考点03 正多边形与圆6考点5题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“定义-公式-性质-应用”为逻辑主线，构建正多边形与圆的完整知识体系，通过五大题型提炼解题通法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点模块|6个核心考点|从基本关系到特殊图形公式，形成定义→性质→公式的递进链|中心、半径等概念为基础，勾股关系为计算核心，对称性深化图形认知| |题型模块|5类题型（含13典例+14变式）|角度计算用中心角/外角公式，边长互求构造直角三角形，阴影面积用“整体-局部”法，证明优先证等弧|题型从基础计算到综合证明，覆盖选择、填空、解答，适配中考梯度|

考点03 正多边形与圆 考点一：正多边形与圆的基本关系 1. 将一个圆的 等分，依次连接各等分点，可得到这个圆的内接正n边形，该圆为正多边形的外接圆。 2. 过圆的各等分点作圆的切线，相邻切线的交点构成圆的外切正n边形，该圆为正多边形的内切圆。 3. 任意正多边形有且只有一个外接圆和一个内切圆，两圆同心，圆心为正多边形的中心。 ✅ 判定关键：正多边形必须同时满足各边相等、各内角相等；圆内接多边形，若各弧相等，则该多边形为正多边形。 考点二：五大核心定义（必考） 设正 边形： 1. 中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 外接圆半径R：中心到正多边形顶点的距离； 3. 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆圆心角； 4. 边心距r：中心到正多边形任意一条边的距离，即内切圆半径； 5.边长a：正多边形的单条边长度。 考点三：全套标准计算公式 1. 正 边形中心角公式： 2. 正 边形单个外角公式： 重要结论：正多边形中心角 = 正多边形外角 3. 正 边形单个内角公式： 4. 万能直角三角形勾股公式（核心计算式）：（式中： 为外接圆半径， 为边心距， 为正多边形边长。） 5. 正多边形周长公式： 6. 正多边形通用面积公式：（式中： 为周长， 为边心距。） 考点四：正多边形对称性 1. 所有正多边形均为轴对称图形，对称轴数量 = 边数 ，所有对称轴均过图形中心； 2. 偶数边正多边形：既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心为图形中心； 3. 奇数边正多边形：仅为轴对称图形，不是中心对称图形。 考点五：三大特殊正多边形专属公式 （1）正六边形 中心角：，边长与外接圆半径关系： 边心距公式： （2）正方形 中心角：，边长公式： 边心距公式： （3）正三角形 中心角：，边长公式： 边心距公式： 考点六：正多边形作图 1. 通用画法：用量角器作中心角 ，等分圆周后依次连线； 2. 尺规可作正多边形：正三角形、正四边形、正六边形、正八边形、正十二边形。 题型一：角度计算题型（选择填空必考） 1. 已知边数求角度：直接套用（中心角/外角）、（内角）； 2. 已知内角求边数：先求外角 ，再求边数 ； 3. 圆内接正多边形圆周角：圆周角 对应中心角。 【典例1-1】（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 【典例1-2】（25-26九年级上·新疆和田·期末）正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正十边形的边数， ∴中心角度数为， 故选B． 【典例1-3】（2026·河南漯河·一模）如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 【典例1-4】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      【答案】 【详解】解：根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为， 故答案为：． 【变式1-2】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-4】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【答案】 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二：边长、半径、边心距互求（核心计算题型） 过正多边形中心作边长的垂线，构造直角三角形，三边分别为：斜边 、直角边 、直角边 。 固定公式：，已知任意两个量，可求第三个量。 【典例2-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 【典例2-2】（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 【典例2-3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，作， ∵正六边形的边长为4，， ∴． ∴正六边形的边心距是． 故选：D． 【变式2-1】（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，正六边形内接于，已知这个正六边形的边心距的长为3，则的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-3】（2025·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则的半径是__________． 【答案】 【详解】解：连接，， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是， 故答案为：． 【变式2-4】（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 【答案】 【详解】解：设公共弦，半径为，半径为， ∵是内接正方形的边，正方形中心角为， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ，即，解得， ∵是内接正六边形的边，正六边形中心角为， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 题型三：周长、面积计算题型 周长： 面积通用公式： 技巧：正六边形可分割为6个全等的等边三角形，可快速简化面积计算。 【典例3-1】（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 【典例3-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】解：连接、 多边形是正六边形， ，的半径是2 是等边三角形， 正六边形的周长是 故选B． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建福州·期末）中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵正六边形， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵在中，，，， ∴， ∴． ∵正六边形含有全等的个正三角形， ∴． 故选：C． 【变式3-2】（2026·安徽·模拟预测）南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【答案】 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D， ∵圆的半径， ∴， ∵正十二边形的中心角为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：， ∴． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，内切于正六边形，已知对角线，则正六边形与的周长差为_____．（结果保留） 【答案】 【详解】解：正六边形的对角线经过圆心， ∴是正六边形外接圆的直径， ∵， ∴外接圆半径， ∵正六边形的边长等于外接圆半径，即， ∴正六边形周长， ∵正六边形的内切圆半径等于边心距，对正六边形有， ∴内切圆周长， ∴周长差为． 故答案为：． 【变式3-4】（25-26九年级上·河北唐山·期末）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，正六边形的面积为， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四：正多边形与圆阴影综合题型（期末压轴） 1. 阴影面积核心公式： 2. 扇形圆心角直接取正多边形对应中心角 ； 3. 优先利用正六边形 的特殊性质简化运算。 【典例4-1】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，如图，连接，，过点O作于点H，    ∵六边形是正六边形， ∴， ，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴． 故选：D． 【典例4-2】（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：如下图所示， 设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中，，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ． 【典例4-3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； (2)解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【变式4-1】（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 【变式4-2】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【详解】(1)证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【详解】(1)证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 题型五：圆内接正多边形证明 1. 最简思路：证明圆内多边形各弧相等，等弧对等弦、等弧对等圆周角，可直接证得正多边形； 2. 常规思路：同时证明多边形各边相等、各内角相等（书写量大，不优先使用）。 【典例5-1】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【详解】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 【典例5-2】如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点． (1)求证：； (2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：． 【答案】(1)证明：四边形是矩形，且点是边的中点， 在和中， ， ∴ ； (2)证明：如图，连接，并延长交于点， 四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ， 是以点为中心的正六边形的一边， 由正六边形性质可得∶， ∵， 是等边三角形， 又 ， ， ． 【变式5-1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接． (1)如图1，若，，共线，求的值； (2)试探究的大小与的关系，并说明理由； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 【详解】（1）解：如图所示，连接，取的中点T，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴都是的直径， ∴点O为正方形对角线的交点， ∴， ∵，且，，共线， ∴，； 由旋转的性质可得， ∴； ∵T为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； （2）解：的大小与无关，，是个定值，理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由旋转的性质可得， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、F、D、G四点共圆， ∴， ∴的大小与无关，，是个定值； （3）解：如图3-1所示，当时，过点A作交于M， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，； ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当时， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 【答案】 [给出问题]证明：四边形是正方形， ， 是的中点， ； [深入思考]  ，理由如下， 过点作交于点，取圆心，连接，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，即 [拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上， ，， 点在上， ，， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去） ， 矩形的面积． 【变式5-3】（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若是圆内接正三角形的外接圆的上任一点，则，在上截取，连接，可证明是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到，再进一步证明_______，得到，可证得：． （2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若是圆内接正四边形的外接圆的上任一点，则 °，分别过点作于、于． （3）写出与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】解：（1）∵是正三角形；， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ∴，， ∵， 又∵； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（AAS） ∴， ∵，即， 故答案为：（1）等边，； （2）∵四边形是圆内接正四边形， ∴， ∴， 故答案为45； （3）∵、，， ∴ 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS） ∴， ∴， ∴，即． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 【答案】D 【详解】解：如图，六边形是正六边形，是正六边形的外接圆， ，， 是等边三角形， ， 该正六边形的周长为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图所示，已知正六边形外接圆的半径为，那么这个正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，过点O作于点C， 由题意得， ∵正六边形外接圆的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 4．（2026·河北邢台·二模）如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 【答案】C 【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整， 设正方形对角线交点为，连接， 对于A，由图形，正方形四个角都为，圆内接正方形的对角线为圆的直径， 点为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心， ，且，为等边三角形， 该圆的半径，故A选项正确，不符合题意； 对于B，，弦的长是，故B选项正确，不符合题意； 对于C，，的长为，故C选项错误，符合题意； 对于D，，是的2倍，故D选项正确，不符合题意． 5．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 6．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 7．（2026·安徽合肥·二模）如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接、、、，交于M． 由题可知，，， ，， ， 在圆内接正六边形中， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，，，， 故的值带有x，不能确定． 二、填空题 8．（2026·江苏南京·一模）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 【答案】36 【详解】解：是正五边形的外接圆， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， 根据圆周角定理可得． 9．（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 10．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为___________． 【答案】 【详解】解：如下图， ∵六边形为正六边形，且边长为1， ∴，， ∴阴影部分的周长和． 11．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，已知正六边形，从点A引出的三条对角线把它分成4个三角形，点F到对角线的距离是1，的外心为O，的内心为I，则________． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点F作于点G， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴ 同理可得， 又∵， ∴， ∴； ∵，点F到对角线的距离是1， ∴，， ∴； 在中，， ∴； ∵的外心为O， ∴点O为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点I作于点H， ∵的内心为I， ∴点I到的三边的距离相等，都为的长，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 12．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【详解】（1）如图，六边形即为所求； 解：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 13．（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】(1) 证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； (2) 如图所示，、即为所求； (3) 证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 正多边形与圆 考点一：正多边形与圆的基本关系 1. 将一个圆的 等分，依次连接各等分点，可得到这个圆的内接正n边形，该圆为正多边形的外接圆。 2. 过圆的各等分点作圆的切线，相邻切线的交点构成圆的外切正n边形，该圆为正多边形的内切圆。 3. 任意正多边形有且只有一个外接圆和一个内切圆，两圆同心，圆心为正多边形的中心。 ✅ 判定关键：正多边形必须同时满足各边相等、各内角相等；圆内接多边形，若各弧相等，则该多边形为正多边形。 考点二：五大核心定义（必考） 设正 边形： 1. 中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 外接圆半径R：中心到正多边形顶点的距离； 3. 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆圆心角； 4. 边心距r：中心到正多边形任意一条边的距离，即内切圆半径； 5.边长a：正多边形的单条边长度。 考点三：全套标准计算公式 1. 正 边形中心角公式： 2. 正 边形单个外角公式： 重要结论：正多边形中心角 = 正多边形外角 3. 正 边形单个内角公式： 4. 万能直角三角形勾股公式（核心计算式）：（式中： 为外接圆半径， 为边心距， 为正多边形边长。） 5. 正多边形周长公式： 6. 正多边形通用面积公式：（式中： 为周长， 为边心距。） 考点四：正多边形对称性 1. 所有正多边形均为轴对称图形，对称轴数量 = 边数 ，所有对称轴均过图形中心； 2. 偶数边正多边形：既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心为图形中心； 3. 奇数边正多边形：仅为轴对称图形，不是中心对称图形。 考点五：三大特殊正多边形专属公式 （1）正六边形 中心角：，边长与外接圆半径关系： 边心距公式： （2）正方形 中心角：，边长公式： 边心距公式： （3）正三角形 中心角：，边长公式： 边心距公式： 考点六：正多边形作图 1. 通用画法：用量角器作中心角 ，等分圆周后依次连线； 2. 尺规可作正多边形：正三角形、正四边形、正六边形、正八边形、正十二边形。 题型一：角度计算题型（选择填空必考） 1. 已知边数求角度：直接套用（中心角/外角）、（内角）； 2. 已知内角求边数：先求外角 ，再求边数 ； 3. 圆内接正多边形圆周角：圆周角 对应中心角。 【典例1-1】（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·新疆和田·期末）正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】（2026·河南漯河·一模）如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例1-4】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      【变式1-2】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 题型二：边长、半径、边心距互求（核心计算题型） 过正多边形中心作边长的垂线，构造直角三角形，三边分别为：斜边 、直角边 、直角边 。 固定公式：，已知任意两个量，可求第三个量。 【典例2-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【典例2-2】（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【典例2-3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-1】（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式2-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，正六边形内接于，已知这个正六边形的边心距的长为3，则的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 【变式2-3】（2025·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则的半径是__________． 【变式2-4】（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 题型三：周长、面积计算题型 周长： 面积通用公式： 技巧：正六边形可分割为6个全等的等边三角形，可快速简化面积计算。 【典例3-1】（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式3-1】（25-26九年级上·福建福州·期末）中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·安徽·模拟预测）南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，内切于正六边形，已知对角线，则正六边形与的周长差为_____．（结果保留） 【变式3-4】（25-26九年级上·河北唐山·期末）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 题型四：正多边形与圆阴影综合题型（期末压轴） 1. 阴影面积核心公式： 2. 扇形圆心角直接取正多边形对应中心角 ； 3. 优先利用正六边形 的特殊性质简化运算。 【典例4-1】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ）    A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【典例4-3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【变式4-1】（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【变式4-2】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【变式4-3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 题型五：圆内接正多边形证明 1. 最简思路：证明圆内多边形各弧相等，等弧对等弦、等弧对等圆周角，可直接证得正多边形； 2. 常规思路：同时证明多边形各边相等、各内角相等（书写量大，不优先使用）。 【典例5-1】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【典例5-2】如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点． (1)求证：； (2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：． 【变式5-1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接． (1)如图1，若，，共线，求的值； (2)试探究的大小与的关系，并说明理由； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 【变式5-3】（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若是圆内接正三角形的外接圆的上任一点，则，在上截取，连接，可证明是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到，再进一步证明_______，得到，可证得：． （2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若是圆内接正四边形的外接圆的上任一点，则 °，分别过点作于、于． （3）写出与之间的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 2．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图所示，已知正六边形外接圆的半径为，那么这个正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 4．（2026·河北邢台·二模）如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 5．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 6．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 7．（2026·安徽合肥·二模）如图，在圆内接正六边形中，点P在对角线上，记图中的面积分别为，，，，，，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 8．（2026·江苏南京·一模）已知是正五边形的外接圆，点在上，则的度数为_______． 9．（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 10．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为___________． 11．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，已知正六边形，从点A引出的三条对角线把它分成4个三角形，点F到对角线的距离是1，的外心为O，的内心为I，则________． 三、解答题 12．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 13．（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $