3.2 对数（讲义）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“对数”核心知识点，从对数概念（含底数、真数取值限制）出发，衔接常用对数与自然对数，通过指数式与对数式互化建立联系，进而系统梳理对数性质、运算性质及换底公式，构建递进式学习支架。 资料设计突出“即学即练”即时反馈，题型分类配典例与变式，强化概念辨析（如底数真数限制）和运算推理（如换底公式应用），培养数学思维与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题严谨性与能力。

第3章 幂、指数与对数 3.2 对数 课标要点 1.理解对数的概念，认识对数的底数、真数，掌握指数式与对数式之间的相互转化。 2.了解常用对数、自然对数，记住对数基本性质，会运用对数恒等式进行简单化简。 3.掌握对数的运算性质与换底公式，能利用公式完成对数的化简、计算与变形。 4.明确对数各公式成立的限制条件，规避常见错误，提升对数运算的逻辑严谨性。 学习重难点 重点： 1.对数的概念，熟练掌握指数式和对数式的互化，牢记对数的基础性质。 2.对数的运算性质，在真数大于 0 的前提下，正确进行对数的化简求值。 3.对数换底公式及其推论，会利用换底公式解决不同底数对数的运算问题。 难点： 1.理解对数概念中底数、真数的取值限制，解题时不忘真数大于 0 的隐含条件。 2.区分对数运算公式的适用形式，灵活运用换底公式完成复杂对数变形运算。 知识点一 对数的概念 一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作。其中叫做对数的底数，叫做真数。 特别提醒 补充说明：规定且的原因 ①若，取部分数值时对数不存在，例如无意义。 ②若，当，对数不存在；当，可取任意实数，对数不唯一。 ③若，当，对数不存在；当，可取任意实数，对数不唯一。 知识点二 常用对数与自然对数 ①常用对数：以为底的对数叫作常用对数，简记作。 ②自然对数：无理数，近似值；以为底的对数叫自然对数，简记作。 特别提醒 理解：是一种运算，是已知底数和幂，反过来求指数的运算，运算符号写在数字前面。 即学即练 1．有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 2．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点三 指数式与对数式的互化 当且时： 为底数，为指数/对数，为幂/真数。 即学即练 3．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 知识点四 对数的性质 ①负数和零没有对数，即真数。 ②对任意且： ；。 ③对数恒等式：。 知识点五 对数的运算性质 前提条件：且，， ① ② ③ ④ ⑤ 特别提醒 注意：所有运算性质，必须保证真数大于0，否则等式不成立。 即学即练 4．（     ） A． B． C． D． 5．______． 知识点六 对数换底公式 换底公式： 重要推论： （倒数关系） 即学即练 6．已知，，则________．（用，表示）． 题型01 对数的概念 解题贴士 解题要牢牢抓住对数定义中底数、真数的取值约束：底数且，真数。 求定义域、参数范围时，列出不等式组，排除使对数无意义的取值。理解对数是求指数的运算，区分这类专用对数符号，不要做乘法运算。 典｜例｜精｜析 【例1】有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】思辨解析，在题目后的（ ）内正确的填“正确”，错误的填“错误”． （1）是与N的乘积．( ) （2）可化为．( ) （3）对数运算的实质是求幂指数．( ) （4）在中，实数m的取值范围是．( ) 【变式1-2】在对数式中，实数的取值范围是__________． 【变式1-3】若代数式有意义，则实数的取值范围是___________. 题型02 指数式与对数式的互化 典｜例｜精｜析 【例3】将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【例4】已知a，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】若，则有（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则________. 【变式2-3】已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型03 对数运算性质的应用 解题贴士 使用运算性质前提：，只有真数乘除才可以拆分对数。 警惕常见错误：不能拆分；分清与。化简优先统一形式，合并同底对数，结果化为最简。 典｜例｜精｜析 【例5】已知，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D．5 【例6】求值： (1)； (2). 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】下列四个等式(其中，且)； （1）； （2）； （3）； （4）． 其中恒成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】计算：___________． 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型04 换底公式的应用 解题贴士 换底公式，优先换成常用对数或者自然对数进行计算。 灵活使用两个推论：倒数关系，幂次变形。注意底数、真数必须大于0，且底数不等于1。 典｜例｜精｜析 【例7】已知（）且，则实数的值为_______________. 【例8】计算. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现在大量十进制随机数据中以开头的数出现的概率为，并可用此概率检验某些经济数据. ，则的值为__________. 【变式4-2】设，且，已知． (1)若，求的值； (2)求的值． 【变式4-3】设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 题型05 简单对数方程的求解 典｜例｜精｜析 【例9】方程的解为（   ） A． B． C． D． 【例10】如果方程的两根是，求的值． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】关于的二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【变式5-3】（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 题型06 由已知对数求解或表示未知对数式 解题贴士 观察目标对数和已知条件的关系，借助换底公式、对数运算性质对目标式子拆、凑。 把待求对数改写为已知对数的加减、倍数组合，整体代入求值。注意式子变形每一步都要保证对数有意义，防止变形过程出现无意义表达式。 典｜例｜精｜析 【例11】已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 【例12】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知，则___________．（用和表示） 【变式6-2】已知，，则__________（用、表示） 【变式6-3】已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 基础通关 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则下列式子恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 4．的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 5．已知，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 7．已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 8． ________　. 9．已知，，则_____________． 10．若，则_________． 三、解答题 11．化简求值： (1)； (2). 12．（1）求的值； （2）已知，请用表示． 13．设.且，求证：. 素养提升 1．若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知正数，，满足，则下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 迁移创新 1．若，，均为正数，且，记，则（    ） A． B． C． D． 2．已知正整数，，，满足：，，．则______． 3．设正数，满足，，则不正确的是（　　） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数 3.2 对数 课标要点 1.理解对数的概念，认识对数的底数、真数，掌握指数式与对数式之间的相互转化。 2.了解常用对数、自然对数，记住对数基本性质，会运用对数恒等式进行简单化简。 3.掌握对数的运算性质与换底公式，能利用公式完成对数的化简、计算与变形。 4.明确对数各公式成立的限制条件，规避常见错误，提升对数运算的逻辑严谨性。 学习重难点 重点： 1.对数的概念，熟练掌握指数式和对数式的互化，牢记对数的基础性质。 2.对数的运算性质，在真数大于 0 的前提下，正确进行对数的化简求值。 3.对数换底公式及其推论，会利用换底公式解决不同底数对数的运算问题。 难点： 1.理解对数概念中底数、真数的取值限制，解题时不忘真数大于 0 的隐含条件。 2.区分对数运算公式的适用形式，灵活运用换底公式完成复杂对数变形运算。 知识点一 对数的概念 一般地，如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作。其中叫做对数的底数，叫做真数。 特别提醒 补充说明：规定且的原因 ①若，取部分数值时对数不存在，例如无意义。 ②若，当，对数不存在；当，可取任意实数，对数不唯一。 ③若，当，对数不存在；当，可取任意实数，对数不唯一。 知识点二 常用对数与自然对数 ①常用对数：以为底的对数叫作常用对数，简记作。 ②自然对数：无理数，近似值；以为底的对数叫自然对数，简记作。 特别提醒 理解：是一种运算，是已知底数和幂，反过来求指数的运算，运算符号写在数字前面。 即学即练 1．有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 2．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 知识点三 指数式与对数式的互化 当且时： 为底数，为指数/对数，为幂/真数。 即学即练 3．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为，所以. 知识点四 对数的性质 ①负数和零没有对数，即真数。 ②对任意且： ；。 ③对数恒等式：。 知识点五 对数的运算性质 前提条件：且，， ① ② ③ ④ ⑤ 特别提醒 注意：所有运算性质，必须保证真数大于0，否则等式不成立。 即学即练 4．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】，故C正确. 5．______． 【答案】/ 【详解】， 知识点六 对数换底公式 换底公式： 重要推论： （倒数关系） 即学即练 6．已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】详解】由，得， 则， 因为， 所以． 题型01 对数的概念 解题贴士 解题要牢牢抓住对数定义中底数、真数的取值约束：底数且，真数。 求定义域、参数范围时，列出不等式组，排除使对数无意义的取值。理解对数是求指数的运算，区分这类专用对数符号，不要做乘法运算。 典｜例｜精｜析 【例1】有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 【例2】对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】思辨解析，在题目后的（ ）内正确的填“正确”，错误的填“错误”． （1）是与N的乘积．( ) （2）可化为．( ) （3）对数运算的实质是求幂指数．( ) （4）在中，实数m的取值范围是．( ) 【答案】 错误 错误 正确 正确 【分析】详解】（1）根据对数的定义得不是与N的乘积．故（1）错误； （2）由对数的定义中，需底数大于0且底数不等于1，真数大于0，故（2）错误； （3）根据对数的定义知对数运算的实质是求幂指数．故（3）正确； （4）由解得，所以实数m的取值范围是．故（4）正确. 故答案为：错误；错误；正确；正确. 【变式1-2】在对数式中，实数的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】详解】解：由对数式可知： ,解之得：且 故答案为：且． 【变式1-3】若代数式有意义，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】详解】根据真数大于0得，解得， 故答案为：. 题型02 指数式与对数式的互化 典｜例｜精｜析 【例3】将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【例4】已知a，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】详解】根据指数式和对数式的互化公式可知， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】当时，由及对数定义得. 故选：A 【变式2-2】已知，则________. 【答案】 【分析】详解】由，可得，又且， 所以. 【变式2-3】已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】详解】， 所以. 故选：B 题型03 对数运算性质的应用 解题贴士 使用运算性质前提：，只有真数乘除才可以拆分对数。 警惕常见错误：不能拆分；分清与。化简优先统一形式，合并同底对数，结果化为最简。 典｜例｜精｜析 【例5】已知，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【分析】详解】由对数的运算性质，化为， 因为，所以，从而， 又，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【例6】求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】下列四个等式(其中，且)； （1）； （2）； （3）； （4）． 其中恒成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由对数运算法则可知，，故（1）不成立； ，故（2）不成立； ，故（3）恒成立； ，故（4）不成立． 【变式3-2】计算：___________． 【答案】 11 【详解】. 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】详解】（1）； （2）； （3） . 题型04 换底公式的应用 解题贴士 换底公式，优先换成常用对数或者自然对数进行计算。 灵活使用两个推论：倒数关系，幂次变形。注意底数、真数必须大于0，且底数不等于1。 典｜例｜精｜析 【例7】已知（）且，则实数的值为_______________. 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 【例8】计算. 【答案】 【分析】详解】原式 . 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现在大量十进制随机数据中以开头的数出现的概率为，并可用此概率检验某些经济数据. ，则的值为__________. 【答案】507 【分析】详解】， ， 所以，解得. 【变式4-2】设，且，已知． (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)18 【详解】（1）若，所以． （2）由，得． 所以． 【变式4-3】设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】详解】由换底公式可得，，， 原式化为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 题型05 简单对数方程的求解 典｜例｜精｜析 【例9】方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 若，则，上式成立； 若，则，则，得， 故方程的解为. 【例10】如果方程的两根是，求的值． 【答案】 【分析】详解】设，则得，即， 则或，即或，解得或. 依题意，或，故. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知关于的方程的两个实数根分别是、，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由题意，知，因为，所以. 又有两个实根、，所以，解得. 故选：D. 【变式5-2】关于的二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【答案】或 【分析】详解】因为关于的二次方程有两个相等的实数根， 则， 解得或， 所以或. 故答案为：或. 【变式5-3】（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 【答案】 【详解】由，得，即 化为，解得或. 又∴.∴， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 题型06 由已知对数求解或表示未知对数式 解题贴士 观察目标对数和已知条件的关系，借助换底公式、对数运算性质对目标式子拆、凑。 把待求对数改写为已知对数的加减、倍数组合，整体代入求值。注意式子变形每一步都要保证对数有意义，防止变形过程出现无意义表达式。 典｜例｜精｜析 【例11】已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】详解】（1）因为,所以. 所以; （2）. 【例12】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知，则___________．（用和表示） 【答案】 【分析】详解】因为，可得. 故答案为：. 【变式6-2】已知，，则__________（用、表示） 【答案】/ 【分析】详解】因为，则， 又因为，所以，. 故答案为：. 【变式6-3】已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 所以. 基础通关 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对数的运算性质： 同底对数加法法则：对任意正实数，有， 因此对原式合并得： . 对数的幂运算法则：对任意正实数和实数，有，由于， 因此： 与选项C一致，故答案为C. 2．已知，且，则下列式子恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A, ,所以选项A正确; 选项B, ,因为不确定,所以等式不恒成立, 选项B错误; 选项C, 当且仅当或,恒成立,根据题干条件无法得到或,所以选项C错误; 选项D,若,则,根据题干条件无法得到恒成立,所以选项D错误. 3．若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 【答案】A 【详解】由，得，则， 所以. 4．的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【答案】B 【详解】 . 5．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以，又， 所以. 6．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【详解】依题意，，， 所以，所以. 7．已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是都对已知等式两边同时取以6为底的对数，由此即可顺利得解. 二、填空题 8． ________　. 【答案】3 【详解】 9．已知，，则_____________． 【答案】 【详解】由，得，而， 所以. 10．若，则_________． 【答案】 【详解】，即， ，故得，所以， 解得. 三、解答题 11．化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） . （2） . 12．（1）求的值； （2）已知，请用表示． 【答案】（1）1；（2） 【分析】 【详解】（1）； （2） ， . 13．设.且，求证：. 【答案】设，因为，所以. 当时，有，此时成立； 当时，，，. 所以，，. 因为， 所以，所以. 综上可知，成立. 【详解】略 素养提升 1．若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设，根据对数换底公式，得， 已知，代入得： ， 即， 因式分解得： 解得或， 由，得： 若，则； 若，则（与上式对称，取分析即可）。 将代入，得： 化简右边：，因此： 因且，故 解得或（舍去） 则，故： 故选：B 2．已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由题意可知，即是方程的两个根， 则，可得， 所以. 故选：D 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以，则，可得（负值舍去）， 所以. 故选：C 4．满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】设，，，， ，， 结合选项，ABC不符合，D符合， 故选：D． 5．已知正数，，满足，则下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，，， 因为，故选项A正确． 因为，，所以，即，故选项B不正确． 因为，故选项C正确． 因为，故选项D正确． 故选：B. 迁移创新 1．若，，均为正数，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，，， 所以. 因为，所以， 即，而，所以； 又因为，所以. 故选：B. 2．已知正整数，，，满足：，，．则______． 【答案】179 【详解】由，，则，， 因为，为正整数，所以，必为整数， 设，，，为正整数， 又，则，即， 因为65的正整数分解为，且，所以有两种情况， ①，解得，此时无整数解，不合题意； ②，解得，即，所以， 则，，所以. 3．设正数，满足，，则不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：C 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $