3.4 数学建模活动 决定苹果的最佳出售时间点 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

　　　　　3.3　函数的应用(一) 　　3.4　数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点 [教学方式:拓展融通课习题讲评式教学] [课时目标] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.体会学习过的一次函数、二次函数、分段函数等一些基本函数模型的广泛运用. 3.体会利用常见的函数模型解决一些简单实际问题的过程与方法. 题型(一)　一次函数模型的应用 [例1]　某边远地区有一运输车队,开出后的车辆都必须返回.离出发地80 km处有一加油站.某汽车油箱中余油量Q(kg)与它行驶时间t(h)之间是一次函数关系.已知t=0时,油箱中有油60 kg,汽车行驶8 h,油箱中还有剩余油20 kg.如果汽车的行驶速度为40 km/h,则该汽车最多能行驶多远就必须返回? [解]　设汽车油箱中余油量Q(kg)与它行驶时间t(h)之间的一次函数关系为Q=kt+b, 依题意得解得 所以油箱中含油量Q和行驶时间t之间的函数关系式Q=-5t+60(0≤t≤12). 当Q=0时,t=12,所以在不加油的情况下,汽车最多能行驶12 h. 最远距离s=40×=240(km). 由于在离出发地80 km处有加油站可供加油,如果在返程时加油,则油箱中的油只需够用到加油站即可返回出发地,也就是汽车可以再行驶40 km,即280 km.进一步探索,如果驶离出发地的途中加一次油,返回时再加一次油,则相当于以加油站为出发地最远行驶240 km,因此汽车实际最远可行驶320 km. |思|维|建|模| 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是:设元、列式、求解. 　　[针对训练] 1.随着神舟十五号载人飞船顺利发射,人们对航天事业愈发关注,航天周边产品销量也逐渐提高.某商场准备购进一批火箭模型进行售卖,已知一个B款火箭模型比一个A款贵15元,用1 600元购入的A款火箭模型与2 200元购入的B款火箭模型数量相同. (1)这两款火箭模型的进货单价各是多少元? (2)已知商场准备购进这两款火箭模型共100个,后将这批火箭模型以A款每个70元,B款每个90元的价格出售.求可获得的总利润y(元)与其中A款火箭模型的数量x(个)之间的关系式. 解:(1)设一个A款火箭模型的进价为x元,则一个B款火箭模型的进价为(x+15)元,则有=,解得x=40,经检验,x=40是原方程的解,所以A款火箭模型的进价为40元,B款火箭模型的进价为55元. (2)因为A款火箭模型的数量为x个,则B款火箭模型的数量为(100-x)个,所以y=(70-40)x+(90-55)(100-x)=3 500-5x(0≤x≤100). 题型(二)　二次函数模型的应用 [例2]　据市场分析,某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点. (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式; (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润? [解]　(1)由题意,设y=a(x-15)2+17.5(a≠0), 将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5, 解得a=0.1. 所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25). (2)设月利润为Q(x), 则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25). 所以月产量为23吨时,可获得最大利润为12.9万元. 　　|思|维|建|模|　　利用二次函数求最值的方法及注意点 方法 根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题 注意点 取得最值时的自变量与实际意义是否相符 　　[针对训练] 2.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上. (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,并求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解:(1)如图,作PQ⊥AF于点Q, ∴PQ=8-y,EQ=x-4. ∵PQ∥DF,∴△EDF∽△EPQ. ∴=,即=. ∴y=-x+10,定义域为{x|4≤x≤8}. (2)设矩形BNPM的面积为S,则S(x)=xy=x=-(x-10)2+50,4≤x≤8. ∴S(x)是关于x的二次函数,且图象开口向下,对称轴为直线x=10. ∴当x∈[4,8]时,S(x)单调递增. ∴当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,最大值为48平方米. 3.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关,采取了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y=x2-200x+80 000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损? 解:(1)由题意知,平均每吨二氧化碳的处理成本为=x+-200≥2-200=200; 当且仅当x=,即x=400时等号成立,故当该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,为200元. (2)不获利,设该单位每个月获利为S元,则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,因为x∈[400,600],则S∈[-80 000,-40 000], 故该单位每月不获利,需要国家每个月至少补贴40 000元才能不亏损. 题型(三)　分段函数模型的应用 [例3]　某超市引进A,B两类有机蔬菜.在当天进货都售完的前提下,A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克,B类有机蔬菜的纯利润为5元/千克.若当天出现未售完的有机蔬菜,次日将以5折售出,此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克,B类蔬菜的亏损为3元/千克.已知当天未售完的有机蔬菜,次日5折促销都能售完.假设该超市A,B两类有机蔬菜当天共进货100千克,其中A类有机蔬菜进货x(x∈N,30≤x≤70)千克,假设A,B类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克. (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利f(x)(单位:元)的表达式; (2)若f(x)≥322,求x的取值范围. [解]　(1)当x∈N,30≤x≤50时,f(x)=3x+50×5-3(100-x-50)=6x+100; 当x∈N,50<x≤70时,f(x)=50×3+5×(100-x)-1×(x-50)=700-6x. 故f(x)= (2)当x∈N,30≤x≤50时,由6x+100≥322,解得x≥37; 当x∈N,50<x≤70时,由700-6x≥322,解得x≤63.故x的取值范围是{x∈N|37≤x≤63}. |思|维|建|模| 构建分段函数模型的关键点 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点,即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式. 　　[针对训练] 4.某学校准备购买一批电脑,在购买前进行的市场调查显示:在相同品牌、质量与售后服务的条件下,甲、乙两公司的报价都是每台6 000元.甲公司的优惠条件是购买10台以上的,从第11台开始按报价的七折计算,乙公司的优惠条件是均按八五折计算. (1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲,y乙与购买台数x之间的函数关系式. (2)根据购买的台数,你认为学校应选择哪家公司更合算? 解:(1)由题意,得y甲= y乙=5 100x(x∈N). (2)当x≤10时,显然y甲>y乙; 当x>10时,令y甲>y乙, 即4 200x+18 000>5 100x,解得x<20. 故当购买的台数小于20台时,应选择乙公司; 当购买的台数超过20台时,应选择甲公司; 当购买的台数为20台时,选择甲、乙公司均可. 5.某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏,据调查,花期为30天,园区从某月1号至30号开放,每天的旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)=8+(千人),且游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143-|x-22|(元), 1≤x≤30,x∈N+. (1)求该园区第x天的旅游收入p(x) (单位:千元)的函数关系式; (2)记(1)中p(x)的最小值为m,若以0.3m (千元)作为资金全部用于回收投资成本,试问该园区能否收回投资成本? 解:(1)p(x)=f(x)·g(x)=(143-|x-22|) = (2)当1≤x≤22时,p(x)=8x++976≥2+976=1 152, 当且仅当8x=,即x=11时取等号,此时p(x)最小值为1 152; 当22<x≤30时,p(x)=-8x++1 312是减函数,当x=30时,p(x)min=-8×30++1 312=1 116. 因为1 116<1 152,所以m=1 116, 所以m=p(30)=1 116千元,0.3m=33.48万元>30万元,能收回投资成本. [课时检测] 1.若拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)(元)决定,其中m>0,{m}是大于或等于m的最小整数,(如:{3}=3,{3.8}=4,{3.1}=4),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 (　 ) A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元 解析:选C　由已知得{5.5}=6.由f(m)=1.06(0.5·{m}+1),得f(5.5)=1.06(0.5·{5.5}+1)=1.06×(0.5×6+1)=4.24元,故选C. 2.已知某停车场规定:停车时间在3小时内,车主需交费5元,若停车超过3小时,每多停1小时,车主要多交3元,不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟,在离开时车主应交的停车费为 (　 ) A.16元 B.18元 C.20元 D.22元 解析:选C　由已知得7小时20分钟按8小时计算,所以停车费为5+(8-3)×3=20元.故选C. 3.小婷经营一花店,每天的房租、水电等固定成本为100元,每束花的进价为6元,若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q=100-5x,则当该店每天获利最大时,每束花应定价为 (　 ) A.15元 B.13元 C.11元 D.10元 解析:选B　设每天获利y元,则y=(100-5x)(x-6)-100=-5(x-13)2+145.由x>0,Q=100-5x≥0,得0<x≤20.故当x=13时,每天获利最大. 4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y= 其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为 (　 ) A.15 B.40 C.25 D.130 解析:选C　令y=60.若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用25人. 5.某医学团队研制出预防某疾病的新药,服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为 (　 ) A.上午10:00 B.中午12:00 C.下午4:00 D.下午6:00 解析:选C　由题图知,当0≤x≤4时,设直线y=kx,把点(4,320)代入得k=80,所以y=80x;当4<x≤20时,设y=f(x)=kx+b,将点(4,320)和(20,0)代入得解得此时y=f(x)=-20x+400.所以f(x)=当0≤x≤4时,令80x≥240,得3≤x≤4;当4<x≤20时,令y=-20x+400≥240,解得4<x≤8.所以3≤x≤8.故第二次服药最迟的时间应为8小时后,即下午4:00. 6.如图,小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距离地面的高度都是2.5 m,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距离地面的高度为 (　 ) A.0.5 m B.0.6 m C.0.7 m D.0.8 m 解析:选A　若以距离小明较近的那棵树的树根为原点、以水平线为x轴建立平面直角坐标系,则抛物线的对称轴为x=1.设抛物线方程为y=ax2-2ax+2.5.当x=0.5时,y=0.25a-a+2.5=1,∴a=2,y=2(x-1)2+0.5.∴绳子的最低点距地面的高度为0.5 m. 7.(5分)已知某种产品每件定价80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为　　　　.  解析:由已知设解析式为y=kx+b(k≠0),其中x为每件产品的定价(单位:元),y为每天售出的件数(单位:件),由解得∴y=-x+50(0<x<200). 答案:y=-x+50(0<x<200) 8.(5分)某人开汽车从A地出发,以60 km/h的速度,经2 h到达B地,在B地停留1 h,若汽车离开A地的距离y(单位:km)是时间t(单位:h)的函数,则该函数的解析式是　　　　　.  答案:y= 9.(5分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图),则客车有营运利润的时间不超过　　　　年.  解析:由题图知函数关于直线x=6对称,设y=a(x-6)2+11.又函数过点(4,7),代入函数解析式,可得a=-1.所以y=-(x-6)2+11.令y≥0,得6-≤x≤6+,所以有营运利润的时间为2.又6<2<7,故有营运利润的时间不超过7年. 答案:7 10.(10分)为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为y cm,椅子的高度为x cm,则y应是x的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度: 第一套 第二套 椅子高度x(cm) 40.0 37.0 桌子高度y(cm) 75.0 70.2 (1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围).(6分) (2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌,它们是否配套?为什么?(4分) 解:(1)根据题意,课桌高度y是椅子高度x的一次函数,故可设函数解析式为y=kx+b(k≠0). 将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式,得解得 所以y与x的函数解析式是y=1.6x+11. (2)把x=42代入(1)中所求的函数解析式中,有y=1.6×42+11=78.2. 所以给出的这套桌椅是配套的. 11.(10分)根据市场调查,某型号的空气净化器有如下的统计规律,每生产该型号空气净化器x(百台),其总成本为P(x)(万元),其中固定成本为12万元,并且每生产1百台的生产成本为10万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入Q(x)(万元)满足Q(x)=假定该产品销售平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)求利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);(4分) (2)假定你是工厂老板,你该如何决定该产品生产的数量?(6分) 解:(1)由题意得P(x)=10x+12, 故f(x)= (2)当x>16时,函数f(x)单调递减, 所以f(x)<212-10×16=52万元. 当0≤x≤16时,函数f(x)=0.5x2+12x-12, 当x=16时取得最大值, 所以当x=16时,f(x)有最大值308万元. 所以应该生产16百台,因为这样可使利润最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$