专题3.1.3 函数的奇偶性（高效培优讲义）（8大题型）高一数学人教B版必修第一册

专题3.1.3 函数的奇偶性 教学目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想. 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 教学重难点 1.重点 （1）奇函数、偶函数的定义； （2）判断函数奇偶性的步骤； 2.难点 奇函数、偶函数图象的对称性； 知识点01函数奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练】（多选题）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 知识点02 奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练】已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 知识点03对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【即学即练】已知函数，若，则（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，， 则，故函数为偶函数， 则. 题型01函数奇偶性的定义与判断 【典例1】判断函数的奇偶性. 【解析】当时，； 当时，； 而当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. 【变式1-1】判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【解析】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数. （2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数. （3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数. （4）定义域：，即或，所以， ，所以，所以函数为奇函数 （5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数. 【变式1-2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 【变式1-3】求证：函数的图象关于y轴对称． 【解析】证明：的定义域为，关于原点对称． 又，∴函数为偶函数． 故函数的图象关于y轴对称. 题型02 由奇偶性求解析式 【典例2】已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 【变式2-1】设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【解析】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 【变式2-2】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【解析】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 【变式2-3】（2026·高一·山东枣庄·期末）已知函数． (1)判断在上单调性，并利用定义证明； (2)奇函数的定义域为．当时，，求的解析式． 【解析】（1） 函数在上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以函数在上单调递减. （2）因为是定义域为上的奇函数， 所以， 当时，， 当时，，此时， 由，所以， 即当时，， 所以. 题型03 由奇偶性求参数 【典例3】已知是偶函数，则函数的图象与y轴的交点的纵坐标的最大值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】由是偶函数，可得，即，可设， 由，可得函数图象与轴交点的纵坐标为， 因为， 且由得，所以， 所以，即函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是. 【变式3-1】（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数为偶函数，则（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数， 所以，即， 又因为， 可得，即 所以，解得. 故选：B. 【变式3-2】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）若函数是定义在实数集上的奇函数，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．3 【答案】D 【解析】因为函数是上的奇函数，所以. 代入，得，即，解得. 此时，为奇函数，符合题意. 故选：D 【变式3-3】（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）已知函数是奇函数，则（   ） A． B．0 C．2026 D．4052 【答案】B 【解析】当时，， 此时，， 因为函数为奇函数，则，则， 即. 则，， 所以. 故选：B. 题型04由奇偶性求值 【典例4】（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【答案】 【解析】. 【变式4-1】（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知函数是奇函数，当时，，则____. 【答案】 【解析】因为， 且是奇函数， 所以, 故答案为：. 【变式4-2】（2026·高一·天津和平·期中）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【解析】设，则，则， 所以，则. 故答案为：. 【变式4-3】（2026·高一·上海·阶段检测）已知为偶函数，若，则负数______. 【答案】 【解析】已知为偶函数，根据偶函数定义，， 则当时，，，而， 因此，当时，， 又，则，且，整理得， 设，，方程变为， 令函数， 因为函数在单调递增，函数在单调递增， 所以函数在单调递增，且， 所以方程有唯一解，即， 所以，即时，. 故答案为： 题型05 由奇偶性解不等式 【典例5】已知偶函数在上单调递增，则的解集为______ 【答案】 【解析】由题意得偶函数在上单调递增，若， 则，两边平方可得， 即，解得， 所以的解集为. 【变式5-1】（2026·高一·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数， 则函数在上也是单调递增函数，且， 当时，因为，不等式，即为，可得 当时，因为，满足； 当时，因为，可得， 则不等式，即为，可得， 综上可得，不等式的解集为. 【变式5-2】（2026·高一·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】关于的不等式，且， 所以，又因为是定义在上的偶函数， 所以，因为在单调递减， 所以，所以，即得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高一·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 题型06函数奇偶性的应用 【典例6】已知，则________. 【答案】 【解析】设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. 【变式6-1】已知函数且，则的值为________. 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以 . 【变式6-2】已知，若正实数满足，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】函数定义域为，且， 故为奇函数， 函数和在定义域上单调递增，故在定义域上单调递增， 已知，则， 所以，故， 已知， 所以， 当且仅当，即时取等号． 【变式6-3】（2026·高一·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 （符合题意任写一个即可） 8 【解析】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 题型07 抽象函数的奇偶性 【典例7】（2026·高一·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【解析】（1）令，则. （2）函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数. 【变式7-1】已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【解析】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 【变式7-2】（2026·高一·江西·期中）若函数的定义域是R，且对任意的，都有. (1)若，求； (2)求证：为奇函数. 【解析】（1）函数的定义域是R，且对任意的，都有， 令，得，若，则. （2）令，得，得， 令，得，则， 所以为奇函数. 【变式7-3】（2026·高一·云南昆明·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【解析】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 题型08 奇偶函数对称性的应用 【典例8】（2026·高一·贵州贵阳·期末）在初中，我们知道是正比例函数，是反比例函数，学习了幂函数以后，我们知道他们都是幂函数.不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数，例如幂函数与相加构成新函数，研究这类“和分式幂函数”时，通常从定义域、奇偶性、单调性、最值等方面入手——比如利用定义判断奇偶性，结合基本不等式（当时，，当且仅当时取等号）分析最值，通过取值描点或单调性定义探究图象变化趋势，发现图象成“对勾”状.类似地，若将中的分子“1”替换为正数k，可得到新函数，其性质与有共通之处；若将中的“x”替换为，可得到新函数，也可按上述路径进行研究. 定义域关联：函数定义域为，当时，；当时，，即. 奇偶性关联：是奇函数（满足），是偶函数（满足），偶函数的性质，可以先分析当时的性质，再通过对称性得到整个函数的性质. 单调性与最值关联：函数（其中，），由基本不等式得（当且仅当时取等号），且在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值. 请结合以上材料，解决下列问题： 已知函数，完成以下探究： (1)求函数的定义域，并将函数表示成分段函数的形式； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增，并判断在区间上的单调性； (3)若函数在区间上恒有，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由解析式知，故定义域为，； （2）在区间上单调递减，证明如下： ，则，、，且， 有 ， 、，则，， ，即， 在上单调递增，而在定义域上， ∴为偶函数，则在区间上单调递减； （3）由材料知，当时，，当且仅当时取等号， 且在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值6. 当时，或，即，此时. 为偶函数，则当时，，此时， 综上：a的取值范围为. 【变式8-1】（2026·高一·山东·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； (3)对，都有，求实数的取值范围． 附：． 【解析】（1） , 因为为奇函数，， 所以， 所以，且，解得， 所以函数的对称中心. （2）由（1），在上单调递增. 证明如下： 设， 则 ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）知， 所以，， 所以， 即， 所以， 因为单调递增，所以对成立， 即对成立， 所以对，，令，则恒成立， 由知，当时，， 所以. 【变式8-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期中）教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)利用上述材料，求函数的对称中心； (2)利用所学知识，证明函数在区间上是增函数.类比推理的单调性（不需要证明）；附立方差公式：. (3)也有同学发现可以将其推广为：若函数的图象关于点成中心对称，则，请根据该结论求不等式的解集. 【解析】（1）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数， 则，即，即， 因为 ， 所以，解得， 所以函数图象的对称中心为. （2）因为 ， 则，则， 即将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故函数在上是增函数. （3）因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域为， 对任意的，， 由可得，即， 因为函数在上是增函数， 则，即，解得或， 故不等式的解集为. 【变式8-3】（2026·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【解析】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故舍去， 所以解得. 1．（2026·高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】解法一：由于,可得关于点对称，故， 解法二：特殊值法：可令，， 当时，由基本不等式（当且仅当时取等号），可得， 同理可得当时，的最小值为。故当时，的最大值，最小值， 故 故选：B. 2．（2026·高二·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 3．（2026·高一·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 4．（2026·高一·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数， 当时，单调递增，符合题意； 对于C，在上单调递减，不符合题意； 对于D，在上单调递减，不符合题意. 5．（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 6．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据幂函数运算规则可得, 易知，因此A正确，B错误； 则，可得C错误，D错误. 7．（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 8．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【解析】若，则， 所以， 所以，，. 9．（多选题）（2026·高二·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 10．（多选题）（2026·高一·甘肃酒泉·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数与的图象关于原点对称 B．若函数是奇函数，则 C．函数的图象关于点对称 D．函数是偶函数，且在上单调递增 【答案】ACD 【解析】对于A：设为图象上的一点，其关于原点对称的点为，且， 对于，当时，， 所以点在函数图象上， 所以两个函数的图象关于原点对称，故A正确； 对于B：若为奇函数，其定义域可能不包含0，比如奇函数，不成立，故B错误； 对于C：函数图象向右平移1个长度单位，向上平移1个长度单位， 可得的图象， 而函数图象关于原点对称，所以图象关于对称，故C正确； 对于D：设，定义域关于原点对称，则， 所以，即为偶函数； 当时，，在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 11．若为偶函数，则的图象关于________对称；若为奇函数，则的图象关于________对称； 【答案】 【解析】为偶函数，且由向左平移一个单位得到，故的图象关于对称； 为奇函数，且由向右平移两个单位得到，故的图象关于对称. 12．已知定义在上的偶函数在区间上是增函数，则从小到大的关系是　________　. 【答案】 【解析】因为 是偶函数，所以 ，． 又因为 ，函数 在上为增函数，所以 ． ． 13．（2026·高二·浙江丽水·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【解析】函数是定义在上的偶函数，， 所以， 当时，单调递增， 所以，即， 解得， 不等式的解集为. 14．已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 【解析】（1）不妨设， 则 ． 因为，则，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为的定义域为， 因为，所以是奇函数． 且在上单调递增，可知在上单调递增， 因为，所以． 15．已知函数为偶函数，求实数的值. 【解析】因函数为偶函数，且定义域为，则对于任意的，， 取，得， 从而. 当时，满足题设，故. 16．（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【解析】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 1．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且，则. 对于不等式， 若，因为在区间上单调递增，可得，不合题意； 若，由奇函数对称性可知在区间上单调递增， 可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集为. 2．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 【答案】D 【解析】对任意有， 则令， 令，，， 令，则，故为上的奇函数， 则有， 所以， 故，故选D. 3．已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ， ， 解得． 4．若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，且， 故函数为定义域上的偶函数． 由得， 又当时，在上单调递增，所以，即,即，解得. 5．（2026·高一·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 6．（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 7．（2026·高二·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 8．（2026·高二·陕西渭南·期末）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【解析】已知函数，定义域为，关于原点对称. ，故是奇函数. ，因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 9．（多选题）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 【答案】CD 【解析】由①知为R上的偶函数， 由②知在上单调递增，则． 即，故A错误； 由得 所以，解得，故B错误； 画出的示意图如图所示， 等价于或， ，C正确； 由题意知在上单调递减，在上单调递增， 所以，故且满足题意，故D正确． 10．（多选题）（2026·高一·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【解析】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 11．（多选题）（2026·高一·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【解析】因为，， 对于选项A：令，得，解得，故A错误 对于选项B：令，得，即， 可知为奇函数，所以，故B正确； 对于选项C：任取，则，可得， 则， 即，可知在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 令，得，即，可得， 因为， 因为在定义域上单调递减， 则，即，即， 所以不等式的解集为，故D正确. 12．函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【解析】函数， 它的定义域为，． 又， 所以，故的图象的对称中心为. 13．已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【答案】2026 【解析】设，则， 所以， 所以. 14．（2026·高二·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【解析】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 15．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【解析】（1）为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． （2）证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 16．（1）函数是偶函数，且定义域是，求的值. （2）已知函数，若函数为偶函数，求的值. 【解析】（1）因为偶函数的定义域是，所以，得到； 所以是偶函数，所以，所以， 所以. （2）令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 17．若函数为奇函数，求的值. 【解析】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 18．已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值 (2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由函数为偶函数可知，对任何都有， 得，即对任何恒成立， 平方得对任何恒成立，而不恒为0， 则； （2）将不等式化为， 即（*）对任意恒成立， ①当时，将不等式（*）可化为，对上恒成立， 又在为单调递增， 只需，解得； ②当时，不等式（*）可化为对恒成立， 由①可知，则在为单调递减， 只需，解得或， 即； ③当时，将不等式（*）可化为对恒成立 又在为单调递增， 只需，解得或， 即， 综合①②③可知：的取值范围为. 19．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【解析】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2） 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.3 函数的奇偶性 教学目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想. 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 教学重难点 1.重点 （1）奇函数、偶函数的定义； （2）判断函数奇偶性的步骤； 2.难点 奇函数、偶函数图象的对称性； 知识点01函数奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练】（多选题）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 知识点02 奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练】已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 知识点03对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【即学即练】已知函数，若，则（    ） A．7 B． C．1 D． 题型01函数奇偶性的定义与判断 【典例1】判断函数的奇偶性. 【变式1-1】判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式1-2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【变式1-3】求证：函数的图象关于y轴对称． 题型02 由奇偶性求解析式 【典例2】已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【变式2-1】设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【变式2-2】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【变式2-3】（2026·高一·山东枣庄·期末）已知函数． (1)判断在上单调性，并利用定义证明； (2)奇函数的定义域为．当时，，求的解析式． 题型03 由奇偶性求参数 【典例3】已知是偶函数，则函数的图象与y轴的交点的纵坐标的最大值是（   ） A． B．2 C． D．4 【变式3-1】（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数为偶函数，则（　　） A． B．0 C． D．1 【变式3-2】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）若函数是定义在实数集上的奇函数，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．3 【变式3-3】（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）已知函数是奇函数，则（   ） A． B．0 C．2026 D．4052 题型04由奇偶性求值 【典例4】（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【变式4-1】（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知函数是奇函数，当时，，则____. 【变式4-2】（2026·高一·天津和平·期中）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则________． 【变式4-3】（2026·高一·上海·阶段检测）已知为偶函数，若，则负数______. 题型05 由奇偶性解不等式 【典例5】已知偶函数在上单调递增，则的解集为______ 【变式5-1】（2026·高一·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 【变式5-2】（2026·高一·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 【变式5-3】（2026·高一·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 题型06函数奇偶性的应用 【典例6】已知，则________. 【变式6-1】已知函数且，则的值为________. 【变式6-2】已知，若正实数满足，则的最小值为________． 【变式6-3】（2026·高一·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 题型07 抽象函数的奇偶性 【典例7】（2026·高一·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【变式7-1】已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【变式7-2】（2026·高一·江西·期中）若函数的定义域是R，且对任意的，都有. (1)若，求； (2)求证：为奇函数. 【变式7-3】（2026·高一·云南昆明·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 题型08 奇偶函数对称性的应用 【典例8】（2026·高一·贵州贵阳·期末）在初中，我们知道是正比例函数，是反比例函数，学习了幂函数以后，我们知道他们都是幂函数.不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数，例如幂函数与相加构成新函数，研究这类“和分式幂函数”时，通常从定义域、奇偶性、单调性、最值等方面入手——比如利用定义判断奇偶性，结合基本不等式（当时，，当且仅当时取等号）分析最值，通过取值描点或单调性定义探究图象变化趋势，发现图象成“对勾”状.类似地，若将中的分子“1”替换为正数k，可得到新函数，其性质与有共通之处；若将中的“x”替换为，可得到新函数，也可按上述路径进行研究. 定义域关联：函数定义域为，当时，；当时，，即. 奇偶性关联：是奇函数（满足），是偶函数（满足），偶函数的性质，可以先分析当时的性质，再通过对称性得到整个函数的性质. 单调性与最值关联：函数（其中，），由基本不等式得（当且仅当时取等号），且在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值. 请结合以上材料，解决下列问题： 已知函数，完成以下探究： (1)求函数的定义域，并将函数表示成分段函数的形式； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增，并判断在区间上的单调性； (3)若函数在区间上恒有，求实数a的取值范围. 【变式8-1】（2026·高一·山东·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； (3)对，都有，求实数的取值范围． 附：． 【变式8-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期中）教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知. (1)利用上述材料，求函数的对称中心； (2)利用所学知识，证明函数在区间上是增函数.类比推理的单调性（不需要证明）；附立方差公式：. (3)也有同学发现可以将其推广为：若函数的图象关于点成中心对称，则，请根据该结论求不等式的解集. 【变式8-3】（2026·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 1．（2026·高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2026·高二·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 6．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 8．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 9．（多选题）（2026·高二·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 10．（多选题）（2026·高一·甘肃酒泉·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数与的图象关于原点对称 B．若函数是奇函数，则 C．函数的图象关于点对称 D．函数是偶函数，且在上单调递增 11．若为偶函数，则的图象关于________对称；若为奇函数，则的图象关于________对称； 12．已知定义在上的偶函数在区间上是增函数，则从小到大的关系是　________　. 13．（2026·高二·浙江丽水·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 14．已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 15．已知函数为偶函数，求实数的值. 16．（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 1．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 2．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 3．已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 4．若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 7．（2026·高二·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 8．（2026·高二·陕西渭南·期末）已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 9．（多选题）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 10．（多选题）（2026·高一·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 11．（多选题）（2026·高一·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 12．函数的图象的对称中心为________． 13．已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 14．（2026·高二·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 15．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 16．（1）函数是偶函数，且定义域是，求的值. （2）已知函数，若函数为偶函数，求的值. 17．若函数为奇函数，求的值. 18．已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值 (2)当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2026·高一·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $