山东省济南市九年级数学上学期课时作业（北师大版九年级上册3.1相似多边形）

该初中数学作业设计方案针对九年级“相似多边形”课时，结合学生已有比例知识与“形状相同”的直观经验，针对易混淆“仅边成比例或仅角相等”的困惑，设计“理解—运用—拓展”三层作业，基础题巩固概念，综合题提升能力，拓展题挑战思维，体现分层。 通过多样化练习提升学习效果，如第5题辨析矩形相似培养几何直观，第13题判断小路内外矩形相似强化推理能力，第14题动点问题运用模型观念解决动态问题。评价从知识理解、能力运用等维度科学评估，思维发展维度关注论证严谨性，助力学生用数学思维思考现实世界。

3.1相似多边形同步课时作业 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 3.1相似多边形同步课时作业（2026—2027学年北师大版八年级上册） 学段学科 初中　数学 适用年级 九年级 教材版本 北师大版 对应内容 第3章 第1节 相似多边形（同步课时作业） 作业类型 课后作业（同步课时作业） 完成时长 总时长45分钟 设计者 【查茂柱】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是几何直观、推理能力与模型观念，需达成“理解相似多边形的概念，掌握对应角相等、对应边成比例的性质，并能运用其解决简单实际问题”的学业要求。 · 教材地位：本课时承载的核心概念是相似多边形及其相似比，是“图形的相似”单元中由“线段的比、成比例线段”走向“相似图形”的关键一步，为后续相似三角形的判定与性质、位似及实际测量奠定基础。 · 教学重难点：重点为运用相似多边形的定义（对应角相等且对应边成比例）判断多边形相似并确定相似比；难点为辨析“仅对应边成比例”或“仅对应角相等”不能判定相似的反例（如矩形、菱形），以及在网格与生活情境中准确确定对应边。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握比与比例、成比例线段的概念，会解简单的比例式；熟悉三角形、矩形、菱形、正多边形等常见图形的性质；对“形状相同”的图形（如照片放大、复印缩放）有直观的生活经验。 现有困惑 容易把“相似”简单等同于“对应边成比例”而忽略“对应角相等”；求未知边长、周长时不能准确确定对应边；对“任意两个菱形（矩形）是否相似”等反例缺少严谨的说理依据。 差异分析 基础较好的学生能独立完成比例式变形并给出相似性判断的理由；中等水平学生需借助定义分步核对对应角与对应边；部分学生宜从网格图、生活情境入手，先直观感知相似比，再抽象出相似多边形定义。 3. 设计意图：本作业围绕“从定义出发、在情境中应用”的主线展开。第1、2、4、5、9题立足概念辨析，帮助学生准确把握相似多边形的定义与成比例线段；第3、7、8、10、11题通过比例性质与相似多边形性质求边长、周长，落实基本方法；第12、13、14题分别在网格、生活与动态情境中综合运用相似定义与相似比，考查对应边的确定与分类讨论意识。整体形成“理解—运用—拓展”三个层次，促进学生几何直观、推理能力与模型观念的发展。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确说出相似多边形的定义（对应角相等且对应边成比例），识别相似多边形及其相似比；能辨别“仅有对应边成比例”或“仅有对应角相等”不能判定相似的反例。 几何直观、推理能力 第1、2、4、5、9题正确率及概念辨析理由 能力运用 B 能运用比例的基本性质与相似多边形的性质，求成比例线段、未知边长与周长；能在网格、生活情境中确定对应边并计算相似比。 推理能力、模型观念 第3、6、7、8、10、11题解题过程记录与方法选用 思维发展 C 能通过正n边形、菱形、矩形等实例的比较、概括与反例构造，判断多边形是否相似并说明理由，发展严谨推理与批判性思维。 推理能力 第9、12、13题论证思路与说理表达 情感态度 D 能体会相似在复印缩放、空地设计、动点几何等现实情境中的价值，养成联系生活、规范书写、严谨说理的学习习惯。 模型观念、应用意识 第6、13、14题解答过程与反思语 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 相似多边形定义辨析（各边成比例／矩形／等边三角形／菱形） A 通过正反例辨析，理解定义中“对应角相等且对应边成比例”缺一不可 C 2 选择题 判断各组线段是否成比例 A 巩固成比例线段概念，为相似比的学习铺垫 C 3 选择题 由 a/b=3/5 求 (a+b)/b 的值 B 运用比例的基本性质（合比性质）变形求值 8/5（选C） 4 选择题 由 a/b=c/d 判断下列等式是否成立 B 掌握比例式的等价变形（取倒数等） 选B（b/a=d/c） 5 选择题 三个矩形中找出相似的一对 A 用定义判断矩形相似，体会对应边成比例的作用 甲与丙（选A） 6 选择题 复印机等比例缩小，求缩小后的宽 B 把相似比应用于生活中的缩放情境 4cm（选D） 7 解答题 由 AD/DB=AE/EC 求 AC 的长 B 用比例式求未知线段，落实对应关系 AC=9.8cm 8 解答题 相似矩形按相似比 2/3 求 EF、FG 的长 B 相似多边形对应边成比例求边长 EF=4.5cm，FG=7.5cm 9 解答题 任意两个正n边形是否相似；任意两个菱形是否相似 C 归纳正n边形的相似性，构造菱形反例并说理 (1)相似；(2)不一定 10 解答题 由相似比 3/4 与△ABC周长 18cm 求△DEF周长 B 理解周长比等于相似比 24cm 11 解答题 由比例式变形求代数式的值 B 用设k法（等比性质）求代数式的值 (1)−1/2；(2)8/9 12 解答题 网格中求三组对应边的比值与周长比 B、C 在网格中数形结合确定对应边、计算相似比并判断相似 三组比值均为2，周长比为2（2:1） 13 解答题 小路内外形成的两个矩形是否相似 C、D 实际情境中运用定义判断相似并完整说理 不相似（3:2≠14:9） 14 解答题 动点运动中矩形 CFNM 与矩形 AEFD 相似，求时间 B、C、D 动态几何中分类讨论矩形相似的两种对应情形 t=0.5s或t=2s 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 六、试题详情 1.下列说法正确的是． A. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 B. 矩形都是相似图形 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 菱形都是相似图形 2.下列长度的各组线段，是成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3.若，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.若四条互不相等的线段，，，满足，则下列等式中成立的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是(    ) A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 6.如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的宽为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知，，，，求的长． 8.如图，矩形矩形，它们的相似比是，已知，，求，的长． 9.任意两个正是大于或等于的自然数边形相似吗？ 任意两个菱形相似吗？为什么？ 10. 在与中，已知，且的周长为，求的周长． 11.已知，求的值． 已知，求的值． 12.如图，小正方形网格的边长均为，与的顶点均在网格线的交点上． 分别求出，，的值； 求与的周长比． 13.如图，矩形空地长、宽空地内两条纵向小路和两条横向小路的宽均为，中间部分铺上草坪，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗说出你的理由． 14.如图，已知矩形，，，，分别是，上的点，且，两动点，分别从，两点同时出发，沿，均以的速度向，两点运动，则当点，运动多长时间时，矩形与矩形相似 七、答案与解析 1.下列说法正确的是． A. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 B. 矩形都是相似图形 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 菱形都是相似图形 【答案】C  【解析】A.各边对应成比例的多边形对应角不一定相等，所以不一定是相似多边形，故本选项错误；  矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；  等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；  菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误．  故选C． 2.下列长度的各组线段，是成比例线段的是(    ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C  【解析】成比例线段满足“两条线段的比等于另外两条线段的比”。C中3:9=6:18=1:3（交叉相乘：3×18=9×6=54），故3、9、18、6是成比例线段；其余各组均不能满足交叉相乘相等。 3.若，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】由 a/b=3/5，设 a=3k，b=5k（k≠0），则 (a+b)/b=(3k+5k)/(5k)=8k/5k=8/5。 4.若四条互不相等的线段，，，满足，则下列等式中成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由 a/b=c/d，等式两边取倒数得 b/a=d/c，故B正确；A、C、D代入比例基本性质验证均不成立。 5.如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是(    ) A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 【答案】A  【解析】甲的长宽比为6:4=3:2；乙的长宽比为2:1.5=4:3；丙如图竖放，宽2高3，即长3宽2，长宽比为3:2。甲与丙的长宽比相等（对应边成比例：6:3=4:2=2），对应角均为直角，所以甲与丙相似。 6.如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的宽为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】等比例缩小即图形相似，缩小前后对应边成比例：10/20=缩小后宽/8，故缩小后宽=8×10/20=4（cm）。 7.如图，已知，，，，求的长． 【解析】解：，， ， ． 8.如图，矩形矩形，它们的相似比是，已知，，求，的长． 【解析】解：矩形矩形，且相似比是， ．，， ，，．  9.任意两个正是大于或等于的自然数边形相似吗？ 任意两个菱形相似吗？为什么？ 【解析】(1)解：相似.  (2)不一定相似.因为两个菱形的各边虽然成比例，但是它们的各角不一定分别相等.  10.在与中，已知，且的周长为，求的周长． 【解析】解：，． ， 即． 的周长为，即， ， 即的周长为． 11.已知，求的值． 已知，求的值． 【解析】(1)解:方法一:=,设b=3x,a=2x.===-. 方法二:=,2b=3a.===-.   (2)设===k(k0),则x=2k,y=3k,z=4k.===.  12.如图，小正方形网格的边长均为，与的顶点均在网格线的交点上． 分别求出，，的值； 求与的周长比． 【答案】(1)解： 的值为2，的值为2，的值为2；  (2)与的周长比为2.  13.如图，矩形空地长、宽空地内两条纵向小路和两条横向小路的宽均为，中间部分铺上草坪，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗说出你的理由． 【答案】不相似 【解析】外矩形的长宽比为30:20=3:2；小路内边缘形成的矩形长为30−2×1=28（m），宽为20−2×1=18（m），长宽比为28:18=14:9。因为3:2≠14:9，对应边不成比例（对应角虽均为直角），所以两个矩形不相似。 14.如图，已知矩形，，，，分别是，上的点，且，两动点，分别从，两点同时出发，沿，均以的速度向，两点运动，则当点，运动多长时间时，矩形与矩形相似 【答案】0.5s或2s 【解析】解：矩形中，，， ，． ， ． 当与是对应边时，矩形矩形， ，即，解得， 运动时间． 当与是对应边时，矩形矩形， ，即，解得， 运动时间． 综上所述，当点，运动时间为或时，矩形与矩形相似．   学科网（北京）股份有限公司 $