专题1.1.1 集合及其表示方法（高效培优讲义）（8大题型）高一数学人教B版必修第一册

专题1.1.1 集合及其表示方法 教学目标 1、掌握用列举法和描述法表示集合； 2、能够用区间表示集合． 3、在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的直观想象素养；对描述法的理解，提升学生的数学抽象素养．对给出的集合进行化简运算后用区间表示，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 教学重点：集合的表示、区间． 教学难点：对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合． 知识点01 集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母，，，…表示． 把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），通常用大写拉丁字母，，，…表示集合． 知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明． ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象． ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． 【即学即练】下列四组对象中，能构成集合的是（    ） A．很薄的纸 B．高个子的人 C．与2接近的数 D．所有的正方形 【答案】D 【解析】根据集合的定义知： 对于A中，很薄的纸中的元素不确定，不能构成集合； 对于B中，高个子的人的元素不确定，不能构成集合； 对于C中，与2接近的数的元素不确定，不能构成集合；     对于D中，所有的正方形元素是确定的，所以可以构成集合. 故选：D. 知识点02 元素与集合的关系 （1）属于（belong to）：如果是集合的元素，就说属于，记作 ． （2）不属于（not belong to）：如果不是集合的元素，就说不属于，记作． 【即学即练】不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 知识点03 集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性． （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性． （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性． 【即学即练】已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【解析】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 知识点04 集合的表示方法与分类 1、常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图． 3、集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集． （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集．有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示． （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集．通常用描述法表示． 【即学即练】下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 知识点05 区间的概念 1、区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，．如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2、含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即． 集合 区间 【即学即练】用区间表示下列集合： (1)； (2). 【解析】（1） （2） 题型 01 集合构成判定 【例1】下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解析】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 【变式1-1】（2026·高一·新疆巴州·阶段检测）下列各组对象可以组成集合的是（  ） A．相当大的数 B．某中学今年所有入校的高一新生 C．课本上较难的题 D．某班高个子的学生 【答案】B 【解析】ACD选项中的对象不满足确定性，ACD选项中的对象不能构成集合； B选项中的对象满足确定性、互异性和无序性，B选项中的对象可以构成集合. 故选：B. 【变式1-2】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）下列各选项中能构成集合的是（    ） A．比较大的数 B．中国农业人才 C．地球上的七大洲 D．高中学生中的跳远能手 【答案】C 【解析】比较大的数、中国农业人才、高中学生中的跳远能手研究的对象都是不确定的， A，B，D错误. 地球上有亚洲、非洲、欧洲、北美洲、南美洲、大洋洲和南极洲七大洲， 研究的对象是确定的，C正确. 故选：C 【变式1-3】下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集 B．著名的数学家 C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 【答案】A 【解析】对于A，不等式的解集为空集，可以构成集合，故A正确； 对于B，著名的数学家没有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C，非常接近0的数没有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D，面积非常小的三角形没有确定性，不成构成集合，故D错误； 故选：A 【变式1-4】（2026·高一·广东湛江·阶段检测）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 【答案】C 【解析】A选项，个子高是不明确的说法，故某学校个子高的学生不能构成集合，A错误； B选项，受欢迎是不明确的说法，故巴黎奥运会上受欢迎的运动员不能构成集合，B错误； C选项，2024年参加“两会”的代表是明确的，则2024年参加“两会”的代表能构成集合，C正确； D选项，精确度未确定的情况下，的近似值是不明确的说法，故其不能构成集合，D错误. 故选：C 题型 02 集合相等判定 【例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【变式2-1】（核心考点1集合（高一上学期期中备考研习室）（泸教版）【讲】）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 【变式2-2】（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 【变式2-3】（2026·高一·四川自贡·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 【变式2-4】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 题型 03 元素与集合关系判断 【例3】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 【变式3-1】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 【变式3-2】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 为有理数集，集合表示区间 内的所有有理数. 是无限不循环小数，属于无理数，不满足有理数条件，因此 即 . 【变式3-3】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，是负数，不是自然数，故错误； 对于B，因为集合A的元素是自然数，而{0}是一个集合，不是自然数，所以，故错误； 对于C，是无理数不是自然数，故错误； 对于D，因为，是无理数，故正确. 【变式3-4】（2026·高一·广西河池·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于方程，显然，，均不是方程的解， 是方程的解， 所以是集合的元素，故C正确； ，，均不是集合的元素，故A、B、D错误. 故选：C 题型 04 由元素与集合关系求参数 【例4】已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式4-1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 【变式4-2】（2026·高一·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 所以，解得， 故选：D 【变式4-3】（2026·高一·江西鹰潭·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 【变式4-4】（2026·高一·安徽安庆·期中）设集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．1或4 D．4 【答案】C 【解析】由于，所以或， 解得或， 当时，；当时，. 所以的值是或. 故选：C 题型 05 由集合元素个数求参数 【例5】已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【解析】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 【变式5-1】（2026·高一·天津河北·阶段检测）若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【答案】/ 【解析】当时，，符合题意； 当时，要使该集合只有一个元素， 必须且只需方程有两个相等的实根， 即，符合题意， 所以满足条件的实数构成的集合为， 故答案为： 【变式5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【解析】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 【变式5-3】（2026·高一·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【解析】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 【变式5-4】（2026·高一·安徽合肥·期中）若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____ 【答案】或 【解析】当时，，则，故，符合要求； 当时，，令，解得； 综上所述：满足条件的实数为或. 故答案为：或. 题型 06 由元素互异性求参数 【例6】（2026·高一·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【答案】1 【解析】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 【变式6-1】（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知，则___________ 【答案】或 【解析】当时，，，与集合元素的互异性矛盾； 当时，，，此时集合为，符合题意； 当时，显然，则，，，此时集合为，符合题意， 所以或. 故答案为：或. 【变式6-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，则______. 【答案】 【解析】由，所以 当时，，集合A中的元素出现重复，故舍去. 当时，得或（舍去）， 当时，，显然满足，所以. 综上可知，. 故答案为：. 【变式6-3】（2026·高三·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 【答案】1 【解析】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 【变式6-4】已知集合，，若，则实数__________. 【答案】 【解析】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 题型 07 列举法与描述法互化 【例7】已知集合，，，则C中元素的个数为______． 【答案】4 【解析】由题意，． 当时，，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以C中元素的个数为4． 故答案为：4 【变式7-1】用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【解析】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 【变式7-2】把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【解析】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 【变式7-3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【解析】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 【变式7-4】用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【解析】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 题型 08 区间与集合互化 【例8】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【解析】（1）用区间表示为，用数轴表示如图： （2）或用区间表示为，用数轴表示如图： （3）且用区间表示为，用数轴表示如图: （4）用区间表示为，用数轴表示如图： 【变式8-1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【解析】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 【变式8-2】用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【解析】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 【变式8-3】把下列数集用区间表示． (1)； (2)； (3)； (4)或． 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）或. 【变式8-4】用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； 【解析】（1） （2） （3） （4） 1．（2026·高一·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【解析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 2．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 3．若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C 4．（2026·高一·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 5．（2026·高一·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】将满足的全部列举出来， 即，共有4个. 故选：C. 6．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 由题意得. 故选：C 7．（2026·高一·江西九江·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 8．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）“设自然数集为”，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以，A错误；，B错误；，C错误；，D正确； 故选：D 9．（2026·高一·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 1．（多选题）（2026·高一·江西九江·阶段检测）若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 【答案】BCD 【解析】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，集合是“完美集”，因为，，则， 则，……，依次可得中含有所有的整数， 由于整数集Z为无限集，故“完美集”为无限集，B正确； C选项，实数集R满足（1），；（2）若，，则； （3）若，且，则，故实数集R是“完美集”，C正确； D选项，若集合S是“完美集”， ，则，， 又，则，D正确. 故选：BCD 2．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 【答案】ABD 【解析】对于A，讨论的符号并列出以下表格： 由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A正确. 对于B，选项:由，， 所以解不等式组得，其整数解所组成的集合为，故B正确. 对于C，若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格： 0 1 2 3 4 5 8 由表可知集合可以化简为，故C不正确. 对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格： 1 2 3 6 2 1 0 因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．存在且，满足 【答案】ABD 【解析】若， 对于A，，其中，故A正确； 对于B，若，不妨设， 则，，所以，故B正确； 对于C，若且，取，则，故C错误； 对于D，存在且，满足． 例如， 若， 则， 故，故D正确． 故选：ABD． 4．（多选题）（2026·高一·湖北·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【解析】A，因为，所以由题意方程的解为，故方程的解集为，A错误； B，由得，整数解的集合为，B正确； C，由于，且在，，中，当时，， 当时，，当时，， 故三者，，中至少有两个相等， 则由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，C正确； D，因为且，所以是6的正整数约数， 即，解得， 因此集合中含有4个元素，故D错误 故选：BC 5．（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【解析】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 6．（2026·高一·江西九江·阶段检测）非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. 【答案】1 【解析】因为非空数集满足：，都有， 又集合T中含有4个元素， 则，，，， 可得，所以. 故答案为：1. 7．（2026·高一·河北唐山·期中）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【解析】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 8．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【解析】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 9．设，，若，求集合B． 【解析】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 10．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【解析】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 11．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【解析】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 12．（01限时小练1集合的概念高中数学必修第一册�RA）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 13．已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【解析】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）存在1个，，理由如下： 设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.1 集合及其表示方法 教学目标 1、掌握用列举法和描述法表示集合； 2、能够用区间表示集合． 3、在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的直观想象素养；对描述法的理解，提升学生的数学抽象素养．对给出的集合进行化简运算后用区间表示，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 教学重点：集合的表示、区间． 教学难点：对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合． 知识点01 集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母，，，…表示． 把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），通常用大写拉丁字母，，，…表示集合． 知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明． ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象． ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． 【即学即练】下列四组对象中，能构成集合的是（    ） A．很薄的纸 B．高个子的人 C．与2接近的数 D．所有的正方形 知识点02 元素与集合的关系 （1）属于（belong to）：如果是集合的元素，就说属于，记作 ． （2）不属于（not belong to）：如果不是集合的元素，就说不属于，记作． 【即学即练】不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 知识点03 集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性． （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性． （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性． 【即学即练】已知，则实数的取值集合为___________. 知识点04 集合的表示方法与分类 1、常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图． 3、集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集． （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集．有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示． （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集．通常用描述法表示． 【即学即练】下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点05 区间的概念 1、区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，．如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2、含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即． 集合 区间 【即学即练】用区间表示下列集合： (1)； (2). 题型 01 集合构成判定 【例1】下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【变式1-1】（2026·高一·新疆巴州·阶段检测）下列各组对象可以组成集合的是（  ） A．相当大的数 B．某中学今年所有入校的高一新生 C．课本上较难的题 D．某班高个子的学生 【变式1-2】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）下列各选项中能构成集合的是（    ） A．比较大的数 B．中国农业人才 C．地球上的七大洲 D．高中学生中的跳远能手 【变式1-3】下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集 B．著名的数学家 C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 【变式1-4】（2026·高一·广东湛江·阶段检测）下列元素的全体能构成集合的是（ ） A．某学校个子高的学生 B．巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C．2024年参加“两会”的代表 D．的近似值 题型 02 集合相等判定 【例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（核心考点1集合（高一上学期期中备考研习室）（泸教版）【讲】）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-3】（2026·高一·四川自贡·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型 03 元素与集合关系判断 【例3】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式3-1】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·高一·广西河池·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 题型 04 由元素与集合关系求参数 【例4】已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【变式4-1】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·江西鹰潭·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【变式4-4】（2026·高一·安徽安庆·期中）设集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．1或4 D．4 题型 05 由集合元素个数求参数 【例5】已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【变式5-1】（2026·高一·天津河北·阶段检测）若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【变式5-2】（2026·高一·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【变式5-3】（2026·高一·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【变式5-4】（2026·高一·安徽合肥·期中）若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____ 题型 06 由元素互异性求参数 【例6】（2026·高一·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【变式6-1】（2026·高一·山西太原·阶段检测）已知，则___________ 【变式6-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，则______. 【变式6-3】（2026·高三·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 【变式6-4】已知集合，，若，则实数__________. 题型 07 列举法与描述法互化 【例7】已知集合，，，则C中元素的个数为______． 【变式7-1】用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【变式7-2】把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【变式7-3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【变式7-4】用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 题型 08 区间与集合互化 【例8】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【变式8-1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【变式8-2】用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【变式8-3】把下列数集用区间表示． (1)； (2)； (3)； (4)或． 【变式8-4】用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； 1．（2026·高一·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 2．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·江西九江·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）“设自然数集为”，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（多选题）（2026·高一·江西九江·阶段检测）若集合具有以下性质：（1），；（2）若，，则；（3）若，且，则.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（   ） A．集合是“完美集” B．“完美集”一定是无限集 C．实数集R是“完美集” D．若集合S是“完美集”，且，，则 2．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 3．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．存在且，满足 4．（多选题）（2026·高一·湖北·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 5．（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 6．（2026·高一·江西九江·阶段检测）非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. 7．（2026·高一·河北唐山·期中）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 8．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 9．设，，若，求集合B． 10．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 11．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 12．（01限时小练1集合的概念高中数学必修第一册�RA）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 13．已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $