专题3.1.1 函数及其表示方法（高效培优讲义）（20大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦函数及其表示方法核心知识点，从初中变量依赖关系过渡到高中集合语言定义，系统梳理函数三要素（定义域、对应关系、值域）、三种表示方法（解析法、列表法、图象法）、分段函数及图象变换，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于知识点分层细化（如定义域分具体、抽象、复合函数），题型丰富（20种题型含典例与变式）。通过分段函数代表人数等实例培养数学眼光（抽象能力），题型变式训练数学思维（推理能力），多种表示方法应用培养数学语言（模型意识）。课中辅助分层教学，课后练习题助学生查漏补缺。

专题3.1.1 函数及其表示方法 教学目标 1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域。 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 教学重难点 1.重点 （1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. （3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）. 2.难点 求函数的定义域和值域 知识点01函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、集合观点的定义 一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作，，其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围(即数集)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合,称为函数的值域． 注：对函数概念的几点说明 (1)是“是的函数”的数学表示，不能认为“等于与的乘积”，应理解为：是自变量，是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等). (2)函数符号表示的对应关系与字母无关，也可以用，，等表示；同样，自变量也可以用，，等表示． 【即学即练】在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 知识点02函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 知识点03同一个函数 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练】下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点04函数的表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 【即学即练】若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 知识点05求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练】已知与成反比，且当时，，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 知识点06分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练】下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 知识点07函数图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） 【即学即练】函数的图像为（   ） A．   B．   C．   D．   题型01函数关系的判断 【典例1】（2026·高一·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【变式1-1】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1-2】（2026·高一·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 题型02同一函数 【典例2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．和y＝ B．和y＝ C．和 D． 和 【变式2-1】（2026·高一·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（2026·高一·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·福建宁德·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型03根据函数值求自变量或参数 【典例3】已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（2026·高一·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【变式3-2】（2026·高一·广东·阶段检测）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【变式3-3】（2026·高一·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型04函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例4】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数的定义域为，的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·广西玉林·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型05函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例5】（2026·高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式5-2】（2026·高一·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·四川遂宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型06函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例6】（2026·高三·陕西商洛·阶段检测）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高一·湖北·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·浙江·阶段检测）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型07函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例7】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【变式7-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）求下列函数的值域 (1)； (2) 【变式7-2】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)，； (2)， (3)； (4)； 题型08函数的值域（根式型函数的值域） 【典例8】设函数．求函数的值域； 【变式8-1】（2026·高二·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【变式8-2】求函数的值域． 【变式8-3】求函数的值域． 题型09函数的值域（分式型函数的值域） 【典例9】求函数的值域. 【变式9-1】求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【变式9-2】求函数的值域； 【变式9-3】求下列函数的值域： (1)； (2). 题型10函数的三种表示法的应用 【典例10】（2026·高一·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 【变式10-2】（2026·高一·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 题型11待定系数法求函数的解析式 【典例11】（2026·高一·甘肃白银·开学考试）已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2026·高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026·高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 题型12换元法求函数的解析式 【典例12】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式12-2】（2026·高一·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）已知函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型13配凑法求函数的解析式 【典例13】若函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2026·高一·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【变式13-2】（2026·高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2026·高一·安徽合肥·期中）已知，则函数 A． B． C． D． 题型14方程组（消去）法求函数的解析式 【典例14】（2026·高二·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 【变式14-1】（2026·高二·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【变式14-2】（2026·高一·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【变式14-3】（2026·高一·河南安阳·期中）函数 _____ _____ 题型15求分段函数的值 【典例15】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则______. 【变式15-1】（2026·高二·江西赣州·期末）已知函数，则____________． 【变式15-2】（2026·高二·浙江宁波·期末）函数，则______． 【变式15-3】已知函数，，其中表示不超过的最大整数，如，，则______. 题型16根据分段函数的值求参数 【典例16】（2026·高二·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【变式16-1】（2026·高一·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【变式16-2】（2026·高三·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 【变式16-3】（2026·高三·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 题型17分段函数的值域或最值问题 【典例17】若定义运算，则函数的值域为________. 【变式17-1】（2026·高三·上海·开学考试）函数的值域为__________． 【变式17-2】函数的值域为_________ 【变式17-3】（2026·高一·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 题型18解分段不等式 【典例18】（2026·高三·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 【变式18-1】已知函数.若，则实数的取值范围是__________. 【变式18-2】（2026·高一·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 【变式18-3】（2026·高一·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 题型19函数图象识别 【典例19】（2026·高一·河北邢台·开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】（2026·高一·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（    ）. A． B． C． D． 【变式19-3】（2026·高一·辽宁鞍山·期末）下列各图中，一定不是函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型20画出具体函数图象 【典例20】作出下列函数的图象： (1)； (2). 【变式20-1】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【变式20-2】（2026·高一·云南怒江·期末）已知函数 (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. 【变式20-3】作出函数的图象. 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 7．对实数定义运算，满足对任意实数，有，则（   ） A．22 B． C．4022 D． 8．（多选题）（2026·高一·福建泉州·开学考试）下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 9．（多选题）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 10．（多选题）（2026·高一·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11．（2026·高一·上海杨浦·开学考试）已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 12．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 13．已知函数对任意都有，且，则________　. 14．已知，求及的值. 15．已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 16．根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 17．下列对应关系是否为A到B的函数？ (1)，； (2)，； (3)； (4). 1．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·广东河源·期末）已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则（ ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·广东梅州·期末）已知对所有的非负整数，均有，若，则（    ） A．9 B．13 C．17 D．21 5．（2026·高一·天津滨海新区·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 8．小柯同学利用几何画板探究函数图象，在他输入一组a，b的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小柯同学输入的参数值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．（多选题）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 11．（多选题）（2026·高一·山东潍坊·期中）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 12．（2026·高一·广东深圳·期中）若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 13．已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 14．设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 15．画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 17．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 18．（2026·高一·福建厦门·期中）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； 19．（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）设函数，. (1)若不等式的解集，求，的值； (2)若，，，求的最小值，并求出取最小值时､的值； (3)若，且，求不等式的解集. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.1 函数及其表示方法 教学目标 1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域。 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 教学重难点 1.重点 （1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. （3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）. 2.难点 求函数的定义域和值域 知识点01函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、集合观点的定义 一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作，，其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围(即数集)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合,称为函数的值域． 注：对函数概念的几点说明 (1)是“是的函数”的数学表示，不能认为“等于与的乘积”，应理解为：是自变量，是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等). (2)函数符号表示的对应关系与字母无关，也可以用，，等表示；同样，自变量也可以用，，等表示． 【即学即练】在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解析】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 知识点02函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则其定义域满足， 从而，解得. 知识点03同一个函数 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练】下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 知识点04函数的表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 【即学即练】若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由表可知：， 故选：C. 知识点05求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练】已知与成反比，且当时，，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与成反比，所以可设， 又当时，， 所以，解得，所以. 故选：C. 知识点06分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练】下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 【答案】C 【解析】对于A，分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误； 对于B，由函数的解析式可知，故B错误； 对于C，是一个分段函数，故C正确； 对于D，分段函数的定义域不都是，如，故D错误． 知识点07函数图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） 【即学即练】函数的图像为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】函数中，，解得， 因此函数的定义域为， 函数的图象经过原点，且被两条平行直线间隔开，排除AD； 当时，，则，此时函数图象在轴上方，排除B，选项C符合. 故选：C 题型01函数关系的判断 【典例1】（2026·高一·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 【变式1-1】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解析】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 【变式1-2】（2026·高一·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 【变式1-3】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：令（），则，原式可变形为（）. 令（），则，所以，即，满足题意，A正确； 选项B：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，B错误； 选项C：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，C错误； 选项D：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，D错误； 故选：A 题型02同一函数 【典例2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．和y＝ B．和y＝ C．和 D． 和 【答案】D 【解析】A. 的定义域为R，的定义域为，二者定义域不同， 二者不表示同一个函数，故错误； B. 和对应关系不同，二者不表示同一个函数，故错误； C. 和对应关系不同，二者不表示同一个函数，故错误； D.，定义域为，则， ，定义域为，则，定义域以及对应关系均相同，二者表示同一函数，故正确； 【变式2-1】（2026·高一·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 【变式2-2】（2026·高一·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，值域为， 对于A，，定义域为，值域为， 即与函数是同一个函数，故A正确； 对于B，，值域为，值域不同，故B错误； 对于C，，定义域为，定义域不同，故C错误； 对于D，，定义域为，定义域不同，故D错误． 故选：A． 【变式2-3】（2026·高一·福建宁德·期中）下列四组函数，表示同一函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】函数的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 函数的定义域为全体实数， 的定义域为全体整数，两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 函数的定义域为， 的定义域为，，两个函数定义域相同，对应法则也相同，故为同一函数，正确. 函数的定义域为， 的定义域为，解得或， 两个函数定义域不同，故不为同一函数，错误. 故选：. 题型03根据函数值求自变量或参数 【典例3】已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】所以. 故选：A. 【变式3-1】（2026·高一·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【解析】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 【变式3-2】（2026·高一·广东·阶段检测）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 【变式3-3】（2026·高一·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】令，则， 因为，所以， 又，即，解得， 所以的值为2. 故选：B 题型04函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例4】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数有意义，可得，解得或， 所以函数的定义域为． 【变式4-1】已知函数的定义域为，的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得， 所以函数的定义域为， 令，解得， 的定义域为， 所以． 【变式4-2】函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，解得且，即的定义域是. 【变式4-3】（2026·高一·广西玉林·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为． 题型05函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例5】（2026·高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 【变式5-1】（2026·高一·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 【变式5-2】（2026·高一·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，解得. 故选：A. 【变式5-3】（2026·高一·四川遂宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为， 故选：D. 题型06函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例6】（2026·高三·陕西商洛·阶段检测）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，所以的定义域为. 令，则，所以的定义域为. 故选：D 【变式6-1】（2026·高一·湖北·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域是，，所以的定义域是， 故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是， 故选：D. 【变式6-2】（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域是，所以，即． 所以函数的定义域为，． 要使有意义，需满足：，解得， 即的定义域为． 故选：D． 【变式6-3】（2026·高一·浙江·阶段检测）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域是，即，则 所以函数的定义域是 则函数的定义域满足：，解得：且 故的定义域是,,， 故选：B． 题型07函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例7】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）因为，所以，即函数的值域为. （2）， 因为，所以的图象如图所示， 所以，当时，函数取得最小值； 所以的值域为. 【变式7-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）求下列函数的值域 (1)； (2) 【解析】（1）令，所以，由有， 解得，所以； （2）当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，，即. 【变式7-2】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【解析】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)，； (2)， (3)； (4)； 【解析】（1）由，且，则， 所以函数的值域为. （2）因为，则，可得， 所以在的值域为. （3）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （4）函数图象的对称轴为，当时，， 所以函数的值域为． 题型08函数的值域（根式型函数的值域） 【典例8】设函数．求函数的值域； 【解析】由题意知，函数的定义域是， 因为， 由，解得， 所以函数的值域为． 【变式8-1】（2026·高二·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【解析】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． 【变式8-2】求函数的值域． 【解析】由，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 又，，故． 【变式8-3】求函数的值域． 【解析】因为， 所以， 即函数的值域为． 题型09函数的值域（分式型函数的值域） 【典例9】求函数的值域. 【解析】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 【变式9-1】求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【解析】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 【变式9-2】求函数的值域； 【解析】， 因为，所以， 则函数的值域为． 【变式9-3】求下列函数的值域： (1)； (2). 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 题型10函数的三种表示法的应用 【典例10】（2026·高一·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B 【变式10-1】（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【解析】由的图象可得， 故. 【变式10-2】（2026·高一·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 【变式10-3】（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 故选：C． 题型11待定系数法求函数的解析式 【典例11】（2026·高一·甘肃白银·开学考试）已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 【变式11-1】已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【变式11-2】（2026·高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式11-3】（2026·高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 题型12换元法求函数的解析式 【典例12】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，，则， . . 【变式12-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】将代入， 得到，解得. 故选：B. 【变式12-2】（2026·高一·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 【变式12-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）已知函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数， 设，则， 所以 可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选:B. 题型13配凑法求函数的解析式 【典例13】若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 以代换，得，因此． 【变式13-1】（2026·高一·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 【变式13-2】（2026·高二·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 【变式13-3】（2026·高一·安徽合肥·期中）已知，则函数 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设（）,则． 因为， 所以，故．选C． 题型14方程组（消去）法求函数的解析式 【典例14】（2026·高二·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 【答案】8 【解析】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 【变式14-1】（2026·高二·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【解析】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【变式14-2】（2026·高一·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【解析】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 【变式14-3】（2026·高一·河南安阳·期中）函数 _____ _____ 【答案】 【解析】由于①， 则，整理得②， 则，整理得③， 得， 设，则，则④， 则，即⑤， 得，则，即. ，，有意义可得， 则定义域为. 故答案为：；. 题型15求分段函数的值 【典例15】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则______. 【答案】 【解析】， ， ． 【变式15-1】（2026·高二·江西赣州·期末）已知函数，则____________． 【答案】 【解析】由题意可得：. 【变式15-2】（2026·高二·浙江宁波·期末）函数，则______． 【答案】3 【解析】由题意可得，， 所以. 【变式15-3】已知函数，，其中表示不超过的最大整数，如，，则______. 【答案】 【解析】由函数和， 因为，所以， 所以. 题型16根据分段函数的值求参数 【典例16】（2026·高二·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【解析】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 【变式16-1】（2026·高一·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【解析】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 【变式16-2】（2026·高三·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 【变式16-3】（2026·高三·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 【答案】或 【解析】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为：或 题型17分段函数的值域或最值问题 【典例17】若定义运算，则函数的值域为________. 【答案】 【解析】由，得， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以，故函数的值域是：. 【变式17-1】（2026·高三·上海·开学考试）函数的值域为__________． 【答案】 【解析】∵ ， ∴ 原函数可化为. 方法一：从几何意义分析，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 故表示数轴上点到点与点的距离之和. 当点位于点和点之间（含端点）时，距离之和取得最小值，最小值为； 当点位于点左侧或点右侧时，距离之和随向两侧延伸逐渐增大，无最大值. 方法二：通过零点分段法验证： 当时，，此时函数单调递减，； 当时，； 当时，，此时函数单调递增，. 综上，函数的值域为. 【变式17-2】函数的值域为_________ 【答案】 【解析】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 【变式17-3】（2026·高一·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【解析】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 题型18解分段不等式 【典例18】（2026·高三·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【解析】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 【变式18-1】已知函数.若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式18-2】（2026·高一·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】当时，单调递减，； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 即，解得或，所以； 当且，即时，， 故不等式的解为； 当且，即时，， 不等式恒成立，所以不等式的解为； 当且，即时，， 不等式成立，所以不等式的解为； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式18-3】（2026·高一·北京西城·期中）已知函数，则___________；若，的取值范围是___________． 【答案】3，或. 【解析】因为，所以. 当时，可化为，解得， 又，所以； 当时，可化为，即解得或， 又，所以； 综上，若，的取值范围是或. 故答案为：3，或 题型19函数图象识别 【典例19】（2026·高一·河北邢台·开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由与图象关于y轴对称，得的图象为A选项. 【变式19-1】（2026·高一·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，其图象是抛物线在轴及右侧部分，排除BC； 当时，，则恒成立，其图象在轴下方，排除D，选项A符合题意. 故选：A 【变式19-2】反比例函数与一次函数（其中x为自变量，k为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】一次函数恒过点，故排除A项， 对于B，C两项，一次函数过点，得， 此时反比例函数为，则B项符合，C项不正确； 对于D项，一次函数过点，得， 此时反比例函数为，则D项不正确． 故选：B 【变式19-3】（2026·高一·辽宁鞍山·期末）下列各图中，一定不是函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】四个选项中，只有B选项存在一个对应两个，不符合函数概念， 即不符合每一个自变量的值都有唯一的值与它对应，所以B的图象一定不是函数图象. 故选：B. 题型20画出具体函数图象 【典例20】作出下列函数的图象： (1)； (2). 【解析】（1）函数的图象是直线上所有横坐标为整数的点，如图所示: （2）由于， 故函数的图象是抛物线介于之间的部分，如图所示： 【变式20-1】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 【变式20-2】（2026·高一·云南怒江·期末）已知函数 (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. 【解析】（1）作出函数的图象如图所示： （2） 【变式20-3】作出函数的图象. 【解析】先作函数的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图象，如下图所示： 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，即，则， 所以函数的值域为． 3．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】11．（2026·高一·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小， 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时，路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓， 故排除选项B、C、D． 5．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 6．（2026·高二·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【解析】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 7．对实数定义运算，满足对任意实数，有，则（   ） A．22 B． C．4022 D． 【答案】B 【解析】因为，令，则， 故，令，故， 所以． 所以． 8．（多选题）（2026·高一·福建泉州·开学考试）下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，有无穷多个值与之对应，一个值对应无数个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于B，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于C，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于D，任取一个值，有唯一确定的值与之对应，可以作为函数图象. 9．（多选题）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 【答案】AD 【解析】选项A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系； 选项B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 选项C，中元素的倒数没有意义，在集合中没有元素与之对应，因此不是函数关系； 选项D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系． 10．（多选题）（2026·高一·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】因为，且定义域都为，所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 当时，结合不等式有，虽然取不到等号，但不等式是恒成立的，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 故选：ACD 11．（2026·高一·上海杨浦·开学考试）已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题可得，则，所以的取值范围为. 12．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，所以， 即的作用对象的取值范围为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 13．已知函数对任意都有，且，则________　. 【答案】 【解析】由题意可得：， 所以，即. 14．已知，求及的值. 【解析】； 因为，所以. 15．已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【解析】（1）由题意得． （2）当时，由，解得； 当时，由，得或（舍去）． 综上所述，或． 16．根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 【解析】当时，函数的图象是一条线段， 故可设， 将点代入，解得, 故; 当时，函数的图象是一条平行于轴的线段， 即； 当时，同理可得. 综上可知，. 17．下列对应关系是否为A到B的函数？ (1)，； (2)，； (3)； (4). 【解析】（1）中的任一元素按照对应关系，在中都有唯一确定的元素与之对应，故此对应关系是集合到集合的函数． （2）中的元素在中没有对应元素，故此对应关系不是集合到集合B的函数． （3）中元素负数没有平方根，故在中没有对应的元素，且不一定是整数， 故此对应关系不是集合到集合的函数． （4）对于集合中任意一个实数，按照对应关系， 在集合中都有唯一一个确定的数与它对应，故是集合到集合的函数． 1．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 2．（2026·高一·广东河源·期末）已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得，解得， 令，得，所以， 由题意知，所以， 所以. 3．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，， . . 4．（2026·高一·广东梅州·期末）已知对所有的非负整数，均有，若，则（    ） A．9 B．13 C．17 D．21 【答案】B 【解析】令，则，所以， 令，则， 即，解得， 令，则， 即，解得 令，则， 即，解得， 故选：B 5．（2026·高一·天津滨海新区·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】的定义域为，的定义域为， 和不是同一函数，故A错误； 的定义域为，的定义域为， 和的定义域与对应法则相同，故表示同一函数，故B正确； 的定义域为，的定义域为， 和定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 和的对应法则不同，不是同一个函数，故D错误． 故选：B． 6．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以，， 所以. 故选：B. 7．（2026·高三·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象，如图， 由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上， 所以， 所以，解得. 故选：A. 8．小柯同学利用几何画板探究函数图象，在他输入一组a，b的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小柯同学输入的参数值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由图象可知，图象始终位于轴上方，所以，再由图象渐近线位于，图象渐近线位于轴左侧，所以. 9．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确； 10．（多选题）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【解析】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 11．（多选题）（2026·高一·山东潍坊·期中）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【解析】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 12．（2026·高一·广东深圳·期中）若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是. 13．已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 【答案】 【解析】当时，，解得，因此定义域必须包含，共种选择； 当时，，解得，值域需要包含， 因此定义域至少包含中的一个，可选方案为：，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 故可能得定义域又， ，共有个不同的函数. 14．设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 【答案】 【解析】法一：由已知条件得， 又， 令，则， 所以. 法二：令，得， 即， 将用代换得. 15．画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【解析】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 17．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 【解析】（1）取，得． （2）由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． （3）由题意得，故，解得， 又因为，因此． 18．（2026·高一·福建厦门·期中）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； 【解析】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2），，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. 19．（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）设函数，. (1)若不等式的解集，求，的值； (2)若，，，求的最小值，并求出取最小值时､的值； (3)若，且，求不等式的解集. 【解析】（1）因为不等式的解集， 可知方程的根为，且， 则，解得. （2）若，，，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9，此时. （3）若，且， 则，可得， 令，解得或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $