专题3.2 函数与方程、不等式之间的关系（高效培优讲义）（6大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦函数与方程、不等式的关系，系统梳理函数零点概念、函数零点与方程根及图像交点的关系、零点存在性定理、二分法求近似解等核心知识点，构建从概念理解到定理应用再到近似计算的学习支架。 资料通过表格对比二次函数、方程、不等式关系，结合即学即练、典例变式分层设计，培养学生几何直观（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）与数学表达能力。如题型04根据零点个数求参数值，课中助力教师系统教学，课后学生可通过练习查漏补缺。

专题3.2 函数与方程、不等式之间的关系 教学目标 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系 2.会根据函数零点的情况求参数 3.结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法 4.了解二分法是求方程近似解的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值 教学重难点 1.重点 （1）了解函数（结合二次函数）零点的概念； （2）理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系； （3）掌握零点存在性定理的运用. 2.难点 掌握零点存在性定理的运用 知识点01函数的零点 （1）函数零点的概念 一般地，如果函数在实数处的函数值等于零，即，则称为函数的零点． （2）函数零点的意义 不难看出，是函数零点的充分必要条件是，是函数图像与轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有： 方程有实数根⇔函数的图像与轴有交点⇔函数有零点． 注：(1)函数的零点就是方程的根，也就是函数与的图像交点的横坐标． (2)如果方程有两个相等的实数根，那么称为函数的二阶零点(二重零点).如就是函数的二阶零点． 【即学即练】函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 知识点02 一元二次不等式与对应函数、方程 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 的解集 的解集 【即学即练】已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 知识点03 函数零点存在性定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 【即学即练】已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点04 二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 【即学即练】用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 题型01求函数零点 【典例1】下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·广东东莞·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 【变式1-3】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 题型02 求函数零点个数 【典例2】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式2-2】（2026·高一·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】（2026·高一·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型03判断函数零点所在区间 【典例3】（2026·高一·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·广东深圳·期末）下列区间中，方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 题型04 根据函数零点（零点个数）求参数 【典例4】已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【变式4-1】方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【变式4-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【变式4-3】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 题型05 用二分法求零点近似值 【典例5】（2026·高一·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【变式5-1】下列是函数在区间上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程的一个近似解为___________（精确度0.1）． 【变式5-2】（2026·高一·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【变式5-3】用二分法求方程的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为________． 题型06 函数与方程的综合应用 【典例6】（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)当时，求的零点个数； (3)若关于的方程恰有2个解，求的值． 【变式6-1】（2026·高一·江西吉安·期末）已知函数（其中为常数）. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)试证明：函数为偶函数； (3)若对于任意，关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【变式6-2】（2026·高一·江西九江·期末）定义：若函数在其定义域内存在实数，使得，则称是的一个不动点．已知函数． (1)当时，求的不动点； (2)若对任意的实数恒有两个不动点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的图象上A，B两点的横坐标是的不动点，且的中点在函数的图象上，求的最小值． 【变式6-3】（2026·高一·福建厦门·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足了，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； (2)已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 4．（2026·高一·内蒙古鄂尔多斯·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 5．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·高二·辽宁·学业考试）已知函数，在下列区间中，一定存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（误差不超过0.05）可以是（    ） A．1.25 B． C．1.34375 D．1.375 8．函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·安徽马鞍山·期中）下列说法中正确的有（   ） A．与是同一个函数 B．函数在定义域内是减函数 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 10．（多选题）（2026·高一·广东·阶段检测）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： -2 -1 0 1 2 3 16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2 则函数一定有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·辽宁·期中）若函数有且只有两个正零点，则（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）已知定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 13．函数的零点是______. 14．已知函数的定义域为，图象连续不断，且在上单调，计算得，则可以确定零点所在区间为________. 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 16．用二分法求方程在区间内的实根，由计算器可算得，，，求下一个有根区间． 17．求函数的零点． 18．（2026·高一·宁夏银川·期末）若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象并求出函数的解析式； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 19．（2026·高二·云南·学业考试）已知为实数，函数，,是函数的零点. (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 1．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 7．（2026·高一·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 8．（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·福建厦门·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 11．（多选题）（2026·高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 12．（2026·高二·浙江舟山·期末）已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 13．已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 14．已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 15．已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 16．已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 17．（2026·高一·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)若函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数的取值范围. 18．（2026·高二·上海·期末）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数与方程、不等式之间的关系 教学目标 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系 2.会根据函数零点的情况求参数 3.结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法 4.了解二分法是求方程近似解的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值 教学重难点 1.重点 （1）了解函数（结合二次函数）零点的概念； （2）理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系； （3）掌握零点存在性定理的运用. 2.难点 掌握零点存在性定理的运用 知识点01函数的零点 （1）函数零点的概念 一般地，如果函数在实数处的函数值等于零，即，则称为函数的零点． （2）函数零点的意义 不难看出，是函数零点的充分必要条件是，是函数图像与轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有： 方程有实数根⇔函数的图像与轴有交点⇔函数有零点． 注：(1)函数的零点就是方程的根，也就是函数与的图像交点的横坐标． (2)如果方程有两个相等的实数根，那么称为函数的二阶零点(二重零点).如就是函数的二阶零点． 【即学即练】函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解方程，解得. 所以函数的零点是. 故选：A. 知识点02 一元二次不等式与对应函数、方程 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 的解集 的解集 【即学即练】已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 知识点03 函数零点存在性定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 【即学即练】已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 知识点04 二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 【即学即练】用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 题型01求函数零点 【典例1】下列图象表示的函数中有两个零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的零点是函数图像与轴的交点的横坐标，所以函数零点的个数即为函数图像与轴的交点个数. 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故答案选D． 【变式1-1】函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 【变式1-2】（2026·高一·广东东莞·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 【答案】B 【解析】因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 【变式1-3】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【解析】令，，即，解得或． 故选：C. 题型02 求函数零点个数 【典例2】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 【变式2-1】函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【解析】解法一：令，则. 由已知可设，，则. 所以，则. 又因为，所以，解得. 又因为，所以的取值为. 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以2是的零点. 综上所述，的零点有3个. 解法二：作出函数的图象，其与直线的交点个数即为函数零点的个数， 观察图象有，，共3个交点，即函数有3个零点. 【变式2-2】（2026·高一·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 【变式2-3】（2026·高一·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】， 令，可得或. 故选：C 题型03判断函数零点所在区间 【典例3】（2026·高一·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数， 故函数在有且仅有一个零点， 因为，， 所以函数的零点所在的区间为． 【变式3-1】（2026·高一·广东深圳·期末）下列区间中，方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设, 因为在上都是增函数, 所以函数在上是增函数, 而, 得, 所以函数在上存在唯一一个零点, 故方程的解所在的区间为, 故选：B 【变式3-2】（2026·高一·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然为增函数， ， ， ， ， ， ， 零点所在区间为. 故选：C. 【变式3-3】（2026·高一·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是上的减函数， 由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 故选：B 题型04 根据函数零点（零点个数）求参数 【典例4】已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 【变式4-1】方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 【变式4-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【答案】（满足即可） 【解析】函数定义域为， 对于方程，当时恒成立，因此是一个解. 再考虑的情况， 当时，方程化为，即， 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，即，此时，， 即方程有两个负根（时，两负根相等），此时方程在无解． 当且时，方程化为，即． 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，，此时，方程有两个负根（时，两负根相等）； 综上所述，当，方程在无解，在仅有一解，由于是一个解，符合题意； 当方程在仅有一解，在无解，由于是一个解，符合题意，所以，所以满足条件的可以是． 【变式4-3】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为. 题型05 用二分法求零点近似值 【典例5】（2026·高一·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【解析】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为： 【变式5-1】下列是函数在区间上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程的一个近似解为___________（精确度0.1）． 【答案】1.4 【解析】，且，且题目要求精确度为。 的一个近似解为． 故答案为：． 【变式5-2】（2026·高一·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【答案】 【解析】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 【变式5-3】用二分法求方程的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为________． 【答案】 【解析】因为，，， 所以下一个有根区间为， 故答案为：． 题型06 函数与方程的综合应用 【典例6】（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)当时，求的零点个数； (3)若关于的方程恰有2个解，求的值． 【解析】（1）由且，得的定义域为． （2）当时，因为函数和在上都是增函数，所以是增函数． 因为，所以的零点个数为 （3）令，得，显然是方程的1个解． 当时，，即．① 因为关于的方程恰有2个解，所以方程①只有1个不等于1的解． ，当且仅当时，等号成立． 当时，方程①无解，不符合题意； 当时，方程①恰有1个解（），符合题意； 当时，方程①有2个解（均不等于1），不符合题意． 综上，的值为2． 【变式6-1】（2026·高一·江西吉安·期末）已知函数（其中为常数）. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)试证明：函数为偶函数； (3)若对于任意，关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得 ， 故的最小值为2，当且仅当时取得最小值. （2）函数的定义域为，关于原点对称， 则， 令， 则， 即，即为偶函数. （3）设， 因，设，则 则在上有解等价于在上有解， 即在有解. 令，则由可得，即在上有解. 因为，而函数的对称轴为，则该函数在上单调递减， 故， 又因，所以， 则在上有解，即对任意，不等式恒成立， 故得， 故实数的取值范围为. 【变式6-2】（2026·高一·江西九江·期末）定义：若函数在其定义域内存在实数，使得，则称是的一个不动点．已知函数． (1)当时，求的不动点； (2)若对任意的实数恒有两个不动点，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的图象上A，B两点的横坐标是的不动点，且的中点在函数的图象上，求的最小值． 【解析】（1）当时，，         由，解得或， 故的不动点为0，3. （2）令，得，①     由题意知，方程①恒有两个不等实根，所以， 即对任意的实数恒成立，         则需，整理可得，解得， 故实数的取值范围是. （3）设， 是的不动点，， 所以的中点．         又点在的图象上， ，    ，②         而，是方程的两个根， ，③             ②③结合得，化简得，         ，     由（2）得， ∴当，即时，则. 【变式6-3】（2026·高一·福建厦门·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足了，则称为“局部反比例对称函数”. (1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； (2)已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数，则，令，即，，所以定义域内不存在实数，使，故函数不是“局部反比例对称函数”. （2）因为函数是“局部反比例对称函数”，所以，即，化简得，若等式成立，则，解得或，又因为，所以或. （3）函数，所以，因为是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，所以， 整理得，令，所以方程在上有解， 设，则其图象开口向上，对称轴为， 若，则函数在单调递增，所以，即，解得，故； 若，则函数在上有解，满足，即，解得，故； 综上所述，实数的取值范围为. 1．（2026·高一·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由解析式可知在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在区间为, 故选：A 2．（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 3．（2026·高一·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 4．（2026·高一·内蒙古鄂尔多斯·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 5．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以函数至少有4个零点， 故选：D． 6．（2026·高二·辽宁·学业考试）已知函数，在下列区间中，一定存在零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算；；；， 由零点存在定理可得一定存在零点. 故选：B. 7．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（误差不超过0.05）可以是（    ） A．1.25 B． C．1.34375 D．1.375 【答案】C 【解析】依题意，方程的一个近似根即函数的一个零点的近似值，该函数的定义域为，故函数在上连续. 因，满足，则该零点在区间内， 但，取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，则， 又因区间端点值不作为近似值，故可取为方程的一个近似根. 故选：C. 8．函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且函数在上单调递减， 而， 所以函数的零点所在区间是. 故选：C 9．（多选题）（2026·高一·安徽马鞍山·期中）下列说法中正确的有（   ） A．与是同一个函数 B．函数在定义域内是减函数 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 【答案】CD 【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 在定义域内不单调，故B错误； 对于C，在函数中，，则， 因此函数的定义域为，故C正确； 对于D，若方程有两个正实数根，则，解得，故D正确. 故选：CD. 10．（多选题）（2026·高一·广东·阶段检测）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： -2 -1 0 1 2 3 16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2 则函数一定有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由对应值表可得： ，，因为，所以函数在上存在零点，故A正确； ，，因为，所以函数在上存在零点，故C正确； ，，因为，所以函数在上存在零点，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（2026·高一·辽宁·期中）若函数有且只有两个正零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数有且只有两个正零点，设这两个正零点为， ，， 故选：BCD. 12．（多选题）已知定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】AD 【解析】设的零点为，且． 由，得或或． 由的图象可知满足条件的x的值有三个． 故方程有且仅有三个解，故A正确： 同理，最多有九个解，C错误； 因为有一个解，又每个对应的值只有一个相应的解，故有且仅有一个解，而最多有三个解，所以B错误，D正确， 故选AD． 13．函数的零点是______. 【答案】 【解析】由知， 令，解得：或， 所以函数的零点是. 14．已知函数的定义域为，图象连续不断，且在上单调，计算得，则可以确定零点所在区间为________. 【答案】 【解析】因为在上单调，所以在上至多有一个零点. 又由零点存在性定理，在上连续，， 所以在有零点，且该零点是唯一的. 所以可以确定零点所在区间为. 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【解析】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 16．用二分法求方程在区间内的实根，由计算器可算得，，，求下一个有根区间． 【解析】因为，，， 所以下一个有根区间为. 17．求函数的零点． 【解析】令，即. 又 ， 所以， 解得，，. 所以函数的零点是1，2，. 18．（2026·高一·宁夏银川·期末）若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象并求出函数的解析式； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 【解析】（1） 当时，，所以， 又是定义在上的偶函数，所以当时，， 综上，函数的解析式为； （2）若有2个不同的实数解，即函数与直线有2个交点， 所以由（1）中图象可知，实数的取值范围为或， 即. 19．（2026·高二·云南·学业考试）已知为实数，函数，,是函数的零点. (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意知，即为函数的一个零点， 则； （2）假设存在实数，使，， 则，解得， 即存在实数，使，，此时. 1．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出分段函数的图象如下： 结合图象可知，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是. 2．（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，，若函数在区间上恰好有个零点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 因为函数在区间上恰好有个零点， 所以， 所以的最大值是. 4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 5．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，函数的图象如下： 当时，方程有两个解，此时， 当时，方程有两个解，此时， 所以要使有4个解，则， 方程，即，由韦达定理， 方程，即，由韦达定理， 所以. 6．（2026·高一·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【解析】若关于的方程有且仅有2个不同的实数根， 则函数与有两个交点， 作出函数的图像如下： 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，无意义， 综上，实数的取值范围是，且； 故选：D 7．（2026·高一·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 8．（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图像如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. 9．（多选题）(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数恒成立，即． 因为，所以，解得． 结合选项可知实数a可以为． 10．（多选题）（2026·高一·福建厦门·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【解析】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 11．（多选题）（2026·高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】由，可得对称轴为，所以，A正确； 因为，所以，即，解得，B错误； 由在上的值域为，可知其最小值必为，故， 其最大值必为3，而，故须满足，解，得， 综上，，C正确； 因为在上不等式恒成立，所以， 因为，当且仅当时取得最小值，故，D正确. 故选：ACD 12．（2026·高二·浙江舟山·期末）已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 【答案】 【解析】二次函数有两个正零点， ，解得. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 13．已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 【答案】 【解析】由图可知，函数图象与轴有个交点，所以零点的个数为； 左右函数值异号的零点有个，所以用二分法求解的个数为． 14．已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意得函数的定义域为， 因为，所以对分四个范围进行讨论， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以函数，作出的简图： 由图象得. 因为题中原方程恰有6个不同实数解，即方程恰有6个不同实数解， 结合图象可知必有和，， 故关于的方程中，有，， 且当，时，关于的方程有4个不同实数解， 所以，，因为，所以. 15．已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 【解析】（1），， 即.又， ，则，. 又，，. （2）由题意得在内选取二等分点，则. ，∴在区间和内至少各有一个零点. 又最多有两个零点，∴方程在上有两个实根. 16．已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 【解析】（1）①当时，解得：，此时， 则的零点为，0，不合题意； ②当时，解得：，此时， 则的零点为，1，不合题意； ③当时，解得：， 当时，的零点为，不合题意； 当时，的零点为，不合题意； ④当时，， 解得：，此时满足方程在区间上有且仅有1个实根， 综上：a的取值范围是 （2）由的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 则，不合题意； 当 即 时，在 上递减， 则，不合题意； 当 即 时， 的最大值为 解得 （舍去）， 综上，a的值为 17．（2026·高一·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)若函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，可得，故； 令，可得，故. （2），证明如下： 法一：由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等，则，所以. 法二：，则有，因此，所以， 所以. （3）由，则： 令，即有实根， 当时，，则符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且， 可得且； 当与有公共实根时， 由可得，即， 所以，则， 代入得：，可得. 综上，. 18．（2026·高二·上海·期末）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $