专题2.2.1 不等式及其性质（高效培优讲义）（6大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“不等式及其性质”核心知识点，系统梳理从不等式定义、实数比较大小（作差法）到5个性质与5个推论的逻辑脉络，构建“定义-性质-方法-应用”的完整学习支架，涵盖判断不等式正确性、比较大小、求取值范围等题型。 资料特色在于结合糖水变甜等生活实例培养数学眼光，通过作差法、反证法等强化逻辑推理（数学思维），设计即学即练与分层练习。课中助力教师突破重难点，课后帮助学生巩固知识，体现用数学语言表达现实问题的应用意识。

专题2.2.1 不等式及其性质 教学目标 1、掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法. 2、反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法. 3、灵活选用不等式5个性质与5个推论。 教学重难点 1．重点 不等式的性质，并能利用性质解决问题；综合法、分析法证明问题的过程和推理特点 2．难点 综合法、分析法证明问题的过程 知识点01 不等式定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 【即学即练】如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 知识点02 实数比较大小 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【即学即练】已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【解析】设，则， 可得，， 因为，即， 且，，可得，所以. 知识点03不等式性质 性质1(可加性)　如果，那么 性质2(可乘性)　如果，，那么. 性质3(可乘性)　如果，，那么. 性质4(传递性)　如果，，那么. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果且，那么；如果且，那么. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若且，则，其中时必有且. 推论1(移项法则)　如果，那么. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果，，那么 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． 推论3(同向同正可乘性)　如果，，那么 推论4(可乘方性)　如果，那么(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果，那么. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由，，可以得到，但不能得到.需要特别注意的是，由，，不能得到，但可以得到.这是因为若，则，又，所以 【即学即练】设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 题型01 由已知条件判断不等式是否正确 【典例1】（2026·高一·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 【变式1-1】（2026·高三·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 【变式1-2】下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【解析】A.根据等式的性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； B.根据等式性质，可得如果，那么，正确，不符合题意； C.根据等式性质，可知如果，那么，正确，不符合题意； D.根据不等式的性质，如果，那么，所以，故此选项错误，符合题意. 【变式1-3】已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 题型02 由不等式的性质比较大小 【典例2】设，，则p与的大小为　________　． 【答案】p≥4q 【解析】因为， ， 则 , 故,当且仅当时取等号． 【变式2-1】若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【答案】 ≤ <1 【解析】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 【变式2-2】（2026·高一·北京·期中）比大小：________（填“，或”） 【答案】 【解析】因为，， 因为， 所以. 所以，所以. 故答案为：. 【变式2-3】（2026·高一·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、 “”或“”填空）． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为： 题型03 作差法比较大小 【典例3】（2026·高一·上海杨浦·开学考试）对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【解析】（1）证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间. （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于； （3），理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近. 【变式3-1】已知，试比较的大小. 【解析】因为， 所以. 【变式3-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【解析】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 【变式3-3】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【解析】（1），， ， ； （2）， ． 题型04 作商法比较大小 【典例4】试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【解析】(1)，理由如下： ， 由于，且 所以，即， 因此. (2)，理由如下： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【变式4-1】已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【解析】（1）证明： 因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． （2）证明： 由于对正数和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 【变式4-2】已知，试比较和的大小. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【变式4-3】若，求证：． 【解析】∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 题型05 不等式性质的应用 【典例5】求证：当 n 为正整数时，． 【解析】设，构造对偶式. 因为（），所以. 又，所以. 又，所以，命题得证. 【变式5-1】（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【解析】（1）由，， 则， 因为，可得，所以； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【变式5-2】（2026·高一·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【解析】（1）；证明： 利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）证明：因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 【变式5-3】（2026·高一·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【解析】（1） 不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. （2）由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 题型06 利用不等式求值或取值范围 【典例6】（2026·高一·海南·阶段检测）（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【解析】（1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 【变式6-1】已知，求的取值范围. 【解析】设，则，解得， 故. 由，， 得，， 两式相加得，即的取值范围为. 【变式6-2】已知，，求的取值范围． 【解析】因为，所以； 由． 所以， 即． 所以的取值范围为. 【变式6-3】（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【解析】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 1．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 2．（2026·高二·湖北·学业考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 3．（2026·高一·湖南张家界·阶段检测）设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 4．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 5．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·高二·云南玉溪·开学考试）已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 7．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 8．（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 9．（多选题）（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   【答案】ACD 【解析】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10．（多选题）（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A，因为，所以. 选项B，若，，满足，但不满足. 选项C，因为，所以，则，所以. 选项D，若，，不满足. 11．（多选题）（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【解析】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 12．若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 【答案】①③④ 【解析】因为，，所以，，所以，故①成立； 取，，，，代入②，可知②不成立； 因为，由不等式的可加性知，所以③成立； 由知，，由不等式的可加性知，所以④成立． 13．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 【答案】 【解析】由该班共有人，这笔开学费用共元，根据题意得. 14．（2026·高一·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【解析】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 15．已知，求证：. 【解析】证明：因为，所以， 所以. 16．已知，，求，，的范围． 【解析】，， ，， ，； ，， ， ． 17．（2026·高一·云南红河·阶段检测）已知，. (1)若，证明：. (2)求的取值范围. 【解析】（1）由，得， 当且仅当时取等号，且满足题设， 所以. （2）由，得；由，得， 因此，所以的取值范围是. 18．（2026·高一·宁夏中卫·阶段检测）已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 【解析】（1）， （2） （3）由条件， ， 又 1．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【解析】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 2．（2026·高一·上海杨浦·开学考试）已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，从而，. 由题可得，从而，则. 3．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【解析】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 4．（2026·高二·北京昌平·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 5．（2026·高二·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 6．（2026·高一·云南昭通·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】若，则，所以A选项错误； 根据不等式的性质可知，若，则，所以B选项正确； 当时，，所以C选项错误； 因为，所以，，由可知，所以D选项错误. 故选：B． 7．（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，即， 所以与同号， 对于A选项，当时，满足，，故不一定成立，错误； 对于B选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于C选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于D选项，由得，整理得，即，故正确. 故选：D 8．（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）下列几种说法中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，当时，满足，但不成立，故A错误； 对于B，因为，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：A 9．（多选题）（2026·高一·浙江·开学考试）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 10．（多选题）（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，则，所以D选项正确. 11．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】选项A ，已知，（由得），根据同向不等式的可加性： ，因此恒成立，A正确； 选项B ，已知，两边同时除以正数，不等号方向不变：，化简得，即恒成立，B正确； 选项C ，举反例：取，满足，此时，，，C错误； 选项D ，作差比较： ， 分析符号：，（，故），分母为正； ，，分子，因此差为正，即恒成立，D正确. 12．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【解析】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 13．某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【解析】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 14．配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 【答案】 【解析】设两种药分别配剂，则. 即. 15．比较大小. 【解析】由于，则. 16．比较大小. 【解析】取倒数得：三个倒数分别是：，同时减去30得， 而，则，即. 17．如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 【解析】因为仓库的长L大于宽W的4倍，所以， 因为矩形地基面积小于，所以， 则所求不等式组为. 18．（2026·高二·辽宁鞍山·期末）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 【解析】（1）因为，，，， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为，， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为，，则策略②购买的产品总量为，总金额为． （2）采用策略②比采用策略①更经济,理由如下： 采用策略①，两次购买物品的数量均为m，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为n，购买物品的数量为， 则两次平均价格为， 因为，，于是， 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2.1 不等式及其性质 教学目标 1、掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法. 2、反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法. 3、灵活选用不等式5个性质与5个推论。 教学重难点 1．重点 不等式的性质，并能利用性质解决问题；综合法、分析法证明问题的过程和推理特点 2．难点 综合法、分析法证明问题的过程 知识点01 不等式定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 【即学即练】如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 实数比较大小 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【即学即练】已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 知识点03不等式性质 性质1(可加性)　如果，那么 性质2(可乘性)　如果，，那么. 性质3(可乘性)　如果，，那么. 性质4(传递性)　如果，，那么. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果且，那么；如果且，那么. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若且，则，其中时必有且. 推论1(移项法则)　如果，那么. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果，，那么 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． 推论3(同向同正可乘性)　如果，，那么 推论4(可乘方性)　如果，那么(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果，那么. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由，，可以得到，但不能得到.需要特别注意的是，由，，不能得到，但可以得到.这是因为若，则，又，所以 【即学即练】设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型01 由已知条件判断不等式是否正确 【典例1】（2026·高一·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高三·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列变形错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1-3】已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 题型02 由不等式的性质比较大小 【典例2】设，，则p与的大小为　________　． 【变式2-1】若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【变式2-2】（2026·高一·北京·期中）比大小：________（填“，或”） 【变式2-3】（2026·高一·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、 “”或“”填空）． 题型03 作差法比较大小 【典例3】（2026·高一·上海杨浦·开学考试）对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【变式3-1】已知，试比较的大小. 【变式3-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【变式3-3】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 题型04 作商法比较大小 【典例4】试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【变式4-1】已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【变式4-2】已知，试比较和的大小. 【变式4-3】若，求证：． 题型05 不等式性质的应用 【典例5】求证：当 n 为正整数时，． 【变式5-1】（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【变式5-2】（2026·高一·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【变式5-3】（2026·高一·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 题型06 利用不等式求值或取值范围 【典例6】（2026·高一·海南·阶段检测）（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【变式6-1】已知，求的取值范围. 【变式6-2】已知，，求的取值范围． 【变式6-3】（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 1．若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·湖北·学业考试）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·湖南张家界·阶段检测）设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 4．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·高二·云南玉溪·开学考试）已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 8．（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．（多选题）（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   10．（多选题）（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）已知实数，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 12．若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 13．某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．设该班（除小李外）共有x人，这笔开学费用共y元，则x，y应满足的不等式组为______. 14．（2026·高一·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 15．已知，求证：. 16．已知，，求，，的范围． 17．（2026·高一·云南红河·阶段检测）已知，. (1)若，证明：. (2)求的取值范围. 18．（2026·高一·宁夏中卫·阶段检测）已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 1．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 2．（2026·高一·上海杨浦·开学考试）已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 4．（2026·高二·北京昌平·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 6．（2026·高一·云南昭通·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2026·高一·江苏宿迁·开学考试）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）下列几种说法中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选题）（2026·高一·浙江·开学考试）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 13．某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 14．配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 15．比较大小. 16．比较大小. 17．如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 18．（2026·高二·辽宁鞍山·期末）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $