在上的值域 由于. 所以在上的值域为. （2）令，因为，所以，则 变为， 化简得，即成立. 因为在上单调递增，所以. 所以的取值范围为：. 题型三 对数函数的综合应用 1．甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 【答案】A 【分析】依题意得，，即可求解． 【详解】某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，即进入消除期， 则， 得， 得， 故选：A 2．溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为 . 故选：D. 3．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，代入，结合对数的运算性质求出的值，即为所求. 【详解】两颗星的星等与亮度满足， 令，，，， 因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为. 故选：B. 4．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得． 【详解】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． 5．已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，利用对数的运算可求得的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 6．已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 7．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 8．年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质可求得溶液甲的值与溶液乙的值的差. 【详解】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为 . 故选：C. 9．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 10．根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【答案】(1)选择模型③，理由： 是一次函数，增长速度恒定，与图象的递增趋势越来越缓不符； 是指数函数，增长速度会越来越快，与图象的增长趋势不符； 是对数函数，增长速度越来越缓，与图象的增长趋势一致，故选择模型③， ； (2)分钟. 【分析】（1）根据图象增长趋势排除一次函数和指数函数，选择对数函数模型，再代入已知点求解参数并验证边界条件，得到函数解析式； （2）根据得分不少于分的要求列出不等式，利用对数函数的单调性求解不等式，得到锻炼时间的最小值. 【详解】（1）由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 所以函数解析式为； （2）由题意可得，即， 因为是增函数，所以， 所以，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于分钟. 11．文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案： （i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示； （ii）当销售额为2万元时，补贴金额为万元；当销售额为12万元时，补贴金额为万元． 现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式； (2)假设某果农2025年销售额为万元，则他应得多少补贴金？ （参考数据：，结果保留1位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的函数图象，选择合适的函数模型，待定系数法求解解析式即可； （2）令，运用对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）模型①是一次函数，是一条直线，不符合题意； 模型②是指数型函数，当时，函数图象下凹，不符合题意， 当时，函数为减函数，不合题意， 故考虑模型③： 代入点 和 ： 解得：， 因此函数解析式为：. （2）2025年销售额 万元，代入解析式： ， ， 把，代入得： ， 因此：（万元）， 该果农应得补贴金约万元. 12．某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． (1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； (2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； (3)若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 【答案】(1)； (2)； (3)略 【分析】（1）利用函数过原点，可确定幂函数模型，再用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法直接可求出函数解析式； （3）利用两函数的解析式分别求第6个月的函数值，即可得到预测性能分，然后根据二次函数和对数型函数模型的增长率作出比较即可得到答案． 【详解】（1）由时，，若，则，此时，不满足题意， 故，又当时，，所以， 当时，，所以， 此时，当时，，当时，，满足题意， 故； （2）由于用实验室的数据来求参数， 所以当时，，代入得：， 当时，，代入得：， 两式相减得：，代入可得：， 所以； （3）（i）实验室研发至第6个月，用实验室A的模型预测性能得分： 则，所以用实验室A的模型预测性能得分为分； （ⅱ）实验室研发至第6个月，用实验室B的模型预测性能得分： 则， 所以实验室B的模型预测性能得分约为分； 从技术发展的长期可持续性角度，我认为甲技术路线更优，因为尽管在第1个月时乙路线得分更高，但从第2个月起，甲路线的得分就反超并持续大幅领先，且二次函数的增长速度远快于对数函数，因此甲路线更优. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8 对数函数 基础知识梳理 1.对数函数的概念 函数且叫做对数函数,其中是自变量,定义域是. 2.对数函数 且 的图象与性质 项目 图象 定义域 值域 性质 过定点,即时 当时 当时 当时 当时 在上是减函数 在上是增函数 3.反函数 指数函数且与对数函数且互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线对称. 4.对数函数定点 1.对数函数且的图象过定点且过点,函数图象只过第一、四象限. 5.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故由此我们可得到以下规律:在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 题型一 对数函数的图象 1．在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 7．已知曲线，把C上各点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，相当于把C（    ） A．向下平移4个单位长度 B．向上平移4个单位长度 C．向下平移1个单位长度 D．向上平移1个单位长度 8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移1个单位长度 9．已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 10．函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 11．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 13．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 14．函数的大致图象为（） A． B． C． D． 15．(多选)已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 16．(多选)若（，且），则函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 17．函数过定点________． 18．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 19．函数（且）过定点，则__________. 20．函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 21．已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 22．已知函数的图象如图所示，求满足的关系. 23．如图所示的四条曲线分别是对数函数，，，的图象，求a，b，c，d与1的大小关系. 24．对数函数（）与（）有什么关系？ 25．已知函数（且）的图象经过点． (1)求实数a的值； (2)解不等式． 题型二 对数函数的性质 1．已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 9．若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．(多选)已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 11．(多选)已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 12．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 14．已知函数的值域为，则实数的值为________. 15．函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． 16．已知（且），如果对于任意的都有成立，则a的取值范围为______． 17．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 18．已知函数，且. (1)求实数和函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，简述理由； (3)若，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； 20．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 21．已知，试求的最大值和最小值 22．已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 23．已知函数． (1)求函数的定义域和值域； (2)求证函数的图象关于直线对称． 24．已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 25．已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 26．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 27．已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 28．已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值及对应的值； (3)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围 29．设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 30．已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 题型三 对数函数的综合应用 1．甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 2．溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 3．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（   ） A． B． C． D． 4．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 5．已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 6．已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 7．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 8．年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 9．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 10．根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 11．文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案： （i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示； （ii）当销售额为2万元时，补贴金额为万元；当销售额为12万元时，补贴金额为万元． 现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. (1)请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式； (2)假设某果农2025年销售额为万元，则他应得多少补贴金？ （参考数据：，结果保留1位小数） 12．某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． (1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； (2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； (3)若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $