2.8 对数函数【14大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 对数函数专项训练以14大考点为框架，覆盖从概念化简到综合应用的全链条，通过60+题实现知识逻辑递进与解题能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数函数全考点|14考点60+题|基础概念（化简求值/函数判定）、图象性质（定点/参数范围）、单调性应用（判断/求参/解不等式）、最值与综合（比较大小/最值求参/反函数）|从对数概念生成到函数图象性质推导，再到单调性、最值的应用拓展，形成完整知识链，培养几何直观与推理能力。|

2.8 对数函数 14大考点汇总 考点01 对数的化简、求值 考点02 对数函数的判定以及求参数 考点03 对数型函数图象过定点问题 考点04 根据对数型函数图象求参数的范围 考点05 判断对数函数的单调性 考点06 求对数型复合函数的单调性 考点07 利用对数(型)的单调性求参数 考点08 由对数函数的单调性解不等式 考点09 比较对数式的大小 考点10 求对数型函数的最值 考点11 根据对数函数的最值求参数 考点12 根据对数函数的值域或最值求参数(定义域) 考点13 对数函数综合应用 考点14 反函数 题型专练 考点01 对数的化简、求值 1．（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2） . 2．计算下列各式的值. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即可. （2）利用对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） 3．（1）化简：； （2）求值：． 【答案】； 【详解】（1）. （2） . 4．（1）计算： . 【答案】（1） 【分析】（1）利用指数幂运算性质、对数运算法则及换底公式，对原式逐项化简后再合并求值即可. 【详解】（1）解：原式， ， . 5．（1）计算：. 【答案】（1） 【详解】（1） . 6．（1）计算：； 【答案】（1）； 【分析】（1）运用指数幂公式和对数运算公式，即可求解； 【详解】（1）原式 ． 考点02 对数函数的判定以及求参数 7．已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 8．已知函数，若图象过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】将点代入，求出a的值，得到的解析式，即可求出的值. 【详解】由题可得，所以，即，所以. 所以，所以. 故选：B. 9．已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 10．若函数是以为自变量的对数函数，则实数________． 【答案】3 【分析】由题意可得，且，且，从而可求出的值. 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 考点03 对数型函数图象过定点问题 11．函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求出，进而得到，根据结合基本不等式即可求出答案. 【详解】函数（，且）的图象恒过定点， 因为点在上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 12．已知函数且的图象过定点，且点在指数函数图象上，则___________. 【答案】 【分析】先求出点，设指数函数为且，根据条件求出指数函数的解析式，然后利用对数性质运算即可. 【详解】由函数且， 令时，， 所以， 设指数函数为且， 因为点在指数函数图象上， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 13．函数，且恒过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合对数函数图象恒过的点列式求解. 【详解】由函数的图象恒过点，得，解得， 所以. 故选：A 14．函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数恒过定点这一性质，令函数的真数为1，求出此时的值，并求出取此值时的函数值，即可得函数的图象经过的定点坐标. 【详解】因为对数函数恒过定点， 所以对于函数，令，解得， 当时，， 所以函数的图象经过的定点坐标为. 故选：C 考点04 根据对数型函数图象求参数的范围 15．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 16．已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得的范围，据此可求的取值范围. 【详解】的图象如图所示： 不妨设，则且， 其中， 故即， 故， 故答案为：. 17．函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由对数函数图象确定，再结合幂函数奇偶性即可判断. 【详解】由图象结合对数函数的性质可知，则D不符合题意； 又函数为奇函数，定义域为, B符合题意． 又的定义域都是不符合， 故选：B． 18．已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 19．已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 20．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____. 【答案】 【分析】根据指数函数、对数函数图象与性质画出函数图象，通过平移直线找到当与有三个交点时的的范围即可. 【详解】作出的函数图象如图所示: 画出函数的图象, 由图象可知当时，有1零点， 当时，有3个零点， 当或时，有2个零点. 故答案为：. 考点05 判断对数函数的单调性 21．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 22．（多选）下列函数在定义域内单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐一判断各选项对应函数在其定义域内的单调性，即可判断选项正误. 【详解】对于A，当时，函数在R上单调递增，因，则函数在R上单调递增，故A正确； 对于B，当时，函数在上单调递增，因，则在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，函数在上单调递增，因，则在上单调递增，又为奇函数， 则在R上单调递增，故C正确； 对于D，函数在R上单调递减，故D错误. 23．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得． 24．对于实数，“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别验证“充分性”和“必要性”，结合对数函数的定义域与单调性分析. 【详解】若，取，，此时无意义，不满足. 因此“”不能推出“”，充分性不成立. 若，因在上单调递增，故且、. 因此“”可以推出“”，必要性成立. 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 考点06 求对数型复合函数的单调性 25．函数的单调增区间是_____． 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再结合对数复合函数单调性规律确定单调增区间. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为. 又在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 26．（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【答案】 和 【详解】（1）因为， 令，解得， 则的单调递减区间为， 令，，则， 所以在上的单调递减区间为和. （2）令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增， 在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 27．函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______. 【答案】 【分析】根据题意，由函数的图像和对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得在上单调递减，在上单调递增， 令，可得在上单调递增， 要使得函数单调递减，则满足或， 因为，解得或，所以函数的单调递减区间. 28．函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，然后换元，求出内层函数的单调区间，再利用复合函数“同增异减”的性质，可求得答案 【详解】函数，所以定义域为，解得或 ， 令，则，在定义域内为增函数 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数的单调递减区间为. 故答案为：. 考点07 利用对数(型)的单调性求参数 29．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】令，利用复合函数的单调性得到在区间上单调递减求解即得. 【详解】令， 因为在上递增，且函数在区间上单调递减， 由复合函数的单调性知：在区间上单调递减， 又因为在区间上递减， 所以， 所以的取值范围是. 30．“函数在区间上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，则，解得， 由可得，但是由得不到， 所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件. 31．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在区间上是单调函数，所以，且， 所以． 32．函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数，再结合真数在区间上恒正，得到，最终即可得到的取值范围. 【详解】根据题意，对于函数， 令，则， 又由且，则为减函数， 若函数在上是减函数， 必有，解可得， 即的取值范围为. 33．已知函数在区间上单调递增，则参数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数单调性，结合对数型复合函数及二次函数单调性列式求解. 【详解】函数在上单调递增，函数在上单调递增， 因此在上单调递增，而在上单调递增， 则函数在上单调递增，且， 于是且，解得， 所以参数的取值范围是. 故选：D 34．函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组即可求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以，解得. 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 考点08 由对数函数的单调性解不等式 35．已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 36．若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 由得， ，解得. 所以的取值范围是. 37．设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 38．已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】 令，不等式转化为，， 当时，， 解得， 当时，显然不成立， 所以， 即. 39．已知函数，则的解集为______． 【答案】 【分析】求出的定义域，利用对数不等式可得：即可求解。 【详解】由函数，可得， 解得：，所以函数的定义域为， 而， 则，，得，故解集为． 40．已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时无解; 当时 【分析】（1）由直接代入结合对数函数单调性解得. （2）通过对底数分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围确定的取值 【详解】（1）已知，. 由，代入得：. 因为，所以，即， 得，解得. （2）由 得 . 当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 . 结合 得 . 故 且 对 恒成立. 令 , . 令 ,由 ,得 ,且 . 于是. 这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为. 对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。 又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减. 所以 , . 故 又 对一切 恒成立. 则需大于 在 上最大值即 . 因为 与 不能同时成立. 故 时无解. 当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立. 故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 . 又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 . 综上所述, 的取值范围是 . 考点09 比较对数式的大小 41．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 所以 42．三个数的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和最大值，从而得出，再利用对数的运算性质计算求出的大小关系，从而判断的大小顺序． 【详解】已知，构造函数， 求导得， 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递减； 在处取得极大值，即为最大值， ，即， ，故， ． 43．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以的大小关系为. 44．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断. 【详解】函数， 因为是减函数，是增函数，所以是减函数， 又因为，所以，故，即. 考点10 求对数型函数的最值 45．已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出最值求解即可. （2）求解，，令求解即可. 【详解】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 由题意可得：， 此时区间为；当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2）， 令，因为，所以， 所以， 所以，， ，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0. 46．（多选）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．没有最小值 【答案】AC 【分析】先化简判断奇偶性，再分析内层函数单调性结合对数函数单调性判断的单调区间与最值． 【详解】为偶函数，A正确，B错误； 作出的图象如图所示，可知在上单调递减，在上单调递增； 由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误． 故选：AC． 47．已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 48．函数的最大值为_____. 【答案】/ 【分析】将函数展开化简为关于的二次函数，即，结合二次函数性质求结论. 【详解】 当，即时，取得最大值. 故答案为：. 考点11 根据对数函数的最值求参数 49．若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 【答案】或 【分析】由是单调函数可确定最值取在区间端点，列绝对值方程求解. 【详解】因为是单调函数，所以是单调函数，其最大值和最小值分别取在区间的两个端点处， 所以，即， 所以或，解得或， 故答案为：或 50．已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 51．设函数，若对定义域内的任意，恒成立，则的最小值为______． 【答案】/0.2 【分析】由结合对数的运算性质可得，将代入，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得；     则当时，，故，所以； 当时，，故，所以， 所以，即有，故， 令，由二次函数的性质得： ，故的最小值为. 52．已知函数. (1)若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①将点代入函数求出； ②先根据得到关于的方程，再利用分离参数法得到，结合函数的单调性求出的取值范围； （2）先对函数进行化简，再根据对数函数的性质分析其最小值情况，进而确定的取值范围. 【详解】（1）①因为函数的图象经过点， 所以， 所以 由为单调递增函数，解得； ②， 因为，所以，即， 整理得. 因为当时，函数单调递减，所以， 所以使方程在上有解的实数的取值范围是； （2）由题意得， 当时，令，解得，所以的定义域为， 令，则为增函数，所以函数是增函数， 所以在上单调递增，无最小值； 当时，在上单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，又因为函数是增函数， 所以， 解得. 综上，存在实数使得存在最小值，且最小值小于， 此时实数的取值范围为. 53．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，,要使函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】令，则, 令, 所以函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：， 解得：, 所以实数的取值范围是 故选：A 54．已知函数，其中． (1)求函数的定义域A； (2)若函数的最小值为1，求a的值； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的真数大于0，列出不等式求解即可； （2）由二次函数的最值求出的最大值，再由对数函数的单调性求出最小值列方程求解即可； （3）换元后，分离参数，利用基本不等式求出最大值即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 由可知， 所以不等式的解为， 故函数的定义域. （2）令， 当时，， 又为减函数， 所以，可得， 即，解得或（舍去）. （3）令，则由指数函数的单调性知为增函数， 当时，， 不等式可化为，即， 即存在，使得不等式成立， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故. 考点12 根据对数函数的值域或最值求参数(定义域) 55．已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 56．设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 57．已知对数函数在上的最大值和最小值的和为1． (1)求的解析式． (2)已知函数． （i）若的定义域为，求的取值范围； （ii）若的值域是，求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据对数函数的定义假设函数解析式，结合其单调性和待定系数法求解即可. （2）（i）将的定义域为，转化为求解在上恒成立，对分类讨论求解；（ii）整体换元，将问题转化为求解的值域内的最大值，再结合二次函数最值求解即可. 【详解】（1）设（且）， 因为是单调函数，所以在上的最大值和最小值的和为， 则，解得，所以. （2）由题意得， （i）由的定义域为，可知在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，，解得， 综上所述的取值范围是； （ii）令，由的值域是， 可得取得内任意实数，则的最大值是16. 由， 得，且，则. 58．（多选）下列选项中说法正确的有（    ） A．已知命题P：，，则为， B．函数的值域为 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 【答案】AB 【详解】A.命题P：，，则为，，故A正确； B.设，，所以，所以函数的值域为，故B正确； C.由复合函数的定义域可知，，得，所以函数的定义域为，故C错误； D.当时，的值域为，当时，若函数的值域为R，则，， 综上可知，的取值范围是，故D错误. 59．已知函数的值域为R，关于a的不等式恒成立，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据对数型函数的值域为R，确定真数部分的取值范围，进而求出a的取值范围，然后将关于a的不等式进行变形，通过换元法转化为关于新变量的不等式，最后根据不等式恒成立求出实数k的取值范围. 【详解】函数的值域为R， 所以的值域要包含所有正实数， 当时，，则为一次函数， 当x取得合适值时，能取遍所有正实数，满足题意， 当时，是二次函数， 则，解得或， 综上，a的取值范围是， 令（），则，可化为， 即对恒成立， 设，其对称轴为， 当，即时，，解得； 当，即时，，解得，与矛盾，舍去. 综上，实数k的取值范围为. 故答案为：. 60．已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数的值域包含，利用导数分析该函数的单调性与极值，可知，即可解出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，故函数的值域包含， 求导得，又因为且，由可得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 考点13 对数函数综合应用 61．已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【详解】（1）当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； （2）设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. 62．已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）首先求出的值，即可求出函数解析式，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）依题意可得任意，不等式恒成立，令，，判断的单调性，即可得解. 【详解】（1）因为，且， 即，所以，解得， ， 由解得，的定义域为， 对于任意，都有，且， 是奇函数. （2）在上单调递减. 证明：设，则， ， ，，， 在上单调递减. （3）对任意，不等式恒成立， 即任意，不等式恒成立， 令，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 实数的取值范围为. 63．设函数． (1)当时，求的值域； (2)当时，的最小值为3，求m的值； (3)当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数性质确定的取值范围，再结合对数函数单调性求解的值域. （2）先判断函数的单调性，得出其在给定区间上的最小值点，再根据最小值为3求出的值. （3）将函数图象位置关系转化为不等式恒成立问题，通过换元法将函数转化为关于新变量的函数，求该函数的最大值，进一步求解的取值范围. 【详解】（1）因为当时，， 因为．所以， 所以， 所以的值域为. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，的最小值为，所以只需，即， 所以在区间上的最小值为， 又因为当时，的最小值为3， 所以．故. （3）当时，函数，的定义域为， 因为函数的图象恒在直线的下方， 所以在恒成立， 即在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 则，即，， 令，， 由二次函数性质可知，当时，， 即，解得， 所以的取值范围为. 64．已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)定义域为，增函数； (2)； (3). 【分析】（1）令解不等式即可求出定义域，根据复合函数的单调性即可判断函数的单调性； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 考点14 反函数 65．已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 【答案】， 【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解. 【详解】因为的图像过点，所以．① 又因为的反函数图像过点，所以点在原函数的图像上． 所以．② 联立①②得，． 66．若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 67．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，的解就是求原函数的值，根据分段函数的解析式，结合奇偶性求出，从而可得结果. 【详解】由反函数与原函数的互逆关系知， 的解就是求原函数的值， 又，且为奇函数， ， ，即为 的解. 68．已知实数满足，，则__________. 【答案】 【分析】由与的交点关于对称，结合，，从而有与关于对称得到且，即可求. 【详解】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. 69．已知函数的零点为、函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数零点的定义及零点存在性定理，结合反函数的性质及不等式性质逐项判断即可. 【详解】由，得，，则，， 因此分别是直线与函数、的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中作出函数，的图象及直线，如图， 函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 直线也关于直线对称，则点关于直线对称， 即，则，CD错误； 函数在R上都是增函数，则函数在上是增函数， 又，，则， 因此，B错误，A正确. 70．设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数的反函数的图象过点， 所以函数的图象过点， 所以有. 故选：B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8 对数函数 14大考点汇总 考点01 对数的化简、求值 考点02 对数函数的判定以及求参数 考点03 对数型函数图象过定点问题 考点04 根据对数型函数图象求参数的范围 考点05 判断对数函数的单调性 考点06 求对数型复合函数的单调性 考点07 利用对数(型)的单调性求参数 考点08 由对数函数的单调性解不等式 考点09 比较对数式的大小 考点10 求对数型函数的最值 考点11 根据对数函数的最值求参数 考点12 根据对数函数的值域或最值求参数(定义域) 考点13 对数函数综合应用 考点14 反函数 题型专练 考点01 对数的化简、求值 1．（1） （2） 2．计算下列各式的值. (1) (2) 3．（1）化简：； （2）求值：． 4．（1）计算： . 5．（1）计算：. 6．（1）计算：； 考点02 对数函数的判定以及求参数 7．已知函数是对数函数，则__________． 8．已知函数，若图象过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 9．已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 10．若函数是以为自变量的对数函数，则实数________． 考点03 对数型函数图象过定点问题 11．函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 12．已知函数且的图象过定点，且点在指数函数图象上，则___________. 13．函数，且恒过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 14．函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 考点04 根据对数型函数图象求参数的范围 15．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 16．已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 17．函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）    A． B． C． D．3 18．已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____. 考点05 判断对数函数的单调性 21．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 22．（多选）下列函数在定义域内单调递增的是（     ） A． B． C． D． 23．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．对于实数，“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点06 求对数型复合函数的单调性 25．函数的单调增区间是_____． 26．（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 27．函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______. 28．函数的单调递减区间为__________. 考点07 利用对数(型)的单调性求参数 29．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________. 30．“函数在区间上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 31．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．已知函数在区间上单调递增，则参数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点08 由对数函数的单调性解不等式 35．已知是奇函数，则不等式的解集是______. 36．若，则的取值范围是________． 37．设函数，若且，则的取值范围为__________． 38．已知函数，则不等式的解集为______. 39．已知函数，则的解集为______． 40．已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 考点09 比较对数式的大小 41．已知，则（    ） A． B． C． D． 42．三个数的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 43．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 44．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点10 求对数型函数的最值 45．已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 46．（多选）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．没有最小值 47．已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 48．函数的最大值为_____. 考点11 根据对数函数的最值求参数 49．若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 50．已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 51．设函数，若对定义域内的任意，恒成立，则的最小值为______． 52．已知函数. (1)若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． 53．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．已知函数，其中． (1)求函数的定义域A； (2)若函数的最小值为1，求a的值； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 考点12 根据对数函数的值域或最值求参数(定义域) 55．已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 56．设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 57．已知对数函数在上的最大值和最小值的和为1． (1)求的解析式． (2)已知函数． （i）若的定义域为，求的取值范围； （ii）若的值域是，求的值． 58．（多选）下列选项中说法正确的有（    ） A．已知命题P：，，则为， B．函数的值域为 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 59．已知函数的值域为R，关于a的不等式恒成立，则实数k的取值范围是______. 60．已知函数且的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点13 对数函数综合应用 61．已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 62．已知函数，且． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 63．设函数． (1)当时，求的值域； (2)当时，的最小值为3，求m的值； (3)当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 64．已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 考点14 反函数 65．已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 66．若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 67．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为（   ） A． B． C． D． 68．已知实数满足，，则__________. 69．已知函数的零点为、函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 70．设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $