第1章反比例函数拓展提优卷 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级数学反比例函数拓展提优卷，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，覆盖反比例函数概念、图像性质及综合应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（概念、图像性质）|选择1结合气球气压实际情境，考查反比例函数应用，培养模型意识| |综合应用|跨知识综合（与一次函数、几何结合）|填空12通过函数图像交点，关联不等式解集，发展推理能力| |拓展探究|复杂情境与存在性问题|解答24动态几何与等腰三角形存在性探究，提升创新意识与空间观念|

反比例函数拓展提优卷答案解析 一、选择题 1. 答案：A 解析：设反比例函数解析式为 ，将图象中点 代入，可得 ，因此气压与体积的关系为 。 为保证气球不爆炸，需满足气压不超过 120kPa，即 ，代入得 。由于气体体积 ，解得 ，即气体的体积应不小于 。 2. 答案：A 解析：反比例函数 中，比例系数 ，因此函数在每个独立象限内， 随 的增大而增大。 已知 ，说明这两个点位于第二象限，因此对应的函数值满足 ；而 ，对应点位于第四象限，因此 。综上可得三者的大小关系为 。 3. 答案：A 解析：过点 作 轴于点 。 由于四边形 是正方形，因此 ，且 ，由此可得 ；结合直角三角形的性质，，因此 。 结合 ，可证 ，因此 ，，进而可得 ，因此 点的坐标为 。 将 点代入反比例函数 ，可得 。 4. 答案：D 解析：对一次函数变形可得 ，可知无论 取何非零值，当 时，，即该直线恒过定点 ，与 轴的交点为正半轴上的点，可直接排除交点不在正半轴的选项 A、B、C。 进一步分情况验证： 若 ，则反比例函数 的图象位于第一、三象限；一次函数斜率为正，截距为 ，因此直线过一、三、四象限，与选项 D 的图象完全吻合。 若 ，则反比例函数图象位于第二、四象限，一次函数斜率为负，截距为正，直线过一、二、四象限，无对应选项。 5. 答案：A 解析：函数 是由反比例函数 向右、向上各平移 2 个单位得到的，据此分析各选项： 选项 A：令 ，解得 ，即函数与 轴交于 ；令 ，解得 ，即函数与 轴也交于原点。因此函数与坐标轴仅交于原点这一个公共点，并非 “与坐标轴各有 1 个交点”，该说法错误。 选项 B：在第一象限内，函数的右分支（）中， 随 的增大而减小，说法正确。 选项 C：由函数式变形得 ，因此 ，为定值，说法正确。 选项 D：平移后的函数，其对称中心由原点变为 ，因此图象关于点 对称，说法正确。 6. 答案：A 解析：反比例函数 中，，因此在 的区间内， 随 的增大而增大。 当 时， 时 取得最小值 ， 时 取得最大值 。 根据题意，最大值与最小值的差为 4，因此 ，解得 。 7. 答案：A 解析：设点 的坐标为 ，由于 在 上。 轴，因此 点横坐标与 相同，代入 得 ； 轴，因此 点纵坐标与 相同，代入 得 。 矩形 的面积为 ； 的面积为 ， 的面积为 。 因此四边形 的面积为矩形面积减去两个三角形的面积，即 。 8. 答案：B 解析：根据题意，矩形的初始坐标为：，，，。 将矩形向下平移 后，各点的纵坐标减少 ，平移后 ，，这两个点恰好同时落在反比例函数的图象上，因此满足 。 解方程：，解得 。 9. 答案：C 解析：设动点 的坐标为 ，则 。 由于等腰直角三角形以 为直角边，因此其面积 。 根据均值不等式，，因此 ，即三角形面积的最小值为 1。 10. 答案：C 解析：设正方形的边长为 ，则 ，，据此分析各结论： ①：，，且 ，由 SAS 可证两个三角形全等，①正确。 ②：，，两者没有必然的相等关系，②错误。 ③四边形 DAMN 与面积相等：四边形 是梯形，面积为 ； 的面积为正方形面积减去两个小三角形和 的面积，计算结果同样为 ，两者相等，③正确。 ④若，，则 C 的坐标为：将 绕 O 旋转，可证得 ，因此 ，结合 ，解得 ，因此 点坐标为 ，并非 ，④错误。 综上，正确的结论共有 2 个。 二、填空题 11. 答案： 解析：设 ，由于 是 的中点，因此 点的坐标为 。 在反比例函数 上，因此 。 矩形 的面积为长乘宽，即 。 12. 答案：或 解析：将不等式 变形，可得 ，即 ，也就是一次函数的图象在反比例函数图象下方时， 的取值范围。 已知两个函数的交点横坐标为 2 和 6，结合函数图象的性质，可得当 或 时，一次函数值小于反比例函数值，即为不等式的解集。 13. 答案： 解析：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，因此 ，，且 。 代入式子计算： 14. 答案： 解析：设 ，则 （交点关于原点对称），矩形 的面积 。 由于 ，因此 是线段 的中点，可得 ，，因此 的面积： 15. 答案： 解析：联立两个函数的解析式，解得交点 ，。 设 点的纵坐标为 ，则 的横坐标为 ， 点的横坐标为 ，因此 的长度为 ， 到 的距离为 。 三角形面积 ，通过换元与求导可得，当 在线段 上时，面积的最大值为 。 16. 答案： 解析：首先求 点坐标， 是等腰直角三角形，斜边 在 轴，因此 的横纵坐标相等，设 ，代入 得 ，解得 ，因此 ，反比例函数为 。 结合题意，将 绕点 旋转，可证得 ，因此 点的横坐标为 点的横坐标 4，代入反比例函数得 ，因此 。 三、解答题 17.(1) 求 k 的值 将 代入一次函数 ，得 ，解得 ，因此 。 将 代入反比例函数，得 。 (2) 不等式的解集 不等式 即一次函数值小于反比例函数值，结合交点 和 ，可得解集为 或 。 (3) 求点 P 的坐标 直线 与 轴交点 ，设 ， 的面积为 3。 以 为底，高为 和 的纵坐标的绝对值，可得 ，解得 ，因此 的坐标为 或 。 18.(1) 求时的函数表达式 设双曲线的解析式为 ，将 代入，得 ，因此函数表达式为 。 (2) 求蔬菜最适合生长的时间 首先求 AB 段的解析式，，，解得 。 当温度为 12℃时，在 AB 段，，解得 ； 在 CD 段，，解得 。 因此适合生长的时间为 小时。 (3) 求恒温系统最多关闭的时间 当温度为 10℃时，代入 CD 段，，解得 ，因此关闭的最长时间为 小时。 19.(1) 求 A 点坐标及反比例函数解析式 正方形 的面积为 16，因此 ，所以 ，反比例函数的 ，解析式为 。 (2) 求直线 l 的解析式 存在。 点坐标为 ，，。 设 ，直线 的斜率为 ，因此 的斜率为 ，解得 。 进而求得直线 的解析式为 。 20.(1) 求函数表达式 将 代入反比例函数，得 ，因此反比例函数为 。 设一次函数为 ，代入 和 ，解得 ，因此一次函数为 。 (2) 不等式的解集 不等式 的解集为 或 。 (3) 求 P 点坐标 设 ，分三种情况： ：解得 或 ； ：解得 或 ； ：解得 。 因此 的坐标为 。 21.(1) 求直线的解析式 点坐标为 ，设直线解析式为 ，代入 和 ，解得 ，因此直线为 。 (2) 求 P 点坐标 ，设 ， 的面积为 4，解得 ，因此 或 。 (3) 求 E 点坐标 ，分三种情况，解得 的坐标为 。 22.(1) 函数类型与解析式 气敏电阻 与 成反比例函数，设 ，代入点 ，得 ，因此解析式为 。 (2) 判断是否达标 当 时，，因此该小轿车的尾气含量超标，未达到标准。 (3) 阻值的变化 维修前 ，维修后 ，，因此阻值升高了 。 23.(1) 求反比例函数的解析式 ，因此 ，反比例函数为 。 (2) 求的值 ，，，因此 。 (3) 求 Q 点坐标 存在， 的坐标为 ，满足条件。 24.(1) 求 k 的值 交点横坐标为 4，代入一次函数得 ，因此交点为 ，代入反比例函数得 。 (2) 判断能否为等腰三角形 能， 点坐标为 ，此时 为等腰直角三角形。 (3) 求 m 的取值范围 ，且 ，解得 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版九年级数学上册 第1章反比例函数拓展提优卷 一、选择题（共10小题，每题3分，合计30分） 1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m³) 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于 120kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应（ ） A. 不小于 B. 不小于 C. 不大于 D. 不大于 2、已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3、正方形 ABCD 的顶点 A (2,0)、D (0,4)，反比例函数经过点 C，则 k 的值为（ ） A.24 B.18 C.20 D.12 4、在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） 5、对于反比例拓展函数，下列说法错误的是（ ） A. 图像与坐标轴各有 1 个交点 B. 在第一象限内 y 随 x 的增大而减小 C. 对于图像上任意一点 (x, y)，为定值 D. 图像关于点 (2,2) 对称 6、反比例函数，当时，函数 y 的最大值和最小值之差为 4，则 k 的值为（ ） A.-6 B.6 C.-3 D.3 7、两个反比例函数：和：在第一象限内的图象如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 8、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（　　） A．a＝2.5 B．a＝3 C．a＝2 D．a＝3.5 9、双曲线上有一动点 A，连接 OA，以 O 为顶点、OA 为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为 ( ) A. B. C.1 D. 10、在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与原点重合，顶点 A，C 分别在 x、y 轴上，反比例函数的图象与正方形的两边 AB、BC 分别交于点 M，N，ND⊥x 轴，垂足为 D，连接 OM，ON，MN。下列结论：①；②；③四边形 DAMN 与面积相等；④若，，则点 C 的坐标为，正确的有（ ） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 二、填空题（共6小题，每题3分，合计18分） 11、反比例函数的图象经过矩形 OABC 的边 AB 的中点 D，O 为原点，则矩形 OABC 的面积为 . 12、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A,B，两点，其横坐标分别为2和6，则不等式的解集是 ． 13、如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝ ． 14、如图，过点O作直线与双曲线交于A，B两点，过点B作轴于点C，作轴于点D，在轴、轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且，设图中矩形的面积为S1，的面积为S2，则S1，S2的数量关系是 ．    15、一次函数与反比例函数交于 A、B 两点，点 P 是一次函数上的动点，过 P 作 x 轴的平行线交双曲线于 D，若的面积存在最大值，则最大值为 。 16、在△AOB 为等腰直角三角形，斜边 OB 在 x 轴上，一次函数经过点 A，交 y 轴于 C，双曲线的图象也经过 A 点，若点 P 是 x 轴上的动点，在反比例函数的图象上是否存在点 Q，使得是以 AQ 为斜边的等腰直角三角形，则 Q 的坐标为 。 三、解答题（共8小题，合计72分） 17、（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，,（2，b）． (1)求k的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)直线AB与y轴的交点为C，若P为x轴上的一点，当的面积为3时，求点P的坐标． 18、（8分）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 19、（8分）如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=(x>0)图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC的面积为16． (1)求A点的坐标及反比例函数的解析式； (2)点P(m，163)是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P点的直线l与y轴正半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由； 20、（8分）如图，已知一次函数的图象和反比例函数的图象交于 A (1,4) 和 B (4,1) 两点。 (1) 求一次函数和反比例函数的表达式； (2) 请直接写出不等式的解集； (3) 连结 AB，设点 P 为 x 轴上一点，使得为等腰三角形，求点 P 的坐标。 21、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点 A，作轴于点 D，OD=2，AD=3。 (1) 求直线的函数解析式； (2) 设点 P 是 y 轴上的点，若的面积等于 4，求点 P 的坐标； (3) 设 E 点是 x 轴上的点，且为等腰三角形，直接写出点 E 的坐标。 22、（10分）某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R（）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量（）变化的关系图象如图2所示，（）为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻R（）与尾气中一氧化碳的含量（）之间成________函数，它的函数解析式为________； (2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准； (3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？ 23、（10分）如图，在△AOB 为等腰直角三角形，斜边 OB 在 x 轴上，一次函数经过点 A，交 y 轴于 C，双曲线的图象也经过 A 点。 (1) 求反比例函数的解析式； (2) 过 O 点作于 D 点，求的值； (3) 若点 P 是 x 轴上的动点，在反比例函数的图象上是否存在点 Q，使得是以 AQ 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由。 24、（12分）如图，一次函数与反比例函数的图象交点的横坐标是 4，点 P（m，n）在第一象限内，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交一次函数图像于点 M，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交反比例函数的图象于点 N。 (1) 求 k 的值； (2) 当，时，能否为等腰三角形，若能出 P 点坐标，若不能，请说明理由； (3) 若，且，结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $