2.5 对数与对数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以对数概念与运算为基础，通过函数图象性质、不等式与最值、比较大小到综合探究的递进式设计，系统覆盖对数函数核心考法，突出抽象能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数概念与运算性质|3考法9题|运算法则、指对互化、实际估算|概念生成：从定义到运算性质，结合实际情境应用| |对数函数图象与性质|3考法6题|图象特征、反函数对称、复合函数单调性|性质推导：图象与性质联动，渗透反函数思想| |对数不等式与最值|2考法6题|不等式求解、复合函数值域|应用拓展：性质延伸到不等关系与最值问题| |利用对数函数比较大小|2考法9题|单调性比较、构造函数放缩|能力提升：结合函数单调性与中间量，强化推理| |对数方程与综合探究|2考法2题|指对结合换元、取整函数求和|综合应用：跨知识点整合，培养创新意识|

2027届高三数学一轮复习专项训练 2.5 对数与对数函数 练习卷 考点一：对数的概念与运算性质 1 考法1：对数运算法则与换底公式化简求值 1 考法2：指对互化与方程变形求值 1 考法3：对数模型在实际情境中的估算应用 2 考点二：对数函数的图象与性质 2 考法4：对数函数的图象特征与定点问题 2 考法5：反函数与指对图象对称性 2 考法6：对数型复合函数的单调性与参数范围 3 考点三：对数不等式与最值 3 考法7：对数不等式的求解与充要条件转化 3 考法8：对数型复合函数的值域与最值求解 4 考点四：利用对数函数比较大小 4 考法9：利用对数单调性与中间量比较大小 4 考法10：指对混合式构造函数与放缩比较大小 5 考点五：对数方程与综合探究 5 考法11：指对结合与方程换元求解 5 考法12：取整函数与对数运算的分组求和 5 考点一：对数的概念与运算性质 考法1：对数运算法则与换底公式化简求值 1.（2026·山东淄博·一模）已知，则（　　） A. B. C. D. 2.（2026·湖南雅礼中学·模拟）（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.（2026·河南湘豫联盟·检测）已知正数均不等于1，且，则＿＿＿＿＿＿． 4.（2025·新疆乌鲁木齐·模拟）已知，则＿＿＿＿＿＿． 考法2：指对互化与方程变形求值 5.（2026·安徽师大附中·检测）若实数满足，则与的值最接近的是（　　）（参考数据：）（　　） A. 0.26 B. 0.41 C. 0.51 D. 1.10 6.（2026·浙江桐乡·检测）已知正实数满足，则为（　　） A. B. C. D. 7.（2026·安徽合肥一六八·一模）若非零实数满足且，则的值为＿＿＿＿＿＿． 考法3：对数模型在实际情境中的估算应用 8.（2026·四川蓉城名校联盟·联考）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（　　） A. 10000 B. 15000 C. 20000 D. 30000 9.（2026·山东淄博·二模）“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中.在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算.现有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：）（　　） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 考点二：对数函数的图象与性质 考法4：对数函数的图象特征与定点问题 10.（2026·贵州毕节·二模）已知函数，的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（　　） A. B. 4 C. 或 D. 11.（2026·河南五市·一模）已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则＿＿＿＿＿＿． 考法5：反函数与指对图象对称性 12.（2025·河南H20联盟·联考）已知函数是的反函数，则（　　） A. 10 B. 8 C. 5 D. 2 13.（2026·河南开封高中·检测）已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（　　） A. B. C. D. 考法6：对数型复合函数的单调性与参数范围 14.（2026·河北金科联考·联考）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 15.（2025·河北衡水中学·检测）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿． 考点三：对数不等式与最值 考法7：对数不等式的求解与充要条件转化 16.（2026·广东东莞·一模）设且，下列各项中，能推出的一项是（　　） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 17.（2026·湖南长郡联盟·二模）（多选）若，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 18.（2026·湖南南雅中学·检测）（多选）设且，则有（　　） A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 19.（2025·福建宁德·模拟）设函数，则满足的的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 考法8：对数型复合函数的值域与最值求解 20.（2025·广东上进联考·联考）已知正实数满足，则的最大值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 21.（2025·河北沧州五县·一模）已知幂函数是定义在上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值． 考点四：利用对数函数比较大小 考法9：利用对数单调性与中间量比较大小 22.（2026·广东汕头·二模）已知，则（　　） A. B. C. D. 23.（2025·河北衡水中学·检测）已知，比较的大小为（　　） A. B. C. D. 24.（2025·河南郑州外国语·检测）已知，设，则（　　） A. B. C. D. 25.（2026·河北金科联考·联考）设，则（　　） A. B. C. D. 考法10：指对混合式构造函数与放缩比较大小 26.（2026·江苏南京栖霞·一模）已知正实数满足和，则（　　） A. B. C. D. 27.（2026·广东深圳·一模）若实数满足，则的大小关系不可能是（　　） A. B. C. D. 28.（2025·全国一卷·检测）若实数满足，则的大小关系不可能是（　　） A. B. C. D. 考点五：对数方程与综合探究 考法11：指对结合与方程换元求解 29.（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（　　） A. 9 B. 21 C. 27 D. 30 考法12：取整函数与对数运算的分组求和 30.（2026·湖北襄阳五中·一模）函数广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数的最大整数，例如：.已知函数，则（　　） A. 4097 B. 4107 C. 5119 D. 5129 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 2.5 对数与对数函数 解析卷 答案速查表 2 考点一：对数的概念与运算性质 2 考法1：对数运算法则与换底公式化简求值 2 考法2：指对互化与方程变形求值 3 考法3：对数模型在实际情境中的估算应用 4 考点二：对数函数的图象与性质 5 考法4：对数函数的图象特征与定点问题 5 考法5：反函数与指对图象对称性 6 考法6：对数型复合函数的单调性与参数范围 7 考点三：对数不等式与最值 8 考法7：对数不等式的求解与充要条件转化 8 考法8：对数型复合函数的值域与最值求解 10 考点四：利用对数函数比较大小 10 考法9：利用对数单调性与中间量比较大小 10 考法10：指对混合式构造函数与放缩比较大小 12 考点五：对数方程与综合探究 13 考法11：指对结合与方程换元求解 13 考法12：取整函数与对数运算的分组求和 14 2.5 对数与对数函数 方法总结 14 答案速查表 1 2 3 4 5 D B 6 1 C 6 7 8 9 10 C 72 A B A 11 12 13 14 15 C B A 16 17 18 19 20 A ABC BCD A 21 22 23 24 25 （1）； （2）当时最大值为7 A D D C 26 27 28 29 30 A C B D B 考点一：对数的概念与运算性质 考法1：对数运算法则与换底公式化简求值 1.（2026·山东淄博·一模）已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据指数幂的运算性质将转化为，再结合对数恒等式即可求值. 【解析】. 故选：D. 2.（2026·湖南雅礼中学·模拟）（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【思路】先利用同底对数相加的性质将真数相乘，再结合二倍角正弦公式化简真数，最后利用对数定义求值. 【解析】. 故选：B. 3.（2026·河南湘豫联盟·检测）已知正数均不等于1，且，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】6 【思路】直接利用换底公式化为同底常用对数或自然对数相乘消去中间底数，或将对数式转化为指数式代入求解. 【解析】方法一：，即. 方法二：由，得，则，所以. 故答案为：6. 4.（2025·新疆乌鲁木齐·模拟）已知，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】1 【思路】先由指数式化为对数式，再由倒数关系或换底公式求的乘积. 【解析】因为，则，又，所以. 故答案为：1. 考法2：指对互化与方程变形求值 5.（2026·安徽师大附中·检测）若实数满足，则与的值最接近的是（　　）（参考数据：） A. 0.26 B. 0.41 C. 0.51 D. 1.10 【答案】C 【思路】两边同时取自然对数，利用对数的运算法则将指数运算转化为线性代数式，从而求得的近似值. 【解析】由，两边取对数得，则. 故选：C. 6.（2026·浙江桐乡·检测）已知正实数满足，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】将含和含的项分别分离到等式两边，构造同构函数或分别构造函数利用导数求最值，由最值相等的临界状态确定变量的值. 【解析】等式左边：设，求导得，时，在单调递减，时，在单调递增，因此的最小值为，所以. 等式右边：设，求导得，时，，在单调递增，时，，在单调递减，因此的最大值为，所以. 又，因此仅当时等式成立，即，故. 故选：C. 7.（2026·安徽合肥一六八·一模）若非零实数满足且，则的值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】72 【思路】引入辅助未知数，将用以为底的对数表示，代入已知关系式转化为关于的对数方程求解. 【解析】，，. 故答案为：72. 考法3：对数模型在实际情境中的估算应用 8.（2026·四川蓉城名校联盟·联考）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（　　） A. 10000 B. 15000 C. 20000 D. 30000 【答案】A 【思路】根据题目所给对数关系式建立方程求出参数，再将代入解析式解对数方程求出. 【解析】依题意，得，则有，解得，. 当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得. 故选：A. 9.（2026·山东淄博·二模）“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中.在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算.现有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：）（　　） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】B 【思路】根据总次数除以运算速度列出时间表达式，两边取常用对数，利用对数的运算法则和已知参考数据进行指数与对数还原估算. 【解析】依题意，所需时间秒. 设，两边取常用对数得， 所以秒. 故选：B. 考点二：对数函数的图象与性质 考法4：对数函数的图象特征与定点问题 10.（2026·贵州毕节·二模）已知函数，的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（　　） A. B. 4 C. 或 D. 【答案】A 【思路】代入点的坐标得到关于的第一个等式，再由渐近线特征确定对数函数的定义域边界，得到真数为0时的极限条件，联立解出参数. 【解析】由题知，，即，又，则，解得. 由对数函数性质，无限接近，则时，，即， 故，解得，则. 故选：A. 11.（2026·河南五市·一模）已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】令对数真数为1求出定点的坐标，对函数求导得出切线方程，再将点坐标代入切线方程求得参数. 【解析】对函数，令，则，得.所以. 函数的定义域为，，所以. 所以函数的图象在处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 故答案为：. 考法5：反函数与指对图象对称性 12.（2025·河南H20联盟·联考）已知函数是的反函数，则（　　） A. 10 B. 8 C. 5 D. 2 【答案】C 【思路】由对数函数的反函数为同底指数函数写出的解析式，再分别代入自变量求和. 【解析】函数是的反函数，故，故. 故选：C. 13.（2026·河南开封高中·检测）已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用对称性求出反函数与的解析式，在同一直角坐标系中画出两函数的图象，观察交点及函数值的大小关系. 【解析】在上任意取点，点关于直线的对称点为，因为点在上，故，得，即，同理得，在同一坐标系内画出与的图象如下： 得或或成立，而不成立. 故选：B. 考法6：对数型复合函数的单调性与参数范围 14.（2026·河北金科联考·联考）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，且必须保证内层真数在指定区间上恒大于0，结合二次函数的单调区间与对称轴讨论参数范围. 【解析】当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，可得在上单调递增； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，若在上单调递增，有. 由上可知. 故选：A. 15.（2025·河北衡水中学·检测）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】先确定外层函数为对数函数，再根据复合函数单调性“同增异减”及定义域限制确定内层二次函数的增区间. 【解析】定义域为增区间为. 故答案为：. 考点三：对数不等式与最值 考法7：对数不等式的求解与充要条件转化 16.（2026·广东东莞·一模）设且，下列各项中，能推出的一项是（　　） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】A 【思路】根据对数函数的图象特征与性质，等价于底数与真数同时大于1或同时在之间，逐项分析充分性. 【解析】由对数函数性质可知，当时，在上单调递增，若，则；当时，在上单调递减，若，则.因此，且或且.故“且”能推出. 故选：A. 17.（2026·湖南长郡联盟·二模）（多选）若，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【思路】由对数单调性确定与的取值范围，再利用基本不等式及绝对值性质判断各选项. 【解析】由于，则，所以 A, C 正确； ，B 正确； ，D 错误. 故选：ABC. 18.（2026·湖南南雅中学·检测）（多选）设且，则有（　　） A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【思路】先求解函数的定义域，再利用函数奇偶性定义验证B；根据复合函数与初等函数单调性验证C；构造新函数利用单调性脱去函数符号验证不等式D. 【解析】由题设，则，定义域为，A错； 由，所以为偶函数，B对； 由题设，定义域为，由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，C对； 当时，令，则在定义域上单调递增，原不等式等价于.根据单调性，此不等式成立的条件为，即.因为题设条件为，且对于任意实数都有，所以恒成立.因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故 D 正确. 故选：BCD. 19.（2025·福建宁德·模拟）设函数，则满足的的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】先由真数大于0确定定义域，再根据绝对值内对数式的正负分段去绝对值，转化为代数不等式求解. 【解析】由可得，则，解得，所以定义域为. 当时，，由可得，即，无解； 当时，，由可得，即，即，解得. 又，所以，即不等式的解集为. 故答案为：. 考法8：对数型复合函数的值域与最值求解 20.（2025·广东上进联考·联考）已知正实数满足，则的最大值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【思路】利用换底公式化同底后将对数相加转化为真数相乘，再借助基本不等式求出真数的最大值. 【解析】，当且仅当时等号成立. 故选：A. 21.（2025·河北沧州五县·一模）已知幂函数是定义在上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值． 【答案】（1）；（2）当时，函数的最大值为7. 【思路】第（1）问由幂函数系数为1求出，再由偶函数性质确定解析式；第（2）问将对数表达式代入，令换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题. 【解析】（1）根据题意可得，即，所以，解得或，又函数是定义在上的偶函数，所以，即函数的解析式为. （2）由（1）可知. 因，所以，当时，，函数的最大值为7. 考点四：利用对数函数比较大小 考法9：利用对数单调性与中间量比较大小 22.（2026·广东汕头·二模）已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】寻找基准常数1和作为中间量，利用对数函数的单调性分别比较与中间量的大小. 【解析】已知，则. 故选：A. 23.（2025·河北衡水中学·检测）已知，比较的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用换底公式和基本不等式比较与的大小，再借助中间值分别与指数式及对数式比较确定大小. 【解析】，因为，所以，即，所以，且，所以. 又因为，所以. 综上，. 故选：D. 24.（2025·河南郑州外国语·检测）已知，设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由已知不等式两边取对数得出，再利用基本不等式分析与的倒数乘积关系得出大小. 【解析】由，得，即，则； 由，得，即，则； 又，则，而， 因此，所以，即. 故选：D. 25.（2026·河北金科联考·联考）设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】借助特殊角的正弦值及作为中间媒介，结合正弦函数的诱导公式与单调性进行逐级比较. 【解析】易知，.所以. 故选：C. 考法10：指对混合式构造函数与放缩比较大小 26.（2026·江苏南京栖霞·一模）已知正实数满足和，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】两边取自然对数将指对混合式化为同构形式，构造单调递增函数比较与的大小，进而放缩估计乘积的范围. 【解析】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 27.（2026·广东深圳·一模）若实数满足，则的大小关系不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】令共同的函数值为参数，将分别用表示，或利用图象交点横坐标位置与直线的相对位置进行数形结合判断. 【解析】显然与的交点在直线上，且交点横坐标小于1，而与交点的横坐标等于1，从而的大致图象如图所示： 根据图象知，可能出现，不可能出现. 故选：C. 28.（2025·全国一卷·检测）若实数满足，则的大小关系不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】引入常数参量令，对赋予不同特殊值进行特值检验排除不可能的排列. 【解析】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B. 考点五：对数方程与综合探究 考法11：指对结合与方程换元求解 29.（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（　　） A. 9 B. 21 C. 27 D. 30 【答案】D 【思路】设，由倒数和方程解出的值，得到与的幂次关系，再代入指数方程求得底数具体数值. 【解析】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 故选：D. 考法12：取整函数与对数运算的分组求和 30.（2026·湖北襄阳五中·一模）函数广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数的最大整数，例如：.已知函数，则（　　） A. 4097 B. 4107 C. 5119 D. 5129 【答案】B 【思路】按底数为2的幂次区间对自变量进行分段统计各区间内奇数的个数与对应的函数值，最后利用错位相减法求和. 【解析】由题意时，，在上奇数共有个，， ， 设，则， 相减得：， 所以， 所以. 故选：B. 2.5 对数与对数函数 方法总结 1. 对数的运算法则应用中，重点掌握同底化简与换底公式，遇到指数式与对数式混编方程时，善于利用指对互化公式以及引入辅助未知数进行代数变形.（第1、2、3、4、7题） 2. 求解含对数的实际应用模型（如衰变、声音分贝、算法复杂度、数据增长率等），关键在于读懂题意准确列出对数方程，两边取对数后利用常用对数估算值及指数运算进行还原.（第8、9题） 3. 对数型复合函数的性质分析必须坚持“定义域优先”原则，在研究单调性、最值或值域时，必须首先保证真数大于0且底数满足条件；复合函数单调性严格遵循“同增异减”规律.（第10、11、14、15、20、21题） 4. 解对数不等式或讨论分类参数时，注意根据底数或进行分类讨论，并结合对数函数的单调性脱去对数符号，切记不可遗漏真数大于0的约束条件.（第16、17、18、19题） 5. 比较大小问题中，优先寻找中间量（如0, 1, 等）进行搭桥过渡；对于复杂的指对混合比较，可构造同构函数或利用导数研究单调性与极值进行放缩判定.（第5、6、22、23、24、25、26、27、28题） 6. 涉及取整对数函数的数列求和时，通常按照对数的整数部分值进行分组，明确每个区间内项的个数，转化为等差乘等比数列的错位相减法或分组求和.（第29、30题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $