15.3.2 等边三角形（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦等边三角形核心知识点，构建“概念-性质-判定-应用”学习支架，先明确其作为特殊等腰三角形的从属关系，再梳理内角60°、三线合一、三条对称轴等性质，接着阐述定义法、三角相等、等腰+60°角三种判定方法，最后延伸含30°角直角三角形性质，形成完整知识脉络。 资料以分层设计为特色，知识点后设“即学即练”，题型分角度计算、线段长度、判定证明等，典例结合折叠、旋转等图形变换，培养几何直观与推理能力。课中助力教师系统授课，课后通过基础通关、素养提升等分层练习，帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 课标要点 1.理解等边三角形概念，理清它和等腰三角形的从属关系，识别等边三角形各部分特征。 2.掌握等边三角形边角、对称轴相关性质，能利用性质进行简单角度与线段计算。 3.熟记等边三角形三种判定方法，能选择合适方法完成等边三角形的推理证明。 4.掌握含30°角直角三角形的性质，会运用定理解决线段长度相关计算问题。 学习重难点 重点： 1.等边三角形的性质，掌握内角均为60°，理解它的三条对称轴与三线合一特点。 2.等边三角形的三种判定方法，能结合已知条件判定一个三角形是否为等边三角形。 3.理解并掌握含30°角的直角三角形定理，会利用定理求解直角三角形线段。 难点： 1.灵活选用判定条件证明等边三角形，区分普通等腰三角形和等边三角形的判定差异。 2、分清30°直角三角形中边的对应关系，正确使用定理，避免错用线段倍数关系。 知识点一 等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。 特殊关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，但等腰三角形不一定是等边三角形。 拓展：等腰三角形底角只能是锐角，不可为直角或钝角，顶角可以是直角、钝角或锐角。三角形角度计算公式：，。 知识点二 等边三角形的性质 1.等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的全部性质，同时具备独有特性。 2.等边三角形的三个内角相等，且每一个内角都等于60°。 3.等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴，每个角的平分线、底边上的高线、底边上的中线所在直线，均为它的对称轴，满足“三线合一”性质。 即学即练 1．在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 2．如图，为等边三角形，点在的延长线上，，．求证：． 知识点三 等边三角形的判定 1.定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 2.角判定法：三个角都相等的三角形是等边三角形。 3.等腰三角形进阶判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（无需区分顶角、底角）。 即学即练 3．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 4．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 知识点四 含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 定理证明： 延长较短直角边BC到点D，使CD=BC，连接AD。可得AC垂直平分BD，因此AB=AD。 由，可证△ABD为等边三角形，即BD=AB。 又因BD=2BC，故，定理得证。 即学即练 5．数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为______．    题型01 利用等边三角形的性质求角度 解题贴士 解题核心依托等边三角形内角均为60°的核心性质，结合三角形内角和、外角性质进行角度推导。 题目若存在边角、平行、垂直等条件，可搭配三线合一性质转化等角，快速算出未知角度，解题无需复杂计算。 典｜例｜精｜析 【例1】如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，是等边三角形，D是边上任意一点（与点B、C不重合），绕点A顺时针旋转后与重合．连接，则________度；设，则的度数为________度（用含有m的代数式表示）． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【变式1-3】如图，已知等边三角形，延长至点，延长至点，使，连接，．求证：． 题型02 利用等边三角形的性质求线段长度 典｜例｜精｜析 【例3】如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【例4】如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【变式2-3】如图，在等边中，，与交于点P，，垂足为Q． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 题型03 等边三角形的判定 解题贴士 优先根据题干条件选择判定方法，三边相等、三角相等可直接判定，有一个60°角的等腰三角形也可判定。 解题优先观察已知条件，有边相等找角、有角相等证边，灵活选用判定定理，避免判定条件混用。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【例6】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，，． (1)若“表”，，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，在四边形中，，过点作交于点，．求证：是等边三角形． 【变式3-2】如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)若，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式3-3】如图，已知：中的垂直平分线分别交边，于点、，，垂足为点，，延长与的垂直平分线交于点，连接． 求证：是等边三角形． 证明：， （ ）， ，又， ， 垂直平分， （ ）， （ ）， （ ）， ， ， 是等边三角形（ ）． 题型04 等边三角形的判定与性质 典｜例｜精｜析 【例7】如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【例8】如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图， 是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． (1)求的大小． (2)求证：是等边三角形． 【变式4-2】在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【变式4-3】如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 题型05 含30°角的直角三角形的性质简单应用 解题贴士 牢记核心定理：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可直接用于线段长度计算。 解题需精准对应边角关系，找准30°角对应的直角边，杜绝边的对应错误，快速完成基础运算。 典｜例｜精｜析 【例9】如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【例10】如图，在中，，，交的延长线于点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在中，于点，，则的长为__________． 【变式5-2】如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【变式5-3】如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 题型06 作垂线构造含30°角的直角三角形 典｜例｜精｜析 【例11】如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【例12】如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【变式6-2】如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B落在纸带的另一边沿上，测得，则直角三角板的斜边的长为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 题型07 多结论问题 典｜例｜精｜析 【例13】如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例14】如图，中，，，将折叠，使点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（     ） ①； ②垂直平分； ③是等边三角形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式7-2】如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③ 【变式7-3】如图，点P，Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 基础通关 一、单选题 1．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 2．为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 4．三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，，点关于直线的对称点为，连接．则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是等腰直角三角形，，以为边向右作等边三角形，连接，作，且，连接，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 8．在中，，是边上的高，且，则是________三角形． 9．如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 三、解答题 10．如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 11．如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 12．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 素养提升 1．如图，，，，延长交于F，若，则________． 2．在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为2，，则线段的长为________． 3．如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________． 4．如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 5．如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 6．如图，已知在中，，为外一点，，，求证：． 迁移创新 1．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 2．在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 3．如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______． 4．如图，在中，，动点，分别从，两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点，点的速度都是当点第一次到达点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)当，且为直角三角形时，求的值； (2)当为等边三角形时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章 轴对称 15.3.2等边三角形 课时目标 1.理解等边三角形概念，理清它和等腰三角形的从属关系，识别等边三角形各部分特 征。 课标要点 2掌握等边三角形边角、对称轴相关性质，能利用性质进行简单角度与线段计算。 3熟记等边三角形三种判定方法，能选择合适方法完成等边三角形的推理证明。 4.掌握含30°角直角三角形的性质，会运用定理解决线段长度相关计算问题。 重点： 1.等边三角形的性质，掌握内角均为60°，理解它的三条对称轴与三线合一特点。 2.等边三角形的三种判定方法，能结合已知条件判定一个三角形是否为等边三角形。 学习重难点 3.理解并掌握含30°角的直角三角形定理，会利用定理求解直角三角形线段。 难点： 1灵活选用判定条件证明等边三角形，区分普通等腰三角形和等边三角形的判定差异。 2、 分清30°直角三角形中边的对应关系，正确使用定理，避免错用线段倍数关系。 清主线 课时内容导图 1/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形（正三角形） 等边三角形概念 与等腰三角形关系：等边三角形是特殊等腰三角形 补充：等腰三角形底角只能是锐角，顶角可为钝角、直角 内角：三个内角都等于60° 等边三角形的性质 对称性：轴对称图形，共3条对称轴 每条边上都满足“三线合一” ①定义法：三边都相等的三角形是等边三角形 等边 等边三角形的判定 ②三角都相等的三角形是等边三角形 三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 定理：30°锐角所对直角边= 含30°角的直角三角形 斜边 证明思路：倍长直角边构造等边三角形推导线段关系 题型01利用等边三角形的性质求角度 题型02利用等边三角形的性质求线段长度 题型03等边三角形的判定 常见题型 题型04等边三角形的判定与性质 题型05含30°角的直角三角形的性质简单应用 题型06作垂线构造含30°角的直角三角形 题型07多结论问题 理新知 教材全盘梳理 《令知识点一 等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。 特殊关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质，但等腰三角形不一定是等边三 角形。 拓展：等腰三角形底角只能是锐角，不可为直角或钝角，项角可以是直角、钝角或锐角。三角形角度计算 公式：∠A=180-2∠B,∠B=∠C=180°-∠A 2 2/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇知识点二 等边三角形的性质 1.等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的全部性质，同时具备独有特性。 2.等边三角形的三个内角相等，且每一个内角都等于60°。 3.等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴，每个角的平分线、底边上的高线、底边上的中线所在直线， 均为它的对称轴，满足“三线合一”性质。 。即学即练 1.在等边△ABC中，若过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则∠BAD= 【答案】30 【详解】解：如图， D :△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°， .·AD⊥BC AD平分∠BAC, ∠BAD=1∠BAC=1x60°=300 2 2 2.如图，△ABC为等边三角形，点D在AC的延长线上，CEI‖AB,CE=AD,求证：△ABD≌aCBE A B 【答案】证明：：△ABC为等边三角形， .BA=BC,∠A=∠ABC=60° .CEI‖AB ∴.∠BCE=∠ABC=60° 3157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BCE=∠A .CE=AD :.△ABD≌aCBE(SAS) 【详解】略 《◇知识点三等边三角形的判定 1.定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 2.角判定法：三个角都相等的三角形是等边三角形。 3.等腰三角形进阶判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（无需区分顶角、底角）。 《食即学即练 3.下列关系图中，①处可以填的条件是 A 条件：AB=AS 条件：（①） 等腰 等边 三角形C 三角形 三角形 【答案】AB=BC或AC=BC或∠A=60°或LB=60°或∠C=60° 【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填AB=BC或AC=BC: 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，也可以填∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°. 4.己知AABC的三边a、b、c满足(a-b)+b-c=0,则A4BC的形状是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 【答案】C 【详解】解：(a-b)+b-c=0, .a-b=0,b-c=0, ∴.a=b,b=c,即a=b=c, :.△ABC是等边三角形 《◇知识点四含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30 B C D 定理证明： 延长较短直角边BC到点D,使CD=BC,连接AD。可得AC垂直平分BD,因此AB=AD。 由∠B=90°-30°=60°，可证△ABD为等边三角形，即BD=AB。 因BD-2BC,故BC=AB,定理得t 。 勿即学即练 5.数学活动课上，同学们将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠4DC=60°，点 E,F表示的刻度分别为2,6，则线段AF的长为一· D B 【答案】4 【详解】解：由图可知EF∥CD ∴∠ADC=∠AEF=60°， ,直角三角板中∠B=30°， .∠A=90°-30°=60°， ∴，△AEF是等边三角形， 点E,F表示的刻度分别为2,6， .EF=6-2=4, .AF =EF=4, 故答案为4. 5157 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通题型 解题能力构建 ◆题型01利用等边三角形的性质求角度 解题贴士 解题核心依托等边三角形内角均为60°的核心性质，结合三角形内角和、外角性质进行角度推导。 题目若存在边角、平行、垂直等条件，可搭配三线合一性质转化等角，快速算出未知角度，解题无需 复杂计算。 典1例精析 【例1】如图，现有一张三角形纸片ABC,其中∠A=25°，D为AC上一点，将纸片沿BD折叠，使点A 落在点A处，且折叠后得到的三角形ABC是等边三角形，则∠ABD的度数为() B A.25° B.30° C.35° D.40° 【答案】C 【详解】解：三角形A'BC是等边三角形， :A'B=BC、∠ABC=60°， 由折叠的性质得：AB=AB、∠ABD=∠ABD, :AB=BC, ∴.∠BCA=∠A=25°， ∴.∠ABC=180°-2∠A=180°-2×25°=130°， .∠AB=∠ABC-∠ABC=130°-60°=70°， ∠ABA'=∠ABD+∠A'BD=2∠ABD, :.2∠ABD=70°， 解得：∠ABD=35° 【例2】如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上任意一点（与点B、C不重合），△ADC绕点A顺时针 旋转后与△AEB重合，连接ED,则∠ADE= 度：设LBAD=m°，则∠EDB的度数为 度 (用含有m的代数式表示)· 6/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】 60 60-m 【详解】解：，△ABC是等边三角形， AB=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， :△ADC绕点A顺时针旋转后与△AEB重合， ,AD=AE,∠DAC=∠EAB ∴.∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°， ,△ADE是等边三角形， ∴∠ADE=60°： 在△ABD中，∠ABC=60°，∠BAD=m° :.∠ADB=180°-∠ABC-∠BAD=180°-60°-m°=(120-m)°， '∠EDB=∠ADB-∠ADE, :.∠EDB=(（120-m)°-60°=60-m° 变式巩1固 【变式1-l】如图，直线I∥m∥n,等边三角形ABC的顶点B,C分别在直线m,I上，直线I与BC的夹 角为35°，则∠1的度数为() m B 35 C A.15o B.20° C.25° D.35° 【答案】C 【详解】解：如下图，设直线m交AC于点D, 7157 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35入 C ,△ABC为等边三角形， ∠ABC=60°， 1∥m,∠BCE=35°， ∴.∠CBD=∠BCE=35°， ∴.∠ABD=∠ABC-∠CBD=25°， .'m/n .∠1=∠ABD=25° 【变式1-2】如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B 落在点B处，DB'、EB分别交边AC于点F、G,若∠ADF=8O°，则∠GEC的度数为 D 【答案】40°/40度 【详解】解：，△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=∠C=60°， :∠ADF=80, .∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-60°-80°=40°， .∠AFD=∠GFB'=40°， 由翻折可得∠B=∠B=60°， ,∠FGB=180°-∠B-∠GFB=180°-60°-40°=80° :.∠FGB'=∠EGC=80°， .∠CEG=180°-∠C-∠CGE=180°-60°-80°=40° 【变式1-3】如图，已知等边三角形ABC,延长BA至点D,延长AC至点E,使AD=CE,连接CD, BE.求证：∠ACD=∠CBE. 8/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 【答案】证明：：△ABC是等边三角形， .AC=BC,∠CAB=∠ACB=60° :∠CAD=180°-∠CAB=120°，∠BCE=180°-∠ACB=120°， ∴.∠CAD=∠BCE=120° 在△ACD和△CBE中， AD=CE ∠CAD=∠BCE AC=CB .△ACD≌aCBE(SAS) .∠ACD=∠CBE. 【详解】略 ◆题型02利用等边三角形的性质求线段长度 典1例1精析 【例3】如图，等边△ABC,BG=CF,AG与BF交于点D,AE⊥BF于点E,若AD=9,则DE的长为 () D E B 9 A.4 B.2 C.3 7-2 D. 【答案】B 【详解】解：，△ABC是等边三角形， AB=BC,∠ABC=∠C=60°， 9157 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABG和△BCF中， AB=BC ∠ABG=∠BCF BG=CF .△ABG≌aBCF(SAS). .∠BAG=∠CBF ,∠ADE是△ABD的一个外角， ∴.∠ADE=∠DBM+∠BAG=∠DBA+∠CBF=∠ABC=60°， ,AE⊥BF, .∠AED=90°， .∠EAD=90°-∠ADE=30° 在R△MBD中，E=号0- 2 【例4】如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D,P、O分别是AC、BC上的点，且PD∥AD, ∠PDQ=30°.CQ=0.5,求AB的长. A 【答案】AB=4 【详解】解：，AD⊥BC, ·∠ADC=90°， :PQ∥AD .∠POC=∠ADC=90° :在等边△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC, .∠CP2=30°，BD=CD,AB=BC, .PC=2C2=1. ,∠PDQ=30° .∠DPC=90°， .CD=2PC=2, 10/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=2CD=4, .'AB=BC=4. 变式巩1固 【变式2-1】已知等腰三角形的周长为40cm,以一腰为边作等边三角形，其周长为45cm,则等腰三角形 的底边长是() A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 【答案】B 【详解】解：，等边三角形周长为45cm,且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为45÷3=15cm,即等腰三角形的腰长为15cm, ,等腰三角形周长为40cm, ∴.等腰三角形的底边长为40-2×15=10cm, 又：15+15>10，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为l0cm。 【变式2-2】如图，等边三角形ABC中，D是AC延长线上的一点，点E在AB上，若AC=3,CD=1, DB=DE,则AE的长为 D A E 【答案】1 【详解】解：过D作DF⊥AB于F, 11/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 人 E DE =DB, ..EF=BF, ,△ABC是等边三角形， .∠A=60,AB=AC=3, ∠ADF=30°， .AD=2AF. ,AC=3,CD=1, .AD=4,AF=2, BF=EF=3-2=1, ∴.AE=AB-BF-EF=1. 【变式2-3】如图，在等边△ABC中，BD=CE,AD与BE交于点P,A⊥BE,垂足为O. P 9 B D (①)求∠AP的度数： (2)若PD=1,P0=3,求BE的长. 【答案】(1)60° (2)7 【分析】 【详解】(1)解：：△ABC是等边三角形， .∠C=∠ABC=60°，AB=BC, 12/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=CE, ·.△ABD≌△BCE(SAS), .∠BAD=∠CBE ∴.∠ABC=∠ABP+∠CBE=∠ABP+∠BAP=60° ·∠APQ是△ABP的外角， .∠APQ=∠ABP+∠BAP=60° (2)解：在Rt△APO中，∠APQ=60°，P2=3. .∠PAQ=30°， .AP=2PO=6 AD=AP+DP=6+1=7, ,△ABD≌ABCE, .'BE=AD=7 。题型03等边三角形的判定 解题贴士 优先根据题干条件选择判定方法，三边相等、三角相等可直接判定，有一个60°角的等腰三角形也可 判定。 解题优先观察已知条件，有边相等找角、有角相等证边，灵活选用判定定理，避免判定条件混用。 典例精标 【例5】如图，己知在△ABC中，∠B=2∠C,BC=2AB,AD是中线，求证：△ABD是等边三角形. B D 【答案】证明：，AD是中线， :BD=CD-BC,即BC=2BD 2 BC=2AB. ∴.AB=BD=CD 如图，在CB的延长线上截取BE=AB,连接AE, 13/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.--- B D :.BE=DC,∠E=∠BAE, :.BE+BD=DC+BD,∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E,即ED=BC, ,∠B=2∠C, LE=∠C, .'AE=AC, :.△AED≌aACB(SAS), .'AD=AB, .'AD=AB=BD. ∴，△ABD是等边三角形. 【详解】略 【例6】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏 不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或 时间.如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长(BC的长)，某一节气，光 线AM平分∠BAC,D为AC上一点，连接MD,BD,MD⊥AC. 土主《知)是最古老的计 时仪器。用太阳投影的长 B 短变化。米测定节气。 (1)若“表”AB=6,AC=10,求CM的长： (2)若AM=CM,判断△ABD的形状，并说明理由. 【答案】(I)CM=5 (2)解：△ABD是等边三角形，理由如下： ,AM平分∠BAC, ∴.∠BAM=∠CAM, AM=CM, ∴∠C=∠CAM, 14/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAM=∠CAM=∠C, .∠BAM+∠CAM+∠C=90° .∠BAM=∠CAM=∠C=30°， .∠BAD=60°， 由(1)知：AB=AD, ∴.△ABD是等边三角形. 【分析】 【详解】(I)解：MB⊥AB,AM平分∠BAC,MD⊥AC, :BM DM: AM=AM 在R△ABM和R△ADM中，1 BM=DM· ∴.Rt△ABM≌Rt△ADM(HL) .AB=AD=6. :在Rt△ABC中，AB=6,AC=10, .BC=AC2-AB2 =8, .DC=AC-AD=10-6=4,DM=BM=BC-CM=8-CM. 在RtADCM中，根据勾股定理得：DC2+DM2=CM2, .42+(8-CM2=CM2, .CM=5; (2)略 变式巩固 【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,过点C作CE∥DA交AB于点E,∠ECB=60°.求证： △BCE是等边三角形. D 【答案】证明：CE∥DA, 15/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠BEC」 又∠A=∠B, ∴.∠B=∠BEC ..CE=CB, :∠ECB=60°， ∴△BCE是等边三角形， 【详解】略 【变式3-2】如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，BD=CE. E (I)求证：△ABD≌△ACE: (2)若∠BAC=120°，且AD⊥AC,试判断△ADE的形状，并说明理由. 【答案】(1)证明：，AB=AC, ∠B=∠C, ,在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠B=∠C BD=CE :.△ABD≌△ACE(SAS) (②)解：△ADE是等边三角形，理由如下： :AD⊥AC. ∴.∠DAC=90° ∠BAC=120°， ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°， :△ABD≌AACE, .AD=AE,∠EAC=∠BAD=30°， .∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-30°=60°， ∴.△ADE是等边三角形. 【分析】 16/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 【变式3-3】如图，己知：△ABC中BC的垂直平分线分别交边AC,BC于点D、E,BF⊥AC,垂足为 点F,∠ACB=30°，延长BF与BC的垂直平分线交于点G,连接CG. 求证：△BGC是等边三角形. 证明：BF⊥AC, .∠BFC=90°(_)， ~∠BFC+∠ACB+∠FBC=180°，又∠ACB=30°， ∴.∠FBC=60°， EG垂直平分BC, =-（_), ∴∠_=∠GBC=60°(_)， :∠GBC+∠BGC+LGCB=180°()， ∴.∠BGC=60° .∠FBC=∠BGC=∠BCG, ∴△BGC是等边三角形(_）· 夕 D 【答案】垂直定义：BG;CG:线段垂直平分线上的点到线段两点的距离相等；GCB:等边对等角：三 角形内角和定理：三个内角相等的三角形是等边三角形 【详解】略 ◆题型04等边三角形的判定与性质 典1例1精1析 【例7】如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，连接CD,过点C作CE⊥BC,过点A作EF∥CD, CE、EF交于点E,连接DF、BE,BE交CD于点G. 17/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E G B (I)求∠DCE的大小： (②)求证：△CEG是等边三角形. 【答案】(1)60° (2)证明：：△ABC是等边三角形，D为AB中点， .CD⊥AB· ∠BCD=∠ACD=∠ACB 2 ，∠ACB=∠ABC=60,AB=BC: ∠BCD=∠ACD=30°， CE⊥BC, ∴.∠BCE=90°， ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°，∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30°： :EF∥CD,∠ACD=30°， ∴.∠CAE=∠ACD=30°=∠ACE, .AE=CE, 在△BAE和△BCE中， BA=BC BE=BE AE=CE :ABAE≌ABCE(SSS), ∠CBE=∠ABE, ∠ABC=60°， ∠CBE=30°， ∠BCD=30°， ∴.∠BGC=180°-∠CBE-∠BCD=120°， :∠CGE+∠BGC=180°， .∠CGE=60°， ∠DCE=60°， 18/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aCEG中，∠CGE=∠DCE=60°， ∴.EG=CE, :∠DCE=60°， :∴△CEG是等边三角形. 【分析】 【详解】(I)解：“△ABC是等边三角形，D为AB中点， ∠BCD= .CD⊥AB 2∠ACB，∠ACB=60°： ∴.∠BCD=30°， CE⊥BC, ∴.∠BCE=90°， .∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°： (2)略 【例8】如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC上的一点，∠BAD=32°，在AD的右侧作△ADE,使 得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE,DE交AC于点O,若CE‖AB,则∠DOC的度数为 B D 【答案】88°/88度 【详解】解：，∠DAE=∠BAC, :.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC. ∴.∠DAB=∠EAC, 在△DAB和△EAC中， AB=AC ∠DAB=∠EAC, AD=AE .△DAB≌△EAC(SAS). ,∠B=∠ACE :CE‖AB, 19/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACE=∠BAC, ∴.∠B=∠BAC, ..BC=AC, .AB=AC=BC, △ABC是等边三角形， .∠DAE=∠BAC=60°， AE=AD, ∴.△ADE是等边三角形， .∠ADE=60° :∠BAD=32°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=28°， ∴∠DOC=∠DAC+∠ADE=88° 变式巩1固 【变式4-l】如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方 向平移得到的.己知EF过点A,BE交CD于点G. D G (1)求∠DCE的大小. (2)求证：△CEG是等边三角形. 【答案】(1)60° (2) 证明：，△ABC是等边三角形，D是AB的中点， .AB=BC,CD⊥AB,即∠CDA=90°， CE⊥BC,垂足为C, .∠BCE=90°，即△CBE为直角三角形： :EF是由CD沿CE方向平移得到的，且EF过点A, .EF∥CD,CD⊥AB, 20/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF⊥AB即∠BAE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBE中， BA=BC BE=BE :.△ABE≌aCBE(HL) :∠ABE=∠CBE=)∠ABC=30°： ∴.在Rt△CBE中∠BEC=90°-∠CBE=90°-30°=60° ,aCEG中有∠CGE+∠GCE+∠CEG=180°， 由(1)得∠DCE=60°， ∴.∠CGE=180°-60°-60°=60° ∴.aCEG是等边三角形 【分析】 【详解】(I)解：：△ABC是等边三角形，D是AB的中点， ∴.CD为△ABC的高线、中线和角平分线， 即LCA=∠0B=90,AD=BD'∠4CD=∠cD-∠AcB=30, CE⊥BC,垂足为C, ∴.∠BCE=90°. 又：∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30° :.∠DCE=∠ACD+∠ACE=30°+30°=60°. (2)略， 【变式4-2】在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°， 其两边分别交边AB,AC于点E,F. (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)求证：AE+AF=AD, 21/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)证明：AB=AC,AD⊥BC, 1 六∠BMD=ZD1C=2BAC, .∠BAC=120°. ÷∠BAD=∠DAC= 2×120°=600 .·AD=AB」 ∴△ABD是等边三角形： (2)证明：：△ABD是等边三角形， .∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD=AD :∠EDF=60°， ∴.∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,即∠BDE=∠ADF. 在△BDE与△ADF中， [∠DBE=∠DAF=60° BD=AD ∠BDE=∠ADF .ABDE≌AADF(ASA). .∴.AF=BE .AE+AF=AE+BE=AB=AD 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 【变式4-3】如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 分别为E,F E B D (I)求证：△ABC是等腰三角形： (2)若∠EDB=30°，EB=3,求AE的长. 【答案】(I)证明：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, 22/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE =DF, D是BC的中点， .BD=CD. DE⊥AB,DF⊥AC」 .∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BDE和RtACDF中 BD=CD DE=DF .Rta BDE≌RtACDF(HL)」 ∠B=∠C, :AB=AC, △ABC是等腰三角形 (2)9 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：DE⊥AB, .∠DEB=90°， 在Rt△BDE中，∠EDB=30°，EB=3, ∴.BD=2EB=6」 ∠B=90°-∠EDB=60°， 由(1)得AB=AC,又∠B=60°， △ABC是等边三角形， .AB=BC, :D为BC中点， .BC=2BD=12,即AB=12, AB=AE+EB, 23/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AB-EB=12-3=9 ◆题型05含30°角的直角三角形的性质简单应用 解题贴士 牢记核心定理：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可直接用于线段长度计算。 解题需精准对应边角关系，找准30°角对应的直角边，杜绝边的对应错误，快速完成基础运算。 典1例1精1析 【例9】如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,若ED=3cm,则EC 的长为() B A.6cm B.5cm C.3cm D.8cm 【答案】A 【详解】，DE是BC的垂直平分线， .EC=EB,∠EDB=90 :∠B=30°，ED=3cm, ∴.EB=2ED=6cm, 即EC=6cm 【例10】如图，在△ABC中，∠BAC=15°，AC=BC=10,AD⊥BC交BC的延长线于点D,则AD的长 为() B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【详解】解：，AC=BC=10. .∠BAC=∠B=15 .∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°， :AD⊥BC, 24/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0c= 变式巩1固 【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠B=30°，AD=1,则AB的长为 A D B 【答案】4 【详解】解：∠ACB=90°，∠B=30°， ∴.∠A=90°-∠B=60°. CD L AB, .∠ADC=90°， .∠ACD=90°-∠A=30° AD=1, ∴AC=2AD=2 在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30° .AB=2AC=4. 【变式5-2】如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD,AB=BD,∠ABD=120°，BC=4m, 则AB的长度为 m 【答案】8 【详解】解：：AB=BD,∠ABD=120°， 六A=∠D=180°-，ABD-30°， 2 BC⊥AD, ∴.在Rt△ABC中，AB=2BC, 25/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC=4m, ..AB=8m. 【变式5-3】如图，D,E分别是等边三角形ABC的两边BC,AC上的点，且AE=CD,AD、BE相交 于点P,B0⊥AD于O,P9=4,PE=1. D (1)求证：∠BPQ=60° (2)求AD的长， 【答案】(I)证明：：△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAE=∠C=60°， 在△ABE和△CAD中， AE=CD ∠BAE=∠C AB=AC ..ABESACAD(SAS). .∠ABE=∠CAD .∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=6O°， (2)9 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：在RtABP2中，∠BPQ=60°， .∠PBQ=30° P9=4 .BP=8, PE=1, .BE=BP+PE=9. 由(I)得△ABE≌ACAD 26/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD=BE=9 ◆题型06作垂线构造含30°角的直角三角形 典1例1精析 【例11】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=4,BC=12,∠B=30°，则△ABD的面积是 () 30° 下 D C A.4 B.6 C.12 D.24 【答案】B 【详解】解：过A作AE⊥BC于E, 30° B E D :AB=4,∠B=30°， 4B=48=2, ,AD是BC边上的中线，BC=12, :.BD=IBC-6, 2 .S.mD 2*2x6=6. 【例12】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D,E,若 CE=8,则线段AE的长度等于一· E D B 【答案】16 【详解】解：如图，连接BE, 27/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B :∠ACB=90°，∠A=30°， .∠ABC=60 :DE是线段AB的垂直平分线， .AE=BE, .∠A=∠ABE=30° .∠CBE=∠ABC-∠ABE=30° 在RIACBE中，CE=8,∠CBE=30°， .BE=2CE=16, .AE=BE=16. 变式巩固 【变式6-1】如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，过点A作AP⊥CD于点P,连接BP,则 BP的长为() A.3 B.2 C.√7 D.4 【答案】C 【详解】解：作PE L BC交BC的延长线于点E, D :菱形ABCD ∴.AD=BC=CD=AB=2,∠D=∠ABC=60°，AB∥CD, 28/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PCE=∠ABC=60°， :AP⊥CD .∠DAP=90°-∠D=30°， PD号40=1， PC=2-PD=1, ,PE⊥BC. .∠CPE=90°-∠PCE=30°， .CE-IPC-1.PE=PC2-CE 2 2 2 ·BE=BC+CE=S 2 在 中，由勾股定理得BP=VBE+PE2 3 =万 RtaPBE 2 2 【变式6-2】如图，将一个有45°角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为2cm的纸带边沿上，另一个项 点B落在纸带的另一边沿上，测得∠DBC=30°，则直角三角板的斜边AB的长为() A.2cm B.2√2cm C.4cm D.4/2cm 【答案】D 【详解】解：过C作CH⊥BD于H,则∠CHB=90°， 由题意，CH=2cm,∠CBH=30°， ∴.BC=2CH=4cm, :∠A=45°，∠ACB=90°. .'AC=BC=4cm, .AB=AC2+BC2=2BC=4v2cm 29/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式6-3】如图，己知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在边OB上，PM=PW.若 MN=2,则OM的长是 y 060° M N B 【答案】3 【详解】解：如图，过P作PD⊥OB于点D, A P 060° MDN B ∠PD0=90° ∠POD=60°. .∠OPD=90°-∠POD=30°， ∴在RLAPOD中，0D-=0n-X8=4, ·PM=PN,PD⊥MN,MN=2, :MD=ND=MN=1. .OM=OD-MD=4-1=3」 >题型07多结论问题 典例1精」析 【例13】如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,将线段AE沿AC翻折，得到线段AM,连接EM交 AC于点N,连接DM、CM,以下说法：①AD=AE=AM,②∠ECA=∠MCA,③CM=BD,④ AD=DM中，正确的说法个数是() 30/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠B=∠ACE=∠BAC=60°， BD=CE ∴△ABD≌△ACE(SAS)」 .AD=AE,∠BAD=∠CAE. ·线段AE沿AC翻折，得到线段AM, :AE=AM,CE=CM,∠ACE=∠ACM,故②正确， AD=AE=AM,CM=BD,故①，③正确， :∠CAE=∠CAM,∠BAD=∠CAE, ∴.∠BAD=∠CAM, ∴.∠DAM=∠BAC=60°」 △ADM是等边三角形， .AD=DM,故④正确， 综上所述，正确的个数有4个. 【例14】如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC折叠，使点B落在点A处，DE为折痕，在 下列结论中，正确的结论有() ①△ADE≌△BDE: ②AE垂直平分CD: 31/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③△ADC是等边三角形： ④AB<4CE」 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：①，△ADE由△BDE翻折而成， .△ADE≌△BDE,故结论①正确： ③，'△ADE≌ABDE, .AD=BD,AE=BE, ∠B=30°，∠ACB=90°， ÷∠BMAC=60,AC=3AB=BD=AD 2 ∴，△ADC是等边三角形，故结论③正确： ②：△ADE≌ABDE,∠B=30°， .∠DAE=30°， .∠CAE=60°-30°=30°， ∴.AE是∠BAC的平分线. AC=AD ∴.AE⊥CD .AE垂直平分CD,故结论②正确： ④，∠CAE=30°， ∴.AE=2CE, .BE=AE=2CE, AB<AE+BE, ∴.AB<4CE,故结论④正确 变式巩1固 【变式7-1】如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、AC的对称点分别是点P、点B,连接B分别与 AB,AC交于点M,点N,连接PM,PN,下列结论：①若∠BAC=30°，则△PA是等边三角形：② APMN的周长等于线胶PR的长：®pHY分∠MrN:④)∠MPN+∠B4C=90,正确的有() 32/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B M A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】D 【分析】 【详解】解：：点P关于AB、AC的对称点分别是点？、点B, .∠PAB=∠AB,∠PAC=∠PAC,AP=AB,AP=AR. ∴AR=AP,∠PAP=2∠BAC=60° △2A是等边三角形，故①正确， 由轴对称可知，PM=PM,PN=PN, ∴CAP=PM+MN+PN=PM+MN+PN=PB,故②正确. 由轴对称可知，△RAM≌aPAM(SAS),△，AN≌aPAN(SAS), ∴.∠APM=∠APM,∠APN=∠APN. .AP=AP, .∠APM=∠APN. .∴.∠APM=∠APN :PA平分∠MPN,故③正确. :∠APM=∠APM,∠APN=∠APN, ∴.∠MPN=∠APM+∠APN=∠APN+∠APM .∠PAP+∠APM+∠APN=180°. .2∠BAC+∠MPN=180° :∠MPN+∠BAC=90°，故④正确. 【变式7-2】如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三 角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论：① 33/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=BE:②P2∥AE:③AP=B0:④DE=DP:⑤∠A0B=60°.其中正确的有() B E A.①②④⑤ B.①②③④⑤ C.①②③⑤ D.①②③ 【答案】C 【详解】解：①，△ABC和△CDE是等边三角形， .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， .∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE ·.△ACD≌△BCE(SAS), .AD=BE,∠ADC=∠BEC,故O正确： ②∠DCP=180°-2×60°=60°=∠EC9, 在△CDP和△CEQ中， ∠ADC=∠BEC ∠DCP=∠ECQ CD=CE .aCDP≌aCEO(ASA), ..CP=CO.DP=EO. .aCP2是等边三角形， .∠CP9=LCQP=60° .∠QPC=∠BCA, .P卫∥AE,故②正确： ③与②的过程同理得：△ACP≌△BCQ」 :AP=B0,故③正确： 34/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④：∠D2E=∠DCE+∠CE0=60°+∠CE0>60°，∠CDE=60°， ∴.∠DQE>∠CDE .'DE>OE. .DP=OE, ∴.DE>DP,故④错误： ⑤：∠ACB=∠DCE=60°， .∠BCD=60°， :aDCE是等边三角形，∠EDC=60°=∠BCD, .BC∥DE, ∴.∠CBE=∠DEO=∠DAC, ∴.∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤. 【变式7-3】如图，点P,O分别是边长为4cm的等边△ABC边AB,BC上的动点，点P从顶点A,点O从 顶点B同时出发，且它们的速度都为lcms,下面结论：①AQ=CP;②∠CM0的度数不变，始终等于 4 60:③当第3秒或第2秒时，△PBQ为直角三角形：④当第2秒时，CM=2M0·其中结论正确的有( B A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】D 【详解】解：设点P、O运动时间为t秒，根据题意得：AP=BO=1, :△ABC为等边三角形， :.∠AB0=∠CAP=60°，AB=AC, 在△ABQ和△CAP中， BO=AP ∠ABQ=∠CAP AB=CA 35/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABO≌aCAP(SAS), .A0=CP,故①正确： △ABQ≌aCAP .∠BAQ=∠ACP 在△APM中，∠PMA=∠ACM+∠CAM=∠PAM+∠CAM=∠CAP=60°， ·.∠CM0=∠PMA=60°，故②正确： 若∠P2B=90°，由∠PB0=60°，得到∠BA0=30°， .PB=2B0,即4-t=2t, 解得：【=3 4 若∠QPB=90°，由∠PB0=60°，得到∠BA0=30°， 、.BQ=2PB,即t=2(4-), 8 解得：1=3 8 综上，当第3秒或第3秒时，APBQ为直角三角形，故③错误： 当t=2时，则AP=2×1=2(cm),B0=2×1=2(cm), AB=BC=4cm, .卫、O是AB、BC边的中点，即CPA犯是△ABC的中线， ,△ABC为等边三角形， :∠PCB=)∠ACB=30°，401BC: :.CM=2M0.故④正确， ∴.正确的有①②④. 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 一、单选题 1.下列结论中，正确的是() 36/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.等腰三角形是等边三角形 B.等边三角形是等腰三角形 C.等腰三角形一定是锐角三角形 D.等腰三角形一定是钝角三角形 【答案】B 【详解】解：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形. ,等边三角形是特殊的等腰三角形， B正确，A错误 :等腰三角形的顶角可以为锐角、直角或钝角， ∴等腰三角形不一定是锐角三角形，也不一定是钝角三角形，C、D错误」 2.为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化.内容为： 点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为D,E,F.己 知AB长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索AE+CD+BF的长度为() D A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【详解】解：如图，特殊情形：点P是等边△ABC三边的垂直平分线AD,BE,CF的交点， D 2 AB :△ABC是等边三角形，且AB=4, .AC=BC=AB=4、 .'AE=CD=BF=2. .AE+CD+BF=2+2+2=6 3.将等边三角形按如图所示的方式放置，已知m∥n,∠1=40°，则∠2=() 37/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.15 B.20° C.30° D.40° 【答案】B 【详解】解：如图，设等边三角形为△ABC,过点A作AD∥m, m D :mlln, ∴.ADllmlln, ∴.∠I=∠BAD,∠2=∠CAD 在等边三角形ABC中，∠BAC=60° ∠I+∠2=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°， .∠2=60°-∠1=20° 4.三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质.如图，△ABC是三棱镜的截面， 一束平行光射向三棱镜，光线DE交AB于点E,光线FG交AC于点G.己知△ABC是等边三角形， ∠DEA=29°，则∠FGA的度数为() D E G A.39° B.31° C.29° D.41° 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作AM∥DE,则AM‖FG 38/57 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E M G .·∠DEA=29° .∠EAM=29° :△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°， ∴.∠FGA=∠MAG=∠BAC-∠BAM=60°-29°=31° 5.如图，在等边△ABC外作射线AE,使得AB和AB在直线AC的两侧，∠CAE=a(0°<a<I80),点C 关于直线AE的对称点为D,连接BD,CD.则∠BDC的度数是() E A.60°-a B.45°-C C.30°+a D.30° 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图，连接AD, A :点C关于直线AE的对称点为D, ∴，AE垂直平分CD .AE⊥CD,AC=AD, ∠DAE=∠CAE=a. .∠ADC=90°-∠DAE=90°-a, 39/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABC是等边三角形， ∠BAC=60°，AB=AC=AD .∠BAD=∠BAC+∠CAE+∠DAE=2a+60°， :∠ABD=∠ADB=180°-2a-60°)=60°-a, .∠BDC=∠ADC-∠ADB=(90°-a)-(60°-a)=30° 故选：D 6.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，以AC为边向右作等边三角形ADC,连接BD,作 ∠BCE=I35°，且EC=BD,连接AE,延长EC交AD于点F,则∠AFC的度数为() E B F D A.60° B.70° C.75° D.80° 【答案】C 【分析】 【详解】解：因为∠BCE=135°， 所以∠BCF=180°-∠BCE=45°， 因为∠ACB=90° 所以∠ACF=∠ACB-∠BCF=45°， 因为以AC为边向右作等边三角形ADC, 所以∠CAD=60° 所以∠AFC=180°-∠ACF-∠CAD=75°， 故选：C 二、填空题 7.如图，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，若AB=2,则CD的长为」 40/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】1 【详解】解：：△ABC是等边三角形，AD是△ABC的角平分线，AB=2, ∴BC=AB=2,BD=CD, ∴CD=5BC=1 8.在△ABC中，AB=AC,BD是AC边上的高，且∠ABD=30°，则△ABC是 三角形. 【答案】等边或钝角等腰 【详解】解：分两种情况讨论： (1)如图，当∠BAC为锐角时，BD在△ABC内部， D 是 边上的高， C·BDAC .∠ADB=90° 又∠ABD=30°， .∠BAC=180°-90°-30°=60°， AB=AC, ∴△ABC是等边三角形. (2)如图，当∠BAC为钝角时，BD在△ABC外部，D在CA的延长线上， D 是 边上的高， B C..BD AC .∠D=90°， 又：∠ABD=30° ∴.∠BAD=180°-90°-30°=60°， 41/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=180°-60°=120°， AB=AC. ∴△ABC是钝角等腰三角形， 综上，△ABC是等边或钝角等腰三角形. 9.如图，在等边△ABC纸片中，将△BDE沿DE折叠，点B落在点F处，则∠AEF+∠CDF= B D 【答案】120° 【详解】解：，△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°， 由折叠得∠F=∠B=60°、 :∠F+∠FED+∠FDE=180° .∠FED+∠FDE=180°-∠F=120°， 又∠A+∠AED+∠EDC+∠C=360°，即∠A+∠AEF+∠FED+∠EDF+∠FDC+∠C=360°， .60°+∠AEF+120°+∠CDF+60°=360°， :.∠AEF+∠CDF=360°-60°-120°-60°=120°， 故答案为：120°」 三、解答题 10.如图，在等边△ABC中，AB=6cm,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上，且∠E=30°，求CE 的长 【答案】3cm 【详解】解：△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC,AB=6cm, 42/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ACB-0 AC=4B=6em CD-C-3em, 2 .∠DCE=120° 又∠E=30°， .∠CDE=30°=∠E, ..CD=CE, ∴.CE=3cm 【点睛】重点掌握三线合一， 11.如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，DE是AB的垂直平分线，F为BC边上一点，且 AF=AE」 E (I)求证：△ACF≌aADE； (2)连接EB、EF,求证：EB=EF, 【答案】(I) 证明：，∠C=90°，∠ABC=30°， .4c=1 :DE是AB的垂直平分线， 六∠ADE=90°， AD-TAB-AC, .AD=AC. 在RI△ACF和RIAADE中， 「AF=AE AC=AD ·.△ACF≌aADE(HL): (2) 证明：：∠C=90°，∠ABC=30°， 43/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAB=60°， :△ACF≌△ADE, .∠CAF=∠DAE, .∠CAF+∠FAB=∠DAE+∠FAB」 即∠CAB=∠FAE=60°， 又，AE=AF, ,△AEF是等边三角形， .AE=EF, ,DE是AB的垂直平分线， .'AE=EB, ∴.EB=EF. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 I2.如图，BD是△ABC的高，点D是AC的中点，过点D作AB的垂线交AB于点E,交BC的延长线于 点F,∠F=30 (I)求证：△ABC是等边三角形： (2)若AE=1,求AB的长 【答案】()证明：：BD⊥AC,点D是AC的中点， :AB=BC, EF⊥AB, .∠ABC+∠F=90°， ∠F=30°， ∠ABC=60°， :∴△ABC是等边三角形： (2)AB=4 44/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ABC是等边三角形， ∴.∠A=60°，AB=AC, EF⊥AB, .∠ADE=90°-∠A=30°， AE=1, .AD=2AE=2, :点D是AC的中点， ∴.AB=AC=2AD=4. ©素养提升 1.如图，AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°，延长DE交AB于F,若EF=V3,则DF= 【答案】3V3 【详解】解：，AB=AC,∠A=60°， ∴.△ABC是等边三角形， 又，AE=EC, .∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°， :∠ACB=60°，EC=CD, .∠CED=∠CDE=30°， .∠AEF=30° .∠FEB=60°， .∠BFE=90°， EF=3. .BE=2N3, :∠DBE=∠CDE=30°， 45/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.ED=BE=2V3, ∴DF=ED+EF=3V3 2.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC,若△ABC的边长为2， AE=4,则线段CD的长为 【答案】 2或6 【详解】解：当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时， 过E作EF⊥BD,垂足为F点，则∠EFB=9O°， ED=EC, F为CD的中点，即CF=DF=}CD, 2 :△ABC为等边三角形， .∠ABC=60°，AB=BC=AC=2, ∴.∠BEF=30°， BE=AB+AE=2+4=6, :B=B=3 .CF=FB-BC=3-2=1. 则CD=2CF=2: D B B 图1 图2 当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时， 过E作EF⊥BD,垂足为F点，则∠EFC=90°， ED=EC. :r为CD的中点，即CF=DF=CD, 46/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠EBF=60°， .∠BEF=30°， BE=AE-AB=4-2=2, :FB=IBE=1, 2 .CF=BC+FB=2+1=3, 则CD=2CF=6, 综上，CD的值为2或6 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠ABC=∠BCD=∠AOB=60°，∠ADC=90°， AB=3,则BC的长为 B 【答案】9 【详解】解：如图，延长BA和CD交于点E, E C·∠ABC=∠BCD=60° ∴∠E=60° ∴△EBC是等边三角形， .EB=BC=EC, 设∠OBC=x,则∠ABO=∠ABC-∠OBC=60°-x, :.∠BA0=180°-∠AB0-∠AOB=180°-(60°-x)-60°=60°+x, .∠4CB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-(60°+x)=60°-x, 47/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABO=∠ACB,即∠DBE=∠ACB, 在△DBE和△ACB中， ∠BED=∠CBA EB=BC ∠DBE=∠ACB :.ADBE≌AACB(ASA), ∴DE=AB=3, 设EB=BC=EC=a,则AE=a-3, ∠ADC=90°， .∠ADE=90°， ∴.∠EAD=30°， 在RAas中，E-号 2a-3), a-3到=3，解得a=9 .BC=9 4.如图，∠MON=30°，点A、A、A…在射线ON上，点B、B2、B…在射线OM上，△4BA、 △A4B4、△4，B,4“均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为4，第2个等边三角形的边长 记为a,以此类推，若0A=1,则a226= B3一M B2 By o< AA A3 A4 【答案】2202 【详解】解：如图， 8 是等边三角形， 2③X013, A24 A3 A4 △AB42 48/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=A,B,∠3=∠4=∠12=60°， ∴.∠2=120°. ∠MON=30°. .∠1=180°-120°-30°=30°， 又：∠3=60° ∴.∠15=180°-60°-30°=90°， :∠MON=∠1=30° ∴0A=AB=1, ∴.4B=1, △A,B2A,、△A,B,A是等边三角形， .∠11=∠10=60°，∠13=60°， :∠4=∠12=60°， AB∥A,B2∥A,B,B4∥B24, ∠1=∠6=∠7=30°，∠15=∠8=90°， ∴a2=2a=2=2,a=4a=4=2, a4=8a,=8=2,4=16a=16=24, 以此类推：a026=22025. 5.如图，在正△ABC中，点M、N分别在AB、BC边上，且AM=BN,，AN与CM相交于H,若 ∠ACM=20°，则∠ANC= 一，连接BH,若BH⊥CM,且AH=4,则HC的长为 M H B 【答案】 80°/80度 8 【详解】解：①如图， 49/57 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 75 M 6 ,△ABC是正三角形， ∴.AB=AC,∠ABC=∠BAC=60° AM BN :.△AMC≌△BNA(SAS) .∠2=∠1=20° :.∠ANC=∠2+∠ABC=∠1+∠ABC=20°+60°=80°： ②在线段AW上取点F,使得AF=CH,连接FB, :AB=AC,I=∠2， ∴.ACAH≌△ABF(SAS) 设∠1=∠2=a,则∠5=∠BAC-∠2=60°-a ∴.∠NHC=∠1+∠5=60° 'BH⊥CM ∴.∠3=90°-∠6=30° .∠7=∠3-∠2=30°-a :'△CAH≌AABF .∠ABF=∠5=60°-a,AH=FB=4, ∴.∠4=∠ABF-∠7=30° ∴.∠3=∠4 .'FH=FB=4. ∴.HC=AF=AH+HF=8 6如图，已知在aABC中，B=4C:D为AC外-点，∠ABD=60,∠MDB=90-BDC,求证： AB=BD+DC 50/57 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B 【答案】证明：作点B关于AD的对称点E,连接AE、DE, A D B 则BD=ED°AB=AB=AC:∠ABD=∠ABD=60,∠ADE=∠ADB=90-∠BDC, :∠ADE+∠ADB+∠BDC=90°-)∠BDC+90-)∠BDC+∠BDC=180°， 2 2 .C、D、E在同一条直线上， ,△ACE是等边三角形， ∴.AC=CE=CD+DE, .AB=CD+BD 【详解】略 迁移创新 1.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则 ∠PAB=() B A.60° B.70° C.75° D.80° 【答案】B 51/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：在BC下方取一点D,使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC, D AD=AB=AC∠DAC=∠BAC-∠BAD=20° ∠ACD=∠ADC=8O°， ,AB=AC,∠BAC=80°， .∠ABC=∠ACB=50°， ∴.∠CDB=140°， ∠PBC=10°∠PCB=30°， .∠BPC=180°-10°-30°=140°， ∴.∠CDB=∠CPB, .'∠DCB=30°=∠PCB,BC=CB, :.ABDC≌aBPC(AAS). :.PC=DC, :∠PCD=60°， ∴△DPC是等边三角形， ..PD=PC. AD=AC,AP=AP. :△APD≌aAPC(SSS), .∠DAP=∠CAP=∠DAC=1O°， ∴.∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70° 2.在等边△ABC中，点E是△ABC的中线AD上一点，∠AEB=I0S°，点P是△ABC边上一点，若 BE=EP,则∠BEP的度数为 【答案】 90°或120°或150° 【详解】解：△ABC是等边三角形，AD是中线，点E是AD上一点， ∴.AD⊥BC,AD平分∠BAC,BE=CE,∠BAC=∠ABC=∠ACB=6O°， 52/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAE=30°， 在△ABE中，∠AEB=105°， ∴.∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-30°-105°=45°， .∠EBD=∠ABC-∠ABE=60°-45°=15°， ∴.∠EBD=LECD=15°， 分三种情况讨论： ①当点P在AB边上时， B BE=EP, .∠EPB=∠ABE=45°， .∠BEP=180°-2×45°=90°： 当点P在BC边上时，此时点P和点C重合， :∠ECB=∠EBD=15°， .∠BEP=180°-2×15°=150°： 当点P在AC边上时， B D .BE=EP,BE=CE. .EP=CE. ∴.∠EPC=∠ACE=∠ACB-∠ECB=45°， .∠CEP=180°-2×45°=90°， 又：∠BEC=150°， ∴.∠BEP=360°-∠BEC-∠CEP=360°-150°-90°=120°， 53157 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上：∠BEP的度数为90°或120°或150 3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点D为线段AB的中点，点M是直线BC上的一个动点， 连接MD,以MD为一边在MD的右侧作等边三角形MND,连接BN.当△BND为直角三角形时， ∠DMB= A D B 【答案】30°或105° 【详解】解：等腰直角三角形ABC中，∠A=90°， 、.∠ABC=∠ACB=45°， :△MND是等边三角形， .∠MDN=∠MND=∠DMN=6O°，MD=MN, ,aBND为直角三角形，且∠BND<∠MND=60°， ,分下面两种情况讨论： ①如图，当∠BDN=90°时， .∠BDM=∠BDN-∠MDN=90°-60°=30° :.∠DMB=180°-∠DBM-∠BDM=180°-45°-30°=105°： ②如图，当∠DBN=90°时，过点M分别作BN、BD的垂线，垂足为E、F, E 54/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠NBC=∠DBN-∠ABC=90°-45°=45°， ∠MBE=∠NBC=45°， .∠MBF=∠ABC=45°， ∴.∠MBE=∠MBF, :ME⊥BN,MF⊥BD, ∴，ME=MF,∠MEN=∠MFD=90°， .:△MBE和△MBF都是等腰直角三角形， .∠EMB=∠FMB=45°， 在Rt△MEN和RtAMFD中， MN=MD ME=MF .RtAMENRtAMFD(HL). ·.∠EMN=∠FMD ∴.∠EMN-∠DMN=∠FMD-∠DMN,即∠EMD=∠FMN, 设∠EMD=∠FMN=a, .'∠EMD+∠FMN+∠DMN=∠EMB+∠FMB .a+a+60°=45°+45°， 解得a=15°， ∴.∠EMD=15o ∴.∠DMB=∠EMB-∠EMD=45°-15°=30°： 综上所述，∠DMB的度数为30°或105° 4.如图，在△ABC中，AB=BC=AC=20cm,动点P,Q分别从A,B两点同时出发，沿三角形的边匀 速运动.已知点P,点Q的速度都是2cms当点P第一次到达B点时，P,Q两点同时停止运动.设点P 的运动时间为($) ←-0 B (1)当0<t<10,且△AP吧为直角三角形时，求1的值； 55/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值. 1020 【答案】（①），的值为3或3 (2)t的值为5或20 【分析】 【详解】(1)解：：AB=BC=AC=20cm, ∴.△ABC是等边三角形 .∠A=∠B=∠C=60°， 当0<t<I0时，点P在线段AC上（不含端点）， .AP=2t,AQ=20-2t 当∠AP0=90°时， .∠A=60° ∠A0P=90°-60°=30°， .AQ=2AP .20-21=21×2, 10 解得3： 当∠A0P=90°时，∠AP9=90°-60°=30°， ..AP=240 .2(20-21)=2t. 20 解得 3 1020 ∴当0<1<10，且△APg为直角三角形时，的值为3或3： (2)①当0<1<10时，即P在线段AC上（不含端点）， :∠A=60°，AP=2t,A9=20-2t, ∴当A0=AP时，△AP卫为等边三角形， ∴.21=20-21， 解得1=5， ②当10≤1≤20时，即P在线段BC上（含端点）， 56/57 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△APO为等边三角形， .∠QAP=60°， :2在线段AC上（含端点）且∠CAB=60°，∠QAP=60°， ∴点P与点B重合， 1=4C+BC-20+20=20. 2 2 综上所述，当△AP9为等边三角形时，1的值为5或20. 57/57