3.4 数学建模活动 决定苹果的最佳出售时间点 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

 

　　　　　3.3　函数的应用(一)

　　3.4　数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点

[教学方式:拓展融通课习题讲评式教学]

[课时目标]

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.

2.体会学习过的一次函数、二次函数、分段函数等一些基本函数模型的广泛运用.

3.体会利用常见的函数模型解决一些简单实际问题的过程与方法.

 

题型(一)　一次函数模型的应用

 [例1]　某边远地区有一运输车队,开出后的车辆都必须返回.离出发地80 km处有一加油站.某汽车油箱中余油量Q(kg)与它行驶时间t(h)之间是一次函数关系.已知t=0时,油箱中有油60 kg,汽车行驶8 h,油箱中还有剩余油20 kg.如果汽车的行驶速度为40 km/h,则该汽车最多能行驶多远就必须返回?

[解]　设汽车油箱中余油量Q(kg)与它行驶时间t(h)之间的一次函数关系为Q=kt+b,

依题意得解得

所以油箱中含油量Q和行驶时间t之间的函数关系式Q=-5t+60(0≤t≤12).

当Q=0时,t=12,所以在不加油的情况下,汽车最多能行驶12 h.

最远距离s=40×=240(km).

由于在离出发地80 km处有加油站可供加油,如果在返程时加油,则油箱中的油只需够用到加油站即可返回出发地,也就是汽车可以再行驶40 km,即280 km.进一步探索,如果驶离出发地的途中加一次油,返回时再加一次油,则相当于以加油站为出发地最远行驶240 km,因此汽车实际最远可行驶320 km.

 

|思|维|建|模|       一次函数模型的特点和求解方法

(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.

(2)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是:设元、列式、求解.

　　[针对训练]

1.随着神舟十五号载人飞船顺利发射,人们对航天事业愈发关注,航天周边产品销量也逐渐提高.某商场准备购进一批火箭模型进行售卖,已知一个B款火箭模型比一个A款贵15元,用1 600元购入的A款火箭模型与2 200元购入的B款火箭模型数量相同.

(1)这两款火箭模型的进货单价各是多少元?

(2)已知商场准备购进这两款火箭模型共100个,后将这批火箭模型以A款每个70元,B款每个90元的价格出售.求可获得的总利润y(元)与其中A款火箭模型的数量x(个)之间的关系式.

解:(1)设一个A款火箭模型的进价为x元,则一个B款火箭模型的进价为(x+15)元,则有=,解得x=40,经检验,x=40是原方程的解,所以A款火箭模型的进价为40元,B款火箭模型的进价为55元.

(2)因为A款火箭模型的数量为x个,则B款火箭模型的数量为(100-x)个,所以y=(70-40)x+(90-55)(100-x)=3 500-5x(0≤x≤100).

题型(二)　二次函数模型的应用

 [例2]　据市场分析,某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.

(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式;

(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?

[解]　(1)由题意,设y=a(x-15)2+17.5(a≠0),

将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5,

解得a=0.1.

所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).

(2)设月利润为Q(x),

则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).

所以月产量为23吨时,可获得最大利润为12.9万元.

　　|思|维|建|模|　　利用二次函数求最值的方法及注意点

　　[针对训练]

2.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.