第二十九章 圆全章高频重点题型突破（十一大高频+三大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“基础-提升”双模块架构系统覆盖圆的核心知识，通过高频题型与分层典例实现概念理解到综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|11题型（58题）|聚焦概念辨析、定理应用（垂径定理/圆周角等）及公式计算，典例含选择/填空/解答|从圆的基本概念生成→定理推导→实际应用，形成“概念-推理-运算”完整链条| |核心提升|3题型（16题）|突出动态几何（点与圆最值）、模型转化（隐圆）及空间路径（圆锥展开最短路径）|基于基础定理，拓展至动态问题与空间想象，体现“静态认知-动态分析-空间转化”思维进阶|

第二十九章 圆全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的基本概念辨析 题型2 点与圆的位置关系 题型3 过三点的圆（新增） 题型4 垂径定理实际应用 题型5 平行弦间距离 题型6 圆心角、弧、弦关系 题型7 圆周角定理 题型8 直径所对圆周角是直角 题型9 圆内接四边形 题型10 弧长与扇形面积 题型11 圆锥与弓形 核心提升·重难题型归纳 题型1 点与圆最值 题型2 最值与 "隐圆" 题型3 圆锥展开与最短路径 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 圆的基本概念辨析 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 2．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 4．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径所对的圆周角是直角 ◆题型2 点与圆的位置关系 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 6．（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 8．（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 9．（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 10．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） ◆题型3 过三点的圆（新增） 11．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 12．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 13．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 14．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 15．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 16．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，请用尺规作图法求作，使得圆心在边上，且，在上．（保留作图痕迹，不写作法） ◆题型4 垂径定理实际应用 17．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 18．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 19．（24-25九年级上·山西朔州·期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 20．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ ◆题型5平行弦间距离 21．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 22．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 23．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 24．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 25．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． ◆题型6圆心角、弧、弦关系 26．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 27．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，四边形是的内接四边形，，求证：（不允许用全等来证明） 28．（2026·河南洛阳·三模）如图，是的直径，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，连接，求证：． 29．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） ◆题型7圆周角定理 30．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 31．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 32．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 33．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． ◆题型8直径所对圆周角是直角 34．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 35．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 36．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 37．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． ◆题型9圆内接四边形 38．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 39．（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 40．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 41．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 42．（2026·江苏扬州·三模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 43．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 44．（2026·安徽阜阳·二模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为_______． 45．（2026·甘肃平凉·二模）如图，四边形内接于，连接、，，，则的度数为_________． ◆题型10弧长与扇形面积 46．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 47．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 48．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 49．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 50．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． ◆题型11圆锥与弓形 51．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 52．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 53．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 54．（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 55．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 56．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 57．（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 58．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    (1)判断直线与的位置关系．并说明理由； (2)若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． ◆题型1 点与圆最值 59．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 60．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 61．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 62．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为___________． 63．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，直线与圆 没有公共点，从点 向直线引垂线 ，垂足为 ，线段 交圆于点 ，若 ，圆 的半径为 ．点 为圆上一动点，且 于点 ，则 最大值为 ____ ． 64．（25-26九年级下·福建泉州·阶段检测）如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． ◆题型2 最值与 "隐圆" 65．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，，是内一点，，则长的最小值是______． 66．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 67．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是边长为6的正方形内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为___________． 68．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）已知正方形的边长为4，动点满足，将点绕点按逆时针方向旋转得到点，连接，则的最大值是______． ◆题型3 圆锥展开与最短路径 69．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 70．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 71．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 72．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是________________m． 73．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 74．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 一、单选题 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 6．（2026·安徽芜湖·三模）如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 二、填空题 7．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 8．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 9．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 10．（26-27九年级上·山东日照·开学考试）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 三、解答题 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 13．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在等腰中，，点D在边上． (1)如图1，D是靠近C点的三等分点，N是的中点，连接，，求腰长； (2)如图2，点E在的延长线上，连接交于H，点F在边上，其中，若点G是的中点且，探究与的数量关系并证明； (3)如图3，若，平面内有一动点，满足，平面内有一动点P，满足且，当最大时，直接写出的面积． 14．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的基本概念辨析 题型2 点与圆的位置关系 题型3 过三点的圆（新增） 题型4 垂径定理实际应用 题型5 平行弦间距离 题型6 圆心角、弧、弦关系 题型7 圆周角定理 题型8 直径所对圆周角是直角 题型9 圆内接四边形 题型10 弧长与扇形面积 题型11 圆锥与弓形 核心提升·重难题型归纳 题型1 点与圆最值 题型2 最值与 "隐圆" 题型3 圆锥展开与最短路径 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 圆的基本概念辨析 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 2．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 【答案】B 【详解】解：A选项：当三点共线时，不能确定一个圆，故A选项错误； B选项：等弧一定在同圆或等圆中，所以等弧所对的圆心角相等，故B选项正确； C选项：当被平分的弦是直径时，则平分弦的直径不一定垂直于这条弦，故C选项错误； D选项：在同圆或等圆中，同一条弦所对的弧有优弧和劣弧，这两段弧不一定相等，故D选项错误． 故选：B． 4．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径所对的圆周角是直角 【答案】D 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； D、直径所对的圆周角是直角，原说法正确，符合题意； 故选：D． ◆题型2 点与圆的位置关系 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 6．（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的直径为，若点到点的距离为，则点在________．（填“内”“外”或“上”） 【答案】外 【详解】解：的直径为， 的半径， 点到圆心的距离， ， 点在外． 8．（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【答案】7 【详解】已知的半径， 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数， 因此可得的取值范围为, 该范围内的整数为，共个． 9．（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 10．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． ◆题型3 过三点的圆（新增） 11．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 12．（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 13．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 14．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 15．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，的重心与外心的距离是__________． 【答案】 【详解】∵在中，， ∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，， ∴， ∴， 即的重心与外心的距离是． 16．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，请用尺规作图法求作，使得圆心在边上，且，在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】作的线段垂直平分线，交于点，再以点为圆心、长为半径画圆即可． ◆题型4 垂径定理实际应用 17．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 18．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 19．（24-25九年级上·山西朔州·期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【答案】 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，， 纸条上下边沿平行，且， ， 由垂径定理可知，为中点，为中点， ，， 由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度， ，即， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得， ， 水杯杯口的直径为． 20．（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． ◆题型5平行弦间距离 21．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 22．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 23．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 24．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 25．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． ◆题型6圆心角、弧、弦关系 26．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 27．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知：如图，四边形是的内接四边形，，求证：（不允许用全等来证明） 【答案】证明：连接， ， ， ， 28．（2026·河南洛阳·三模）如图，是的直径，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，连接，求证：． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 29．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦（非直径），以A为圆心，为半径画弧，交于点C，以B为圆心，为半径画弧，交于点D，C，D位于的两侧，连接． (1)求证：． (2)连接，若，，求的长．（结果保留） 【答案】(1)证明：连接， 由题可得， ∴，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，即半径为5， ∴． ◆题型7圆周角定理 30．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 31．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 32．（2026·山东淄博·三模）如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 33．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． ◆题型8直径所对圆周角是直角 34．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 35．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 37．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． ◆题型9圆内接四边形 38．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 39．（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 40．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 41．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】14 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 42．（2026·江苏扬州·三模）以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 43．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 44．（2026·安徽阜阳·二模）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 连接、， ∴， ∴的长为． 45．（2026·甘肃平凉·二模）如图，四边形内接于，连接、，，，则的度数为_________． 【答案】40 【详解】解：∵四边形内接于，，， ∴，， ∴， ∴. ◆题型10弧长与扇形面积 46．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 47．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 48．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 49．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 50．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【详解】解：，，， ， 的长为． ◆题型11圆锥与弓形 51．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 52．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， ∴ ． 53．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 54．（2026·新疆·中考真题）已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 55．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以圆锥的高为． 56．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】/ 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 57．（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 58．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    (1)判断直线与的位置关系．并说明理由； (2)若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 与相切，理由如下： 如图，连接、，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴与相切； （2）解：如图，作于点，    ∵圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型1 点与圆最值 59．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 60．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 61．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 62．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为1， ， ， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 63．（25-26九年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，直线与圆 没有公共点，从点 向直线引垂线 ，垂足为 ，线段 交圆于点 ，若 ，圆 的半径为 ．点 为圆上一动点，且 于点 ，则 最大值为 ____ ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 设， ∵在中，， ∴， 当在的左侧时， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，最大为：； 当在的右侧且不在直线上时， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， 令， 则， ∴当，即时，有最大值， ∴故当时，最大为，此时最大值为：； ∵ ∴当时，最大为，此时最大值为：． 故答案为： ． 64．（25-26九年级下·福建泉州·阶段检测）如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点，，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，作的中点，连接，连接， ∵点是的中点，为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点作， ∴当点，，三点共线时，即点和点重合时，的值最小， ∵点是的中点，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最小值为 ◆题型2 最值与 "隐圆" 65．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，，是内一点，，则长的最小值是______． 【答案】2 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 点在以为直径的上， 连接交于点，此时最小， 在中，，，， ， ， 线段长的最小值为． 66．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴在以为直径的的一段圆弧上运动， ∵，则的半径为 ∵为的中点， ∴ ∴当在上时，取得最小值为． 67．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是边长为6的正方形内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】解：连接，取的中点H， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， 则点F在以为直径的圆H上，连接、， 当G、H、F共线时，最大， 则，， 则的最大值为． 68．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）已知正方形的边长为4，动点满足，将点绕点按逆时针方向旋转得到点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【详解】解：∵动点满足， ∴点P在以点C为圆心，半径为3的上运动， 如下图所示，以C为圆心，以为半径画圆，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E． ∵正方形的边长为4，的半径为3， ． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q， ， ， ∴，即， ∴， ， ． ∵P是上任意一点， ∴点Q在上移动， ∴， ∴当点Q与点E重合时，取得最大值为， ． 故答案为：． ◆题型3 圆锥展开与最短路径 69．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 70．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 71．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是________． 【答案】 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 72．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是________________m． 【答案】 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 73．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 74．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 一、单选题 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①∵直径的两端点在圆上，是连接圆上两点的线段，∴直径是弦，①正确； ②∵圆的对称轴是直线，直径是线段，∴②错误； ③∵三角形的外心到各顶点的距离相等，∴到各边距离相等的结论不成立，③错误； ④∵当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴④错误； ⑤∵同圆中一条弦所对的圆周角有两类，两角互补，∴相等的弦所对的圆周角不一定相等，⑤错误； 综上，正确的语句共1个． 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 6．（2026·安徽芜湖·三模）如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 【答案】A 【详解】解：如图，过作交直线于，过作于， ∵，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰直角三角形，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴点、、在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 二、填空题 7．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 8．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 9．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 【答案】 【详解】 解：连结、，过点作于、交于、交于， 、 ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ． 10．（26-27九年级上·山东日照·开学考试）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 三、解答题 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 13．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在等腰中，，点D在边上． (1)如图1，D是靠近C点的三等分点，N是的中点，连接，，求腰长； (2)如图2，点E在的延长线上，连接交于H，点F在边上，其中，若点G是的中点且，探究与的数量关系并证明； (3)如图3，若，平面内有一动点，满足，平面内有一动点P，满足且，当最大时，直接写出的面积． 【详解】（1）解：∵， ， 是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， 设， ∵点D是三等分点， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， ，（舍去）， ∴； (2)，理由如下： 过D作，交于W，连接，，如图1所示： 则，，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：以为斜边作等腰直角三角形，如图2所示： ， ， ， ∵，， 以O为圆心，为半径作，则过点C和点， ∴， 作直径，连接，作点P关于的对称点，连接，，， ，，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 当、O、共线时，， 如图3，作于V， ， ， ， ． 14．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $