3.3 函数的应用（一）教学设计 -2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数模型的实际应用，涵盖分段函数、一次函数、二次函数及均值不等式模型。通过生活中的阶梯水价情境导入，承接函数概念的学习，以具体实例搭建从实际问题到数学模型的学习支架，引导学生经历完整建模过程。 特色在于以真实情境驱动教学，整合分段计费、均匀变化等四类典型问题，突出数学建模流程。通过二次函数配方求最值、均值不等式应用等实例，培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达模型的能力，提升数学建模与运算素养，为教师提供清晰教学路径和可操作评价方式。

数学 教学设计-2026-2027学年 3.3 函数的应用（一） 人教B版 必修第一册 高一 章节名称 章节名称 3.3 函数的应用（一） 课标要求 结合具体实例，体会函数模型的应用 学科 数学 学段 高中一年级 教材 人教B版必修第一册 课时 1课时 课型 新授课 — — 本节运用函数知识解决实际问题，重点是分段函数、一次函数、二次函数与均值不等式模型的建立与求解。 课标要求 结合具体实例，理解函数可以描述一个量依赖于另一个量变化而变化的情况，会用函数知识解决简单的实际问题，经历数学建模的完整过程。 重点 分段函数建模、二次函数最值、均值不等式求最值的实际应用。 难点 从实际情境抽象出变量关系并写出自变量的取值范围，对结果的实际意义进行检验。 学习目标 经历设变量、找关系、列解析式（注明定义域）、求解、回归实际问题作答的建模过程，能用分段函数、一次函数、二次函数和均值不等式解决分段计费、均匀变化、最大收益、几何最值与最小成本问题，发展数学建模与数学运算素养。 评价设计 通过课堂提问观察学生能否正确设元并写出定义域；通过例题板演检查解析式与最值求解的准确性；通过随堂练习与课后作业评价学生完整建模、回归作答的能力。 教学过程 1. 新课导入：函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，因此函数知识在实际生活中有着广泛的应用，如阶梯水价、阶梯电价等。引出本节主题。设计意图：从生活计费情境切入，感受建模的必要性。 2. 例1（分段计费）：某市阶梯水价为每月用水不超过12吨每吨3元，超过12吨不超过18吨的部分每吨4.5元，超过18吨的部分每吨7元。写出水费f(x)并求用水15吨的水费。解：f(x)=3x（0≤x≤12）；f(x)=36+4.5(x-12)（12<x≤18）；f(x)=63+7(x-18)（x>18）。f(15)=36+4.5×3=49.5元。设计意图：掌握先分段求解析式、再代入求值的方法。 3. 例2（一次函数拟合）：某城镇常住人口2019年为8.5万，2023年为9.3万，每年增加量相等。设2019年起第t年人口为f(t)=kt+b。解：b=8.5，4k=0.8得k=0.2，f(t)=0.2t+8.5（t≥0），预测2027年（t=8）为10.1万。设计意图：体会用两组数据确定参数。 4. 例3（二次函数最值）：某宾馆有客房80间，每间每天定价200元时全部租出；定价每提高10元，就少租出2间。设提高x个10元，求每天收益最大时的定价。解：y=(200+10x)(80-2x)=-20x²+600x+16000（0≤x≤40），配方得y=-20(x-15)²+20500，即x=15时收益最大，最大值为20500元，此时定价350元。设计意图：掌握设变量、列式、配方求最值并检验定义域。 5. 例4（几何最值与均值不等式）：用36米篱笆围矩形场地，求最大面积；某产品生产x件时平均成本w=x+900/x（百元），求最小平均成本。解：设一边长x米，S=x(18-x)≤81，x=9时最大面积81平方米；w=x+900/x≥2√(x·900/x)=60，x=30时最小平均成本6000元。设计意图：沟通二次函数与均值不等式两条求最值路径。 6. 小结建模路径：设变量→找关系→列解析式（注意定义域）→求解→回归实际问题作答。作业：课本课后习题3.3第1、2、3题。 教学环节 主要内容 设计意图 新课导入 阶梯水价情境引入 感受建模必要性 例题探究 例1至例4四类模型 掌握建模与求最值方法 小结作业 归纳建模路径并布置作业 固化流程，迁移应用 板书设计 3.3 函数的应用（一） 建模路径：设变量→找关系→列解析式（定义域）→求解→回归作答 例3：y=(200+10x)(80-2x)=-20(x-15)²+20500，定价350元时收益最大20500元 学科网（北京）股份有限公司 $