专题3.3 函数的应用（一）（高效培优讲义）（3大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦函数模型的应用这一核心知识点，系统梳理一次函数、二次函数、分段函数、幂函数及对勾函数模型，承接函数概念与性质，搭建从理论到实际问题解决的学习支架。 该资料以亚冬会纪念品销售、道路容量等实际案例为载体，培养用数学眼光观察现实世界，通过典例与变式训练发展数学思维，建立函数模型提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后练习题助学生查漏补缺。

专题3.3 函数的应用（一） 教学目标 1、理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数相关的问题。 2、能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。 教学重难点 1.重点 建立函数模型解决实际问题． 2.难点 选择适当的方案和函数模型解决实际问题． 知识点01常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 【即学即练】某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【解析】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 知识点02 对勾函数 1、对勾函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、（高频考试模型）特别的，对勾函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 【即学即练】单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【解析】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 题型01 二次函数模型的应用 【典例1】第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. 【变式1-1】随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 【解析】设每个提价元（，），利润为元． 每天销售总额为元， 进货总额元，显然，即， 因此 ，当且仅当时取等号， 此时销售单价应为14元，最大利润为360元， 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 【变式1-2】（2026·高一·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【解析】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 【变式1-3】某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【解析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 题型02分段函数模型的应用 【典例2】（2026·高一·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 【变式2-1】（2026·高一·福建厦门·期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 【解析】（1）因为月产量为台，则总成本为， 所以当时，， 当时，， 综上，. （2）当时，. 所以当时，取得最大值，最大值为30000； 当时，是减函数， 所以. 综上，当时，的最大值为30000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30000元． 【变式2-2】（2026·高一·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【解析】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 【变式2-3】（2026·高一·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【解析】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 题型03 对勾函数模型 【典例3】（2026·高一·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【解析】（1）由题意知，年利润 （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【变式3-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【解析】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【变式3-2】（2026·高一·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【解析】（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 【变式3-3】某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【解析】（1）由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益销售金额成本， 即：万元； （2）设获政府补贴万元时，收益为万元， 则，其中， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元． 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 【答案】C 【解析】A.一次函数图象是一条完整的直线，A错误， B.二次函数图象是一条抛物线，B错误， 此图象由若干段斜率不一样的线段组成，不同时间段有不同的对应法则， 由分段函数定义可知，C正确. 2．（2026·高一·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【解析】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 3．（2026·高一·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【解析】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 4．（2026·高一·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解析】由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. 5．（2026·高一·云南红河·期中）为了提倡节约用电，某地对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费标准如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的月平均用电量为250千瓦时，则该户居民当年需交纳的电费为（   ） A．1826元 B．1840元 C．1842元 D．1848元 【答案】C 【解析】由题意，全年用电量为千瓦时， 故需交纳的电费为. 故选：C 6．（2026·高一·湖北孝感·期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 【答案】B 【解析】收入是18000元，根据缴纳个税规定分四段， 第一段5000元不缴税； 第二段3000元缴税为； 第三段9000元缴税为； 第四段1000元缴税为； 所以该职工10月份应缴纳个税为：元 故选：B. 7．（2026·高一·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【解析】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 8．（2026·高一·北京·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 【答案】A 【解析】设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 9．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【答案】BC 【解析】设此次参加旅游的人数为， 由题意可知此次旅游的总费用 当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意； 当时，令，解得，符合题意． 综上，此次参加旅游的人数是45或50． 故选：BC 11．（多选题）（第三章函数）某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ）    A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在前内电量始终在匀速下降 C．该手机在内电量下降的速度比在内下降的速度更慢 D．该手机在进行了充电操作 【答案】AD 【解析】对于A，由图象可得，当时，，所以测试结束时，该手机剩余电量为85%，故A正确； 对于B，当时，函数图象不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误； 对于C，由图象可得，在内电量下降的速度为，在内电量下降的速度为， 因为，所以该手机在内电量下降的速度比在内下降的速度更快，故C错误； 对于D，由图象可得该手机在电量上升了55%，所以进行了充电操作，故D正确． 故选：AD. 12．企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元），一万件的售价是30万元．若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为________万元． 【答案】159 【解析】由题意得： 利润 故最大利润为159万元. 13．（2026·高一·广西崇左·期末）为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 【答案】 【解析】由题知，该数据中心年度碳排放量为， 因为， 所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元. 故答案为： 14．（2026·高一·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【解析】因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. 15．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在℃. (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？ 【解析】（1）由题意，设（） 即. ∵当时，，∴， 解得， ∴当时，， ∴所求的函数关系式为（）． （2）当，时， （℃）， 即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃. 16．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【解析】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 17．（2026·高一·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【解析】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 18．（2026·高一·江西上饶·期末）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【解析】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 1．（2026·高二·河北·期末）在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 【答案】A 【解析】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 2．（2026·高一·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得：  ，做出图象，选D. 3．（2026·高一·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【解析】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 4．（2026·高一·福建泉州·期末）某停车场规定：连续停车时间不超过3小时，车主需缴费5元；若连续停车超过3小时，则每多停1小时，车主需多缴3元（不足1小时按1小时计算）.若车主甲于某日驶离该停车场时缴费20元，则甲当日驶入停车场的时间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知总缴费20元，前3小时收费5元，所以超出3小时的费用为：元. 因为每多停1小时需多缴3元，所以超出的时间最长为：小时. 因此，停车总时长的范围为：总时长（不足1小时按1小时算）， 即总时长（小时）. 驶离时间为，则驶入时间需满足：驶入时间. 故选：C. 5．（2026·高一·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 6．（2026·高一·重庆·期中）某工厂计划搭建一个由矩形和等腰直角三角形组成的联合储物棚，其中等腰直角三角形的一条直角边与矩形的一条长边重合（记矩形长边长度为，短边长度为，单位：）.已知搭建整个储物棚的材料总长度（即所有边的长度之和，重合边不计入）为（矩形贡献3条边：1条长边､2条短边；等腰直角三角形贡献2条边：1条直角边､1条斜边），则该储物棚的最大占地面积（矩形面积与等腰直角三角形面积之和）约为（    ）. A．105 B．120 C．125 D．128 【答案】B 【解析】由题意，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则占地面积， 为开口向下，对称轴的抛物线， 所以当时，S有最大值， 且为. 所以该储物棚的最大占地面积约为120. 故选：B 7．（2026·高一·广东中山·阶段检测）按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 【答案】D 【解析】法一：设男职工出生于公元年月，，，. 设退休延迟月数为， 当时，； 当时，； 当时，. 所以1972年6月出生的男职工退休延迟的时间为：（月）. 所以1972年6月出生的男职工退休年龄：61岁11个月. 法二：从1965年1月到1972年6月，共经过了个“4个月”的时间段， 故延迟退休23个月，即1年11个月，退休年龄为61岁11个月. 故选：D 8．（2026·高一·江西·阶段检测）“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， ， ， . 对于A，，则，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于CD，，故C错误，D正确. 故选：D 9．（多选题）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为（　　） A．x＝15 B．x＝12 C．y＝12 D．y＝14 【答案】AC 【解析】由三角形相似得，得， 矩形铁片的面积， 所以当时，S最大，此时. 故时，取最大值． 10．（多选题）（2026·高一·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【解析】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 11．（多选题）（2026·高一·陕西汉中·期末）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 【答案】AC 【解析】由甲、乙两图可得进水速度为1，出水速度为2， 由图丙知到的蓄水量为，即每小时的进水量为， 所以到只进水不出水，A正确； 由图丙知，到蓄水量减少了， 所以有一个进水口进水，同时出水口出水，即有一个进水口关闭，故B错误，C正确； 由图丙知，到蓄水量不变，所以可能是不进水也不出水， 也可能是2个进水口进水，同时1个出水口出水，故D错误. 故选：AC. 12．（2026·高一·上海·期末）某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】依题意单调递增，则，解得， 又依题意可得对恒成立， 故，在恒成立， 所以，解得， 由对勾函数性质可知在区间上单调递增， 所以， 综上，的取值范围为. 13．（2026·高一·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【解析】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 14．（2026·高一·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 【解析】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得， 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 16．（2026·高一·辽宁抚顺·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【解析】（1）由题意，，可得， 则. （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①不符合， 所以，选②， 则，可得，即， 综上，且定义域为 （3）由题意 所以 当， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元. 当在上单调递减， 此时最小值为元, 综上，的最小值是441元. 17．（2026·高一·上海·阶段检测）某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 【解析】（1）时，； 时，. 即 （2），，时取得最大值； ， 因为，所以 当且仅当时，即时取得等号. 综上：当年产量时，企业获利最大，最大值为. 18．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）随着港珠澳大桥和深中通道的开通，珠海某村依托区位优势，大力发展民宿旅游产业.为增加村民收入，村集体计划投资改造一批精品民宿并于2026年初投入运营.据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级等）20万元.此外，装修及维护x栋民宿的变动成本为万元，且.调研数据显示，每间装修好的民宿预计2026年一年可带来稳定的30万元收入. (1)若装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有多少万元？ (2)请将该批民宿改造后的2026年年利润（万元）表示为装修数量（栋）的函数关系式： (3)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值. （附：年利润＝年收入－变动成本－固定成本） 【解析】（1）当时，， 根据题意，利润为， 所以装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有万元. （2）由题意可得， 当时，， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为， 当时，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为， 所以投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 函数的应用（一） 教学目标 1、理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数相关的问题。 2、能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。 教学重难点 1.重点 建立函数模型解决实际问题． 2.难点 选择适当的方案和函数模型解决实际问题． 知识点01常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 【即学即练】某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 知识点02 对勾函数 1、对勾函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、（高频考试模型）特别的，对勾函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 【即学即练】单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 题型01 二次函数模型的应用 【典例1】第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【变式1-1】随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 【变式1-2】（2026·高一·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【变式1-3】某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 题型02分段函数模型的应用 【典例2】（2026·高一·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式2-1】（2026·高一·福建厦门·期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 【变式2-2】（2026·高一·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式2-3】（2026·高一·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 题型03 对勾函数模型 【典例3】（2026·高一·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式3-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【变式3-2】（2026·高一·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【变式3-3】某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 2．（2026·高一·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 3．（2026·高一·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 4．（2026·高一·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（2026·高一·云南红河·期中）为了提倡节约用电，某地对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费标准如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的月平均用电量为250千瓦时，则该户居民当年需交纳的电费为（   ） A．1826元 B．1840元 C．1842元 D．1848元 6．（2026·高一·湖北孝感·期中）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3000元的部分 超过3000元至12000元的部分 超过12000元至25000元的部分 有一智能公司员工十月份工资､薪金所得18000元，则该员工十月份应缴纳个税为（    ）元. A．990 B．1190 C．1490 D．2190 7．（2026·高一·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 8．（2026·高一·北京·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 9．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 11．（多选题）（第三章函数）某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ）    A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在前内电量始终在匀速下降 C．该手机在内电量下降的速度比在内下降的速度更慢 D．该手机在进行了充电操作 12．企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元），一万件的售价是30万元．若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为________万元． 13．（2026·高一·广西崇左·期末）为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 14．（2026·高一·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 15．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在℃. (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？ 16．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 17．（2026·高一·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 18．（2026·高一·江西上饶·期末）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 1．（2026·高二·河北·期末）在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 2．（2026·高一·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 4．（2026·高一·福建泉州·期末）某停车场规定：连续停车时间不超过3小时，车主需缴费5元；若连续停车超过3小时，则每多停1小时，车主需多缴3元（不足1小时按1小时计算）.若车主甲于某日驶离该停车场时缴费20元，则甲当日驶入停车场的时间可以为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·重庆·期中）某工厂计划搭建一个由矩形和等腰直角三角形组成的联合储物棚，其中等腰直角三角形的一条直角边与矩形的一条长边重合（记矩形长边长度为，短边长度为，单位：）.已知搭建整个储物棚的材料总长度（即所有边的长度之和，重合边不计入）为（矩形贡献3条边：1条长边､2条短边；等腰直角三角形贡献2条边：1条直角边､1条斜边），则该储物棚的最大占地面积（矩形面积与等腰直角三角形面积之和）约为（    ）. A．105 B．120 C．125 D．128 7．（2026·高一·广东中山·阶段检测）按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 8．（2026·高一·江西·阶段检测）“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为（　　） A．x＝15 B．x＝12 C．y＝12 D．y＝14 10．（多选题）（2026·高一·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 11．（多选题）（2026·高一·陕西汉中·期末）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 12．（2026·高一·上海·期末）某地方政府为鼓励实体经济发展，拟对本地年产值（单位：万元）的实体小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金（单位：万元）随企业年产值的增加而增加，且奖金不低于5万元，同时奖金不超过企业年产值的．若函数，则的取值范围为______． 13．（2026·高一·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 14．（2026·高一·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 15．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 16．（2026·高一·辽宁抚顺·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 17．（2026·高一·上海·阶段检测）某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时，（万元）．现该企业将每台设备的售价定为60万元，且生产的锂电池设备能全部售完． (1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； (2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 18．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）随着港珠澳大桥和深中通道的开通，珠海某村依托区位优势，大力发展民宿旅游产业.为增加村民收入，村集体计划投资改造一批精品民宿并于2026年初投入运营.据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级等）20万元.此外，装修及维护x栋民宿的变动成本为万元，且.调研数据显示，每间装修好的民宿预计2026年一年可带来稳定的30万元收入. (1)若装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有多少万元？ (2)请将该批民宿改造后的2026年年利润（万元）表示为装修数量（栋）的函数关系式： (3)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值. （附：年利润＝年收入－变动成本－固定成本） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $