第三章 勾股定理（单元自测卷·南京专用）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 南京专用八年级上册勾股定理单元卷，100分钟100分，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合机器人路径、赵爽弦图等情境，适配单元复习，全面检测勾股定理应用与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|直角三角形判定、中线性质|基础概念辨析，结合简单几何情境| |填空题|10/20|勾股数规律、网格角度计算|规律探究与文化渗透，如赵爽弦图| |解答题|9/64|实际应用（秋千长度）、综合探究（构图法）|跨情境应用与高阶思维，如动点问题推理|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第三章 勾股定理 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 2．直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(     ) A． B． C． D． 4．如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．观察以下勾股数，并寻找规律：（1）4，3，5；（2）6，8，10；（3）8，15，17；（4）10，24，26…根据规律，第（7）组勾股数是（   ） A．14，48，49 B．16，12，20 C．16，63，65 D．16，30，34 6．如图，，，且，，，观察规律，线段的长是（　　） A． B． C．6 D．32 7．如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 8．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 10．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______． 11．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 12．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 13．如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 14．已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 16．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），即在中，，顶角的正对记作，这时．如图，若在中，，，平分交于点，则的值是___________． 17．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 18．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量，，，． (1)护林员操控一架无人机从处沿直线飞行到处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 20．（5分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 21．（7分）按要求作图 (1)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找一点，使得的周长最小； ③的面积为________ (2)如图，画出一个面积为的正方形． 22．（5分）如图，在中，，，是的角平分线． (1)过点作，垂足为点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，在（1）的条件下，的长为 ． 23．（5分）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 24．（8分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 25．（10分）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 26．（10分）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：． (1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程． (2)请使用上述方法解决下列问题： ①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由； ②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证：． 27．（9分）如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为． (1)边上的高为______；边上的高为______． (2)当时，求的值； (3)若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第三章 勾股定理 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 【答案】C 【分析】通过比较每组线段中两较短线段的平方和与最长线段的平方是否相等，判断能否构成直角三角形. 【详解】解：，A、B、D均可以构成直角三角形. ，， ，C不可以构成直角三角形. 2．直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两条直角边，根据勾股定理算出斜边长度；再根据直角三角形斜边中线性质，得到中线长等于斜边的一半． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和． 由勾股定理得斜边：， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上中线长． 3．如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：由题意可知：垂直平分， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 在中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故橡皮筋被拉长了． 4．如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：点是的中点，， 垂直平分， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 5．观察以下勾股数，并寻找规律：（1）4，3，5；（2）6，8，10；（3）8，15，17；（4）10，24，26…根据规律，第（7）组勾股数是（   ） A．14，48，49 B．16，12，20 C．16，63，65 D．16，30，34 【答案】C 【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答． 【详解】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+1）， 第二个是：n（n+2）， 第三个数是：（n+1）2+1， 故可得第⑦组勾股数是16，63，65． 故选C． 6．如图，，，且，，，观察规律，线段的长是（　　） A． B． C．6 D．32 【答案】C 【分析】本题属于图形规律探索题，涉及勾股定理的知识．根据题意，利用勾股定理分别求出、、，找到规律，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴在中，有， ∵，，， ∴在中，有， ∵，，， ∴在中，有； ．．． 依次类推，可知， 即当时，有． 故选：C． 7．如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 8．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定②，根据勾股定理与等量代换可得③正确，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故②不正确， ③连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即，故③正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④不正确． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 【答案】12或 【分析】根据直角三角形的性质，分为13为斜边和13为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 10．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】连接，根据勾股定理可以得出是等腰直角三角形，利用平行线性质得到，从而可证，得到，利用求出结果即可． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 11．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 12．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 13．如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 【答案】15 【分析】设这棵树高米，即米，根据题意可得，米，米，从而可得米，再求出米，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这棵树高米，即米， 由题意得：，米，米， ∴米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴（米）， 在中，，即， 解得， 即米， 答：这棵树高米． 14．已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 【答案】10 【分析】延长到点E，使，连接，证明，利用全等的性质得到对应边的长度和关系，根据勾股定理的逆定理和勾股定理求解． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ， ， ∵是的中线， ， ∵在和中， ， ， ∴，， ， ， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 【答案】13 【分析】由题意可得，求出，结合勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴两式相加可得， ∴， ∴结合勾股定理可得，大正方形的面积为 ． 16．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），即在中，，顶角的正对记作，这时．如图，若在中，，，平分交于点，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据的定义，需构造一个以为顶角的等腰三角形，求出其底边与腰的比；利用等腰三角形三线合一性质求出长，通过在腰上截取线段构造等腰三角形，结合勾股定理与面积法求解． 【详解】解：，平分， ，， ， 设，， 则， 在中，， 在上截取，连接， 为等腰三角形，且顶角， ， 过点作于， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 17．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则， 由勾股定理得出，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 18．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接、，由直角三角形的性质可得，过点作于点，则，由勾股定理可得，再由垂线段最短即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵，是对角线的中点，， ∴，， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴由垂线段最短可得，当时，有最小值为． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量，，，． (1)护林员操控一架无人机从处沿直线飞行到处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：是直角三角形， 理由如下： 在中，，，， ，即， 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中已知条件，在中，由勾股定理直接求解即可； （2）根据已知条件及（1）中求出的，在中，由勾股定理的逆定理直接求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，，，则由勾股定理得， ∴无人机飞行路径的长为； （2）略 20．（5分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 【答案】 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 21．（7分）按要求作图 (1)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找一点，使得的周长最小； ③的面积为________ (2)如图，画出一个面积为的正方形． 【答案】(1)解：①如图，即为所求； ②如图，点即为所求； ③； (2)解：如图，正方形即为所求； 【分析】（1）①找点，描线，画出即可；②根据对称性得到，进而得到当三点共线时，的周长最小，连接交直线于点即可；③分隔法求出三角形的面积即可； （2）画一个边长为的正方形即可. 【详解】（1）解：①略； ②略； ③的面积； （2）略 22．（5分）如图，在中，，，是的角平分线． (1)过点作，垂足为点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，在（1）的条件下，的长为 ． 【答案】(1)解：如图，即为所求， (2) 【分析】（1）以点为圆心画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，超过这两点线段长度的一半为半径画弧，得到两个交点，连接这两个交点交于点即可； （2）根据等腰三角形的判定与性质可证明，根据勾股定理求出，证明，得出，，则，结合求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴. 23．（5分）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】元 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． 24．（8分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 25．（10分）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积； （2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积； （3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值． 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， 包围的大长方形长为、宽为，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （3）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， ∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作，交延长线于点O，得矩形， ，， ， ， ∴代数式的最小值为； （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度， ， ∴代数式的最小值为． 26．（10分）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：． (1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程． (2)请使用上述方法解决下列问题： ①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由； ②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证：． 【答案】(1)证明：平分， ， 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 为等腰三角形， ，， ． (2)①，理由如下： 如下图所示，在的延长线上截取，连接． 是等边三角形， ，， 在四边形中，， ，， ， 又， ． 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． ②证明：如下图所示，延长到点，使，连接， ，， ， ， ． ，，在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）根据提示，在上截取，利用“边角边”证明，将转化为，再利用角度关系证明为等腰三角形，即可证明． （2）①在的延长线上截取，构造全等三角形，利用等边三角形的性质证明为等边三角形，从而得到． ②同样在的延长线上截取，构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质证明为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）略． （2）①略． ②略． 27．（9分）如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为． (1)边上的高为______；边上的高为______． (2)当时，求的值； (3)若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) (3)或5或6或 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由等面积法求出即可； （2）当时，由（1）得,再由勾股定理得，则，即可求解； （3）分情况讨论：①当时，②当，点在上时，③当时，④当，点在上时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴边上的高为；边上的高为． （2）如图，当时， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． （3）解：分情况讨论： ①当时， 如图，过点作于点， 由（1）得：，， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． ②当，点在上时， ． ③当时， 点与点重合，则， ∴． ④当，点在上时， 如图，过点作于点， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴． 综上所述，所有满足条件的的值为或5或6或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第三章 勾股定理 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 2．直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(     ) A． B． C． D． 4．如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．观察以下勾股数，并寻找规律：（1）4，3，5；（2）6，8，10；（3）8，15，17；（4）10，24，26…根据规律，第（7）组勾股数是（   ） A．14，48，49 B．16，12，20 C．16，63，65 D．16，30，34 6．如图，，，且，，，观察规律，线段的长是（　　） A． B． C．6 D．32 7．如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 8．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 10．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______． 11．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 12．如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 13．如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 14．已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 16．定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），即在中，，顶角的正对记作，这时．如图，若在中，，，平分交于点，则的值是___________． 17．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 18．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量，，，． (1)护林员操控一架无人机从处沿直线飞行到处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 20．（5分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 21．（7分）按要求作图 (1)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找一点，使得的周长最小； ③的面积为________ (2)如图，画出一个面积为的正方形． 22．（5分）如图，在中，，，是的角平分线． (1)过点作，垂足为点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，在（1）的条件下，的长为 ． 23．（5分）某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 24．（8分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 25．（10分）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 26．（10分）截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在中，平分，”．求证：． (1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在上截取，连接，只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程． (2)请使用上述方法解决下列问题： ①如图③，是等边三角形，D是边下方一点，，连接．判断出线段，，之间的数量关系并说明理由； ②如图④，在中，，．D是边下方一点，．求证：． 27．（9分）如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为． (1)边上的高为______；边上的高为______． (2)当时，求的值； (3)若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第三章 勾股定理(参考答案) 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A C C C B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．12或 10．/45度 11．15 12． 13．15 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分） 【详解】（1）解：， ， 在中，，，则由勾股定理得， ∴无人机飞行路径的长为；................2分 （2）解：是直角三角形，................3分 理由如下： 在中，，，， ，即， 是直角三角形．................5分 20．（5分） 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴，................2分 在中，，，， ∵， ∴，................3分 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺．................5分 21．（7分） 【详解】(1)解：①如图，即为所求；................2分 ②如图，点即为所求；................3分 ③的面积；................5分 (2)解：如图，正方形即为所求； ................7分 22．（5分） 【详解】(1)解：如图，即为所求， ................2分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，................3分 ∵是的角平分线， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴.................5分 23．（5分） 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴，.................2分 ∵， ∴是直角三角形，且，.................3分 ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：，.................4分 ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元．.................5分 24．（8分） 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是；.................1分 (2)第个勾股数组为 ．.................2分 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即，.................4分 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，，.................5分 ∴，， 解得：(负值舍去)，，.................7分 ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为.................8分 25．（10分） 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积；.................2分 （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， .................4分 包围的大长方形长为、宽为，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积；.................5分 （3）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， ∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作，交延长线于点O，得矩形， ，， ， ， ∴代数式的最小值为；.................7分 （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度，.................8分 ， ∴代数式的最小值为．.................10分 26．（10分） 【详解】(1)证明：平分， ， 在和中， ， ，.................1分 ，． 又， ， ， ，.................2分 为等腰三角形， ，， ．.................3分 (2)①，理由如下：.................4分 如下图所示，在的延长线上截取，连接． 是等边三角形， ，， 在四边形中，， ，， ， 又， ．.................5分 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形，.................6分 ， ， ．.................7分 ②证明：如下图所示，延长到点，使，连接， ，， ， ， ． ，，在和中， ， ，.................8分 ，， ， 是等腰直角三角形，.................9分 ， ， ．.................10分 27．（9分） 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴，.................1分 ∵， ∴，.................2分 ∴边上的高为；边上的高为． （2）如图，当时， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴．.................4分 （3）解：分情况讨论： ①当时， 如图，过点作于点， 由（1）得：，， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴．.................5分 ②当，点在上时， ．.................6分 ③当时， 点与点重合，则， ∴．.................7分 ④当，点在上时， 如图，过点作于点， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴．.................9分 综上所述，所有满足条件的的值为或5或6或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $