专题3.1.2 函数的单调性（高效培优讲义）（8大题型）高一数学人教B版必修第一册

专题3.1.2 函数的单调性 教学目标 1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性 2、会借助图像和定义求函数的单调区间 3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值 4、会借助函数的单调性求最值 5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式 教学重难点 1.重点 （1）定义法证明函数的单调性 （2）函数最值的求法 2.难点 定义法证明函数的单调性 知识点01 函数单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即学即练】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 知识点02 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练】已知函数，且． (1)求的值，并证明在区间上单调递增； (2)若，且，求实数的取值范围． 知识点03 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【即学即练】已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 知识点04复合函数单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练】若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 题型01定义法判断或证明函数单调性 【典例1】利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 【变式1-1】已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【变式1-2】（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【变式1-3】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 题型02 求函数单调区间 【典例2】（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式2-3】（2026·高一·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 题型03 根据函数的单调性求参数 【典例3】（2026·高二·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·湖北襄阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数一定不可能为（    ） A． B． C．3 D．2 题型04 复合函数单调区间 【典例4】（2026·高一·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【变式4-3】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型05根据函数的单调性解不等式 【典例5】（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型06 根据单调性（图象）求最值或值域 【典例6】已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【变式6-1】设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【变式6-2】求的最大值 【变式6-3】求函数的最值． 题型07 根据函数的最值（值域）求参数 【典例7】已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 【变式7-1】给定一个函数，设函数的最大值为，求的最小值． 【变式7-2】（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【变式7-3】（2026·高一·四川德阳·期中）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知命题为假命题，求实数的取值范围. (3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 题型08 函数不等式恒成立、能成立问题 【典例8】（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式8-1】设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-2】已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【变式8-3】（2026·高一·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 1．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．函数在区间上的最大值是（　　） A．－ B．－1 C． D．3 3．若，则的最小值是（　　） A．－2 B． C．2 D．0 4．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象经过（    ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 5．（2026·高一·湖北武汉·期末）二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·江苏泰州·开学考试）已知函数的定义域为，命题“”是命题“是减函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（2026·高一·天津西青·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（多选题）已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 3 2 1 A．的定义域与值域相同 B． C．若，则 D．是减函数 10．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．（多选题）（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 12．函数在上的最大值和最小值分别是________. 13．函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 14．（2026·高一·上海·期末）若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. 15．已知函数. (1)求； (2)求函数的值域． 16．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 17．（2026·高一·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 18．（2026·高一·云南大理·期末）已知二次函数的零点分别为2和4. (1)求，的值； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. 1．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）当时，函数单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）对于两个实数a，b，规定表示a，b中的较大值，当时，，当时，，例如：，则函数的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·高一·黑龙江黑河·开学考试）若时，则的最大值与最小值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 5．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 7．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）设集合中的最大值与最小值分别为，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·广东深圳·阶段检测）在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·四川乐山·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 11．（多选题）（2026·高二·河南·阶段检测）若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 12．（2026·高一·陕西汉中·开学考试）已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 13．定义在上的函数满足： （1）； （2）当时，． 则集合中的最小元素是________． 14．已知函数在上的值域为，则的取值范围是________. 15．（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）（1）已知二次函数的图象过点，，，求此二次函数的表达式． （2）当时，求函数的最小值（其中为常数）． 16．（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 17．已知函数的定义域为，且对恒有，且，当时，． (1)求证：是单调增函数； (2)列举出具有这样性质的一个函数，并加以验证． 18．已知函数， (1)当时，求的最小值； (2)欲使恒成立，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.2 函数的单调性 教学目标 1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性 2、会借助图像和定义求函数的单调区间 3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值 4、会借助函数的单调性求最值 5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式 教学重难点 1.重点 （1）定义法证明函数的单调性 （2）函数最值的求法 2.难点 定义法证明函数的单调性 知识点01 函数单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即学即练】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【解析】的定义域为， 由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和， 故选：D 知识点02 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练】已知函数，且． (1)求的值，并证明在区间上单调递增； (2)若，且，求实数的取值范围． 【解析】（1）；证明如下： ， ，解得， ， 证明：，且， 则 ， ∵， ∴， ∴，即， 故在上单调递增； （2），， 又在上单调递增，且， ， 解得或． 知识点03 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【即学即练】已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【解析】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 知识点04复合函数单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练】若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 题型01定义法判断或证明函数单调性 【典例1】利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 【解析】任取，且， 则， 由于，则，即， 于是，即，故在上单调递减， 从而最大值是，最小值是. 【变式1-1】已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【解析】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【变式1-2】（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【解析】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 【变式1-3】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【解析】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 题型02 求函数单调区间 【典例2】（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 【变式2-1】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 【变式2-2】设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【解析】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 【变式2-3】（2026·高一·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 题型03 根据函数的单调性求参数 【典例3】（2026·高二·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 【变式3-1】（2026·高一·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 【变式3-2】（2026·高一·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式3-3】（2026·高一·湖北襄阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数一定不可能为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【解析】当时，， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增； 当时，， 是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的增区间为和，减区间为. 若在上单调递减，则，无解； 若在上单调递增，则或， 解得或. 故选：D 题型04 复合函数单调区间 【典例4】（2026·高一·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 【变式4-1】（2026·高二·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 【变式4-2】（2026·高一·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 【变式4-3】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得：，解得：或，所以函数的定义域为：， 令，则在上单调递减，在上单调递增； 则在上单调递减；结合复合函数单调性可得函数的单调递减区间是； 故选：D 题型05根据函数的单调性解不等式 【典例5】（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 【变式5-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 【变式5-2】（2026·高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可知恒成立，恒成立， 由是定义在上的减函数，且， 可得，解得． 故选：C. 【变式5-3】（2026·高一·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以两边同时除以，得到， 又，则在上单调递增，又，则， 由，得到， 即或，所以， 则，解得，又或， 所以或，故D正确. 故选：D. 题型06 根据单调性（图象）求最值或值域 【典例6】已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【解析】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 【变式6-1】设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【解析】（1）因为函数，所以， 故，所以，解得. （2）当时，， 所以，如图所示： 当时，，所以，如图所示： 综上所述：. 【变式6-2】求的最大值 【解析】设， 则，， ，当且仅当时等号成立， 所以. 【变式6-3】求函数的最值． 【解析】由， 因为，由对勾函数的性质知， 令，则有， 因为，所以， 当且仅当，即，即，即时取等， 所以函数的最小值为，无最大值． 题型07 根据函数的最值（值域）求参数 【典例7】已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 【解析】（1）证明：易知的定义域为， 要证明，只需证， 只需证， 只需证， 只需证，该式显然成立， 当且仅当时等号成立，故. （2）易知， 令， 由题意可知的最大值为， 则，所以， 而，故，即， 从而， 因为，当且仅当时等号成立， 由（1）知，当且仅当时等号成立， 故的值域为，故的值域为， 令，则， 令，则， 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 故的值为或. 【变式7-1】给定一个函数，设函数的最大值为，求的最小值． 【解析】函数的几何意义是数轴上点到点的距离， 在闭区间上，绝对值函数的最大值一定出现在区间的两个端点处. ，， 因此在区间上的最大值. 代表取到、两个距离中的较大值， 要让这个较大距离最小，应取在和的中点处，即， 此时，，两个距离相等， 即的最小值为. 【变式7-2】（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【解析】（1） 若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 【变式7-3】（2026·高一·四川德阳·期中）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知命题为假命题，求实数的取值范围. (3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 【解析】（1）若函数的定义域为，则对任意的， 由于函数的图象为开口向上的抛物线， 故只需要，解得， 所以实数的取值范围是. （2）命题为假命题 则任意为真命题， ， 而，等号成立时，， 因此，实数的取值范围是． （3）因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不满足条件，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或（舍去）； 综上所述：. 题型08 函数不等式恒成立、能成立问题 【典例8】（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 【变式8-1】设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】由题意，可得，即， 当时，，所以在上恒成立， 只需， 当时有最小值为1，则有最大值为3， 则，实数的取值范围是. 【变式8-2】已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）存在，理由如下： 不等式可化为，即， 要使对于任意恒成立，等价于， 而，所以， 故存在实数使不等式对于任意恒成立，此时需. （2）不等式可化为． 若存在一个实数，使不等式成立，只需， 又，则，所以. 所以所求实数的取值范围是. 【变式8-3】（2026·高一·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 1．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为函数在上具有单调性， 所以或，即或， 所以实数的取值范围为． 2．函数在区间上的最大值是（　　） A．－ B．－1 C． D．3 【答案】C 【解析】由函数，其中， 故函数在区间上单调递减，当时，函数取最大值为. 3．若，则的最小值是（　　） A．－2 B． C．2 D．0 【答案】B 【解析】任取，且，则， 因为，且， 故，， 故，即，故在上为减函数，当时，有最小值. 4．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象经过（    ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【解析】将点代入，得，解得. 因此所求函数为， 该函数的图象可由反比例函数的图象向右平移个单位长度， 再向上平移个单位长度得到，渐近线为和. 分区间讨论： 当时，，则，故： 当趋近于时趋近于，当趋近于时趋近于，即由时，由. 因此该区间图象经过第一象限及第四象限. 当时，，则，故， 当趋近于时趋近于，当趋近于时趋近于，即由时，由. 因此该区间图象位于第一象限及第二象限. 如图： 综上，函数图象经过第一、二、四象限. 5．（2026·高一·湖北武汉·期末）二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 6．（2026·高三·江苏泰州·开学考试）已知函数的定义域为，命题“”是命题“是减函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：若，此时不能得到是减函数， 故命题“”不是命题“是减函数”的充分条件； 必要性，由是定义域为的减函数，则， 故命题“”是命题“是减函数”的必要条件， 即命题“”是命题“是减函数”的必要且不充分条件. 7．（2026·高一·天津西青·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 8．（2026·高一·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 由在上单调递增，可得， 所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．（多选题）已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 3 2 1 A．的定义域与值域相同 B． C．若，则 D．是减函数 【答案】AC 【解析】由题意，的定义域为，值域为，故A正确， ，定义域并非实数，故B错误， 若，则，所以，故C正确， 减函数是对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有， 这里定义域仅三个值，并非区间，所以在定义域上不具有单调性，故D错误． 10．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【解析】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 11．（多选题）（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 12．函数在上的最大值和最小值分别是________. 【答案】，1 【解析】， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，. 13．函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 【答案】 【解析】，故其对称轴为，结合函数图象知其单调递减区间是，单调递增区间是. 14．（2026·高一·上海·期末）若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】由，可得二次函数的对称轴为， 又因为在区间上是严格递减函数，所以，解得. 15．已知函数. (1)求； (2)求函数的值域． 【解析】（1）. （2）， 因为，所以， 所以， 即函数的值域是 16．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处） 则函数的单调减区间为， 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 17．（2026·高一·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【解析】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 18．（2026·高一·云南大理·期末）已知二次函数的零点分别为2和4. (1)求，的值； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由二次函数的零点分别是2和4， 2和4是方程两个根， 解得，. （2）由（1）得，函数， ，因为对于，恒成立，即，恒成立， 当时，可得，所以， 所以实数的取值范围为. 1．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）当时，函数单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，显然符合； 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合； 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减， 此时需满足，即. 综上，实数的取值范围是. 2．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 3．（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）对于两个实数a，b，规定表示a，b中的较大值，当时，，当时，，例如：，则函数的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】令，解得或， 当或时，， 此时，当时取最小值， 当时，， 此时，因为，所以， ，则，即此时, 综上， 的最小值为1. 4．（2026·高一·黑龙江黑河·开学考试）若时，则的最大值与最小值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】令，由可得，且， 代入原函数得，，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为， 将代入函数，得； 开口向下的二次函数在闭区间上的最小值在端点处取得， 分别代入端点： 当时，； 当时，； 比较得， 因此当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为. 5．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，其对称轴为， 要使函数在上是单调函数，则对称轴不在开区间上， 所以或，解得或，即的取值范围是. 6．（2026·高一·甘肃嘉峪关·开学考试）已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由二次函数的图象向右平移3个单位长度，得的图象， 依题意，的图象过原点，则，解得， 因此二次函数为， 该函数图象对称轴为，而当时，的最大值为2， 则当时，，，解得，符合题意； 当时，，，解得，符合题意， 所以的值为或. 7．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）设集合中的最大值与最小值分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】表达式中，为关于的减函数，为关于的增函数， 结合约束，当、时表达式取最大值： ，满足约束条件，成立. 对固定的，由得，当且仅当时取等号. 又，当且仅当即时，等号成立. 因为，此时，满足约束，故. 所以，. 8．（2026·高一·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 9．（多选题）（2026·高一·广东深圳·阶段检测）在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于选项A：因为函数的定义域为，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为在内单调递增，则， 所以函数的最小值不为2，故C错误； 对于选项D：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故D正确. 10．（多选题）（2026·高一·四川乐山·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【解析】令，解得，所以的定义域为，A正确； ，在上单调递减，在上单调递减，B错误； 在上单调递减，最小值不存在，C错误； 因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确. 11．（多选题）（2026·高二·河南·阶段检测）若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【解析】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 12．（2026·高一·陕西汉中·开学考试）已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 同时需满足分段点处左段函数值不大于右段函数值，即， 整理得，对任意实数恒成立. 综上，函数在上单调递增的充要条件为. 因为是在上单调递增的必要条件，即单调递增可推出恒成立， 所以需小于等于的最小值，即，故的最大值为. 13．定义在上的函数满足： （1）； （2）当时，． 则集合中的最小元素是________． 【答案】11 【解析】当时，，通过分类讨论易画出该函数图象， 通过图象可知，在上单调递增，在上单调递减，且； ； 对，，有，所以， 当时，，函数在此区间单调递增， 当时，，函数在此区间单调递减， 所以函数在区间上有极大值； 当时，，因此要使，； 当时，即，， 令，解得或（舍去）， 因此集合中的最小元素是11． 14．已知函数在上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】二次函数图象的对称轴为直线， 在上的值域为， 又因为，由图可知． 15．（2026·高一·辽宁沈阳·开学考试）（1）已知二次函数的图象过点，，，求此二次函数的表达式． （2）当时，求函数的最小值（其中为常数）． 【解析】（1）设出二次函数表达式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，利用二次函数性质分段求出最小值. 【详解】 （1）设二次函数的表达式为， 则，解得， 所以所求二次函数的表达式为. （2）函数，当，即时，，取得最小值； 当时，，取得最小值；当时，，取得最小值， 所以当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. 16．（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【解析】（1）将，代入得， 即， 因为当时，，所以， 所以．     （2）证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． （3）单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 17．已知函数的定义域为，且对恒有，且，当时，． (1)求证：是单调增函数； (2)列举出具有这样性质的一个函数，并加以验证． 【解析】（1）因为，令，则，即． 因为，所以，即，解得． 对任意的，有， 即， 化简得， 因为，所以，则， 因为当时，，所以， 因此，所以在定义域上是单调增函数． （2）， 对，有 ，所以； 且函数为一次函数，在定义域上单调递增，而， 所以当时，； 综上所述，函数具有题目所给性质 18．已知函数， (1)当时，求的最小值； (2)欲使恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）， 因为时，是增函数，所以， 因为时，是减函数，所以， 所以，最小值为1. （2）转化为在时恒成立. ①当即时，不等式可转化为或，从而或， 而在上是递增的，值域是，故满足的不存在； 又在上也是递增的，且时，最小值为2，故； ②当时，即时，不等式对于恒成立. 综上所述：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $