第3章 幂、指数与对数单元题型大总结（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

第3章 幂、指数与对数 单元题型大总结 教学目标 1.借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养. 2.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养. 4.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养. 5.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 6．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点： ①理解n次方根及根式的概念、分数指数幂的含义，掌握根式的性质、根式与分数指数幂的互化 ②理解对数的概念及运算性质，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算． ③理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化． 教学难点： ①掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值． ②能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 知识点01 与的区别 ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练】化简： ． 【答案】 【分析】由根式的计算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 知识点02 分数指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【即学即练】已知均为正数，则 ． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化，即可求解. 【详解】． 故答案为： 知识点03 指数式与对数式的相互转化 当且， 【即学即练】已知，，则 . 【答案】 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 知识点04 对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【即学即练】求值： ． 【答案】/ 【分析】应用指数幂及对数的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 知识点05 对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 【即学即练】已知，，则 【答案】 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 题型01指数幂的运算 【典例1】 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 【变式1】计算： . 【答案】 【分析】由指数幂的运算性质即可求解； 【详解】原式. 故答案为： 【变式2】 . 【答案】0 【分析】运用指数幂运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：0. 【变式3】化简： . 【答案】 【分析】利用指数运算性质化简计算即可. 【详解】；； 原式 故答案为： 【变式4】计算 ． 【答案】 【分析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】 故答案为：. 题型02分数指数幂与根式的互化 【典例1】已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 【变式1】求值： . 【答案】/ 【分析】根据指数幂运算法则计算即可. 【详解】 故答案为： 【变式2】计算化简： （1）.＝ ； （2）.＝ . 【答案】 0.09 【分析】由分数指数幂定义计算即可得答案. 【详解】（1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. （2）＝ ＝ ＝ 故答案为：0.09； 【变式3】 . 【答案】19 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 . 故答案为：19 【变式4】化简： ． 【答案】 【分析】将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算. 【详解】. 故答案为：. 题型03 指数幂的化简求值 【典例1】已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 故答案为：4. 【变式1】 . 【答案】 【分析】利用有理数指数幂的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 【变式2】计算： . 【答案】/0.5 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 【变式3】已知实数，，化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂运算即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 【变式4】已知，化简 . 【答案】 【分析】利用分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 题型04指数式与对数式的相互转化 【典例1】已知，且，则xy的值为 ． 【答案】98 【分析】令，把对数式化为指数式，，利用解出，可得的值. 【详解】由对数的性质，得，令，则，. 因为，所以，即，解得. 所以，，从而. 故答案为：98 【变式1】若，则 . 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化以及指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】，，又， . 故答案为：. 【变式2】已知，，则 . 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 【变式3】已知，且，则 . 【答案】 【分析】将指数式化为对数式得，，然后利用换底公式和对数的运算律得出，即可计算出的值. 【详解】由题意得，，又由，得，即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数与对数的互化，同时也考查了换底公式与对数运算律的应用，考查计算能力，属于中等题. 【变式4】若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将对数化为指数，结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，则，， 所以． 故答案为：. 题型05 对数运算性质 【典例1】计算： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】 . 故答案为： 【变式1】 【答案】7 【分析】分别用指数幂运算法则、对数恒等式、对数运算法则算出、、的值，再代入原式得出结果. 【详解】第一步：根据指数幂的运算法则， 第二步：根据对数恒等式， 第三步：根据对数运算法则， 第四步：将上述计算结果代入原式可得： 故答案为：. 【变式2】计算 . 【答案】4 【分析】由对数的运算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：4. 【变式3】 ． 【答案】 【分析】利用对数运算性质求解． 【详解】 故答案为：． 【变式4】 . 【答案】 【分析】应用对数的运算性质化简求值即可. 【详解】 故答案为： 题型06 换底公式 【典例1】已知，则 ． 【答案】 【分析】利用对数的运算公式法则和换底公式计算. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 【变式1】已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据指对数互化及对数运算的性质得出，再根据换底公式及对数运算即可求解． 【详解】由已知得，， ， ． 故答案为：． 【变式2】已知实数，满足，则 . 【答案】1 【分析】先利用指对互化得到m，n，再利用换底公式和运算法则求解. 【详解】解：因为实数，满足， 所以，则， 所以， 故答案为：1 【变式3】① ； ② ． 【答案】 10 3 【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算. 【详解】①； ② . 故答案为：10；3. 【变式4】已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 1．计算 ． 【答案】24 【分析】利用指数幂与根式的化简、运算法则直接求解． 【详解】 故答案为：24. 2．若，则 ． 【答案】/ 【分析】先由立方差公式化简，再代入已知计算. 【详解】已知，则， 将所求式进行化简，， 则． 故答案为：. 3． ． 【答案】4 【分析】利用对数运算将目标式转化为关于的表达式，然后展开整理即可. 【详解】 . 故答案为：4 4．计算： . 【答案】 【分析】由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 5．求值： ． 【答案】 【分析】利用对数运算和指数运算法则计算即可 【详解】 . 故答案为： 6．方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的化简计算即可. 【详解】 ． 故答案为：. 7．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由对数运算、指数运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】先应用对数运算律对化简，再求解． 【详解】依题意，， ，所以． 故答案为：. 9．实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】借助指数与对数的关系，可令，， 则由可得，即可用表示出，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】令，，即，， 由，则，即， 则， 当且仅当，时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，从而得到，再用表示出. 10．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答. 【详解】由得：，又实数x，y满足， 则，当且仅当，即时取“=”， 由解得：， 所以当时，取最小值8. 故答案为：8 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 11．（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】． 故选：D. 12．若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 13．求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. （2）根据对数的运算法则，直接化简，即可求出结果. （3）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 14．计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）、（2）利用对数法则计算出答案即可； （3）利用指数式化为对数式、换底公式进行化简即可. 【详解】（1） . （2） . （3）由，得， 由，得， 所以 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 幂、指数与对数 单元题型大总结 教学目标 1.借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养. 2.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养. 4.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养. 5.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 6．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点： ①理解n次方根及根式的概念、分数指数幂的含义，掌握根式的性质、根式与分数指数幂的互化 ②理解对数的概念及运算性质，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算． ③理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化． 教学难点： ①掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值． ②能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 知识点01 与的区别 ①当为奇数时， （） ②当为偶数时， （） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练】化简： ． 知识点02 分数指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是 （，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定， （，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂 . 【即学即练】已知均为正数，则 ． 知识点03 指数式与对数式的相互转化 当且， 【即学即练】已知，，则 . 知识点04 对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 【即学即练】求值： ． 知识点05 对数的换底公式 换底公式： （且，，，且） 特别的： 【即学即练】已知，，则 题型01指数幂的运算 【典例1】 ． 【变式1】计算： . 【变式2】 . 【变式3】化简： . 【变式4】计算 题型02分数指数幂与根式的互化 【典例1】已知，则 ． 【变式1】求值： . 【变式2】计算化简： （1）.＝ ； （2）.＝ . 【变式3】 . 【变式4】化简： ． 题型03 指数幂的化简求值 【典例1】已知，则关于的表达式 ． 【变式1】 . 【变式2】计算： . 【变式3】已知实数，，化简： . 【变式4】已知，化简 . 题型04指数式与对数式的相互转化 【典例1】已知，且，则xy的值为 ． 【变式1】若，则 . 【变式2】已知，，则 . 【变式3】已知，且，则 . 【变式4】若，，则的值为 ． 题型05 对数运算性质 【典例1】计算： . 【变式1】 【变式2】计算 . 【变式3】 ． 【变式4】 . 题型06 换底公式 【典例1】已知，则 ． 【变式1】已知，，则 ． 【变式2】已知实数，满足，则 . 【变式3】① ； ② ． 【变式4】已知，，则 .（结果用表示） 1．计算 ． 2．若，则 ． 3． ． 4．计算： . 5．求值： ． 6．方程的解为 ． 7．已知，则的值为 ． 8．已知，则 ． 9．实数满足，则的最小值为 . 10．若实数x，y满足，且，则的最小值为 . 11．（   ） A．3 B．2 C． D． 12．若（，且），则（   ） A． B． C． D． 13．求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 14．计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $