3.1.3 函数的奇偶性教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的奇偶性核心知识点，通过回顾平面直角坐标系中点的对称关系，引导学生思考函数图象对称的代数表达，衔接已学的函数概念与单调性，搭建从几何直观到代数定义的学习支架。 此资料亮点在于以数学眼光构建数形联系，通过定义域对称前提辨析、f(0)=0推导等环节培养数学思维，例2结合图象画奇函数另一半等实例强化数学语言表达，规范判断步骤的教学方法助力学生掌握奇偶性应用，也为教师提供清晰教学路径。

教学设计-2026-2027学年 数学 3.1.3 函数的奇偶性 人教B版 必修第一册 高一 一、课型 课题 函数的奇偶性 课型 新授课 课时 1 章节 第三章 3.1函数的概念与性质 版本 人教B版 必修第一册 学段 高一 二、学习目标 1. 理解偶函数与奇函数的定义，能准确表述f(−x)=f(x)与f(−x)=−f(x)的含义，掌握图象关于y轴对称、关于原点对称的对应关系。 2. 掌握用定义法判断函数奇偶性的规范步骤，能识别定义域关于原点对称这一前提条件，会判定非奇非偶函数。 3. 能运用奇偶性简化函数性质的研究，理解偶函数在x>0与x<0时单调性相反、奇函数在x>0与x<0时单调性相同的规律。 三、学情分析 高一学生在前面已学习了函数的概念与单调性，对研究函数性质的基本路径有初步认识，具备了一定的数形结合意识。但学生尚未系统接触图象对称性与代数关系的互相转化，容易忽视定义域关于原点对称这一前提条件，直接套用公式判断奇偶性。此外，奇函数在0处有定义时f(0)=0这一结论需要引导学生从定义出发推导理解。 四、教学内容及教师活动设计 1. 复习引入。在平面直角坐标系中，点(x,y)关于y轴的对称点为(−x,y)，关于原点的对称点为(−x,−y)。教师引导学生回顾这一对称关系，并提问：如果函数图象整体具有关于y轴或关于原点对称的特征，其自变量与函数值之间应满足怎样的代数关系？由此引入本节课主题——函数的奇偶性。 2. 概念建构。教师给出偶函数与奇函数的教材定义。一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有−x∈D，且f(−x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数。一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有−x∈D，且f(−x)=−f(x)，则称y=f(x)为奇函数。偶函数的图象关于y轴对称；反之，结论也成立，即图象关于y轴对称的函数一定是偶函数。奇函数的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数。如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性。 3. 前提辨析。教师强调，定义中“对D内的任意一个x，都有−x∈D”这一条件，实质上要求定义域D关于原点对称。若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶函数。教师追问：若奇函数在x=0处有定义，f(0)等于多少？学生活动：由定义f(−0)=−f(0)，即f(0)=−f(0)，解得f(0)=0。设计意图：引导学生从定义出发自然推导，避免死记结论。 4. 典型例题。 例1. 判断下列函数的奇偶性。 （1）f(x)=x²，x∈[−1,1]；（2）f(x)=x³+x；（3）f(x)=x²+x，x∈(−∞,+∞)。 解析： （1）定义域[−1,1]关于原点对称。对任意x∈[−1,1]，−x∈[−1,1]，且f(−x)=(−x)²=x²=f(x)，所以f(x)是偶函数。 （2）定义域(−∞,+∞)关于原点对称。f(−x)=(−x)³+(−x)=−x³−x=−(x³+x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数。 （3）定义域(−∞,+∞)关于原点对称。f(−x)=(−x)²+(−x)=x²−x，而f(x)=x²+x，f(−x)既不等于f(x)也不等于−f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数。 答案：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数。 例2. 已知奇函数f(x)在x>0时的图象如图所示，试画出x<0时的图象，并指出f(1)与f(−1)的关系。 解析：奇函数图象关于原点对称。已知x>0部分的图象为抛物线段y=x²（0<x≤2），将这部分图象上每个点(x,y)关于原点对称到(−x,−y)，得到x<0部分的图象。由奇函数定义，f(−1)=−f(1)。从已知图象可知f(1)=1²=1，因此f(−1)=−1。 答案：x<0时的图象为y=−x²（−2≤x<0）的曲线段；f(1)=1，f(−1)=−1。 5. 性质拓展。因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究。如果y=f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；如果y=f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同。教师指出：n是正整数时，f(x)=x²ⁿ是偶函数，g(x)=x²ⁿ⁻¹是奇函数。知道函数是奇函数或偶函数，其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出其中一部分的性质和图象，就可得出另一部分上的性质和图象。 6. 课堂练习。 练习1. 判断函数f(x)=（x≠0）的奇偶性。 解析：定义域(−∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称。f(−x)==−=−f(x)，所以f(x)是奇函数。答案：奇函数。 练习2. 若函数f(x)=x²+ax在(−∞,+∞)上是偶函数，求实数a的值。 解析：f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)对任意x成立。f(−x)=(−x)²+a(−x)=x²−ax，由x²−ax=x²+ax，得−2ax=0对任意x成立，因此a=0。答案：a=0。 练习3. 已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，判断f(x)在区间(−∞,0]上的单调性，并说明理由。 解析：奇函数在x>0与x<0时的单调性相同。已知f(x)在[0,+∞)上单调递增，则f(x)在(−∞,0]上也单调递增。答案：单调递增。 7. 课堂小结。本节课学习了偶函数与奇函数的定义，核心是f(−x)=f(x)与f(−x)=−f(x)。判断奇偶性的规范步骤为：先求定义域并判断是否关于原点对称，再计算f(−x)并与f(x)、−f(x)比较。定义域不关于原点对称则直接判定为非奇非偶函数。奇偶性的价值在于利用对称性简化研究，偶函数两侧单调性相反，奇函数两侧单调性相同。 五、板书设计 第一行：函数的奇偶性——偶函数：f(−x)=f(x)，图象关于y轴对称；奇函数：f(−x)=−f(x)，图象关于原点对称。 第二行：判定步骤：1.定义域关于原点对称？ 2.计算f(−x)与f(x)、−f(x)比较；性质：偶函数两侧单调性相反，奇函数两侧单调性相同。 六、作业设计 1. 判断下列函数的奇偶性：f(x)=x⁴，x∈[−2,2]；f(x)=2x−1；f(x)=x²+（x≠0）。 答案：f(x)=x⁴，定义域[−2,2]关于原点对称，f(−x)=(−x)⁴=x⁴=f(x)，偶函数；f(x)=2x−1，定义域(−∞,+∞)关于原点对称，f(−x)=−2x−1，f(−x)既不等于f(x)也不等于−f(x)，非奇非偶函数；f(x)=x²+，定义域(−∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，f(−x)=(−x)²+=x²−，f(−x)既不等于f(x)也不等于−f(x)，非奇非偶函数。 2. 已知f(x)是定义在[−a,a]上的奇函数，且f(a)=3，求f(−a)的值。 答案：f(x)为奇函数，f(−a)=−f(a)=−3。 3. 若f(x)=(m−1)x²+nx是偶函数，求m与n满足的条件。 答案：f(−x)=(m−1)x²−nx，由f(−x)=f(x)得−nx=nx对任意x成立，故n=0；m−1为任意实数，即m∈R。 七、教学反思 本节课从点的对称关系出发引入函数图象的对称性，再过渡到代数定义，符合学生的认知规律。偶函数与奇函数定义采用教材原文口径表述，确保概念准确。从课堂练习反馈看，学生对定义域关于原点对称这一前提条件的重视程度有所提高，但在处理含分式的函数时，计算f(−x)仍有符号出错的情况，后续需加强符号运算训练。例2结合图象直观呈现奇函数的对称性，帮助学生理解奇偶性简化研究的作用，效果较好。 学科网（北京）股份有限公司 $