第3章 3.1.2 第2课时 函数的平均变化率（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学函数的平均变化率核心知识点，先通过直线斜率公式（两点连线倾斜程度）搭建基础，进而定义函数平均变化率（函数图象两点连线斜率），最终建立单调性与平均变化率符号的充要关系，形成从几何直观到代数刻画的学习支架。 该资料以“用两点连线性质刻画单调性”问题驱动，培养数学眼光，通过例2计算平均变化率、例3证明单调性等例题及跟踪训练，发展数学思维（推理与运算能力），用Δx、Δy符号语言精确表达变化率，体现数学语言特色。课中助力教师引导学生从形到数理解，课后课时对点练帮助学生巩固，查漏补缺。

第2课时　函数的平均变化率 学习目标　1.了解直线的斜率及意义.2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系.3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性. 导语 从形的角度理解函数单调性，限制条件的对象是图象上的任意两点.我们知道，两点确定一条直线.那么，能否用图象上任意两点连线的相关性质来刻画单调性呢？带着这样的疑问，开始我们今天的学习. 一、直线的斜率公式及应用 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在. 若记Δx=x2-x1，相应的Δy=y2-y1，则当Δx≠0时，斜率可记为. 注意点： (1)直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. (2)当直线垂直于x轴时，其斜率不存在；当直线垂直于y轴时，其斜率为0. (3)当点A与点B位置调换时，斜率不变. 例1　已知直线l过点M(m+1，m-1)，N(2m，1).当m为何值时，直线l的斜率是1？ 解　因为直线l的斜率是1，所以=1， 即=1，解得m=. 反思感悟　利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的. (2)斜率公式与两点A，B的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 跟踪训练1　已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，求实数a的值. 解　∵A，B，C三点共线，且3≠-2， ∴BC，AB的斜率都存在，记BC的斜率为Δy1，AB的斜率为Δy2，则Δy1=Δy2. Δy2==Δy1== ∴=解得a=2或a=. 二、平均变化率的计算 一般地，当x1≠x2时，称=为函数y=f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率. 注意点： (1)平均变化率可正可负，也可为零. (2)平均变化率的几何意义是函数y=f(x)图象上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率. (3)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度. 例2　已知函数f(x)=2x2+1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求当x0=1，Δx=时平均变化率的值. 解　(1)由已知得Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx)， ∴==4x0+2Δx. (2)由(1)可知=4x0+2Δx， ∴当x0=2，Δx=0.01时=4×2+2×0.01=8.02. (3)由(1)可知=4x0+2Δx， ∴当x0=1，Δx=时=4×1+2×=5. 反思感悟　求平均变化率的主要步骤 跟踪训练2　 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1+at)cm，a为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率. 解　设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为 ΔS=102[1+a(t+Δt)]2-102(1+at)2=200(a+a2t)Δt+100a2(Δt)2， 所以平均膨胀率为=200(a+a2t)+100a2Δt. 三、利用平均变化率证明函数的单调性 问题1　函数y=f(x)的图象如图，如果在区间[6，17]对应的曲线上任取不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)=一定大于零吗？ 如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同的两点C(x3，y3)，D(x4，y4)=一定大于零吗？ 提示　在[6，17]上一定大于零；在[2，10]上不一定大于零，但在[2，6]上一定小于零，在[6，10]上一定大于零. 问题2　该函数在[6，17]及[2，10]上的单调性是怎样的呢？ 提示　该函数在[6，17]上单调递增；在[2，10]上不单调，其中在[2，6]上单调递减，在[6，10]上单调递增. 知识梳理　函数递增、递减的充要条件 一般地，若区间I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1=f(x1)，y2=f(x2)=则： (1)y=f(x)在区间I上是增函数的充要条件是>0在区间I上恒成立； (2)y=f(x)在区间I上是减函数的充要条件是<0在区间I上恒成立. 例3　(课本例3)求证：函数y=在区间(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数. 证明　设x1≠x2，那么==-. 如果x1，x2∈(-∞，0)，则x1x2>0，此时<0，所以函数在(-∞，0)上是减函数.同理，函数在(0，+∞)上也是减函数. 例3　证明函数f(x)=(x>0)在(0，1]上是增函数，在[1，+∞)上是减函数，并求这个函数的最值. 解　设x1≠x2， 则== =. 当x1，x2∈(0，1]时，有1-x1x2>0， 从而>0， 因此f(x)在(0，1]上是增函数. 当x1，x2∈[1，+∞)时，有1-x1x2<0，从而<0， 因此f(x)在[1，+∞)上是减函数. 由函数的单调性可知，函数没有最小值； 当x∈(0，1]时，f(x)≤f(1)，当x∈[1，+∞)时，f(x)≤f(1). 因此f(1)=是函数的最大值. 反思感悟　(1)利用平均变化率判断或证明函数的单调性的4个步骤 ①取值：任取x1，x2∈I，且x1≠x2. ②计算：求Δy=f(x2)-f(x1)，Δx=x2-x1. ③判符号：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性. ④下结论：若>0，则f(x)在区间I上是增函数；若<0，则f(x)在区间I上是减函数. (2)单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则 ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②f(x)与a·f(x)，当a>0时具有相同的单调性；当a<0时具有相反的单调性. ③当f(x)≥0时，y=与y=f(x)具有相同的单调性. ④当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x)与具有相反的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 跟踪训练3　(课本例5)证明函数f(x)=x2+2x在(-∞，-1]上是减函数，在[-1，+∞)上是增函数，并求这个函数的最值. 证明　设x1≠x2，则===x1+x2+2. 因此：当x1，x2∈(-∞，-1]时， 有x1+x2<-2，从而<0， 因此f(x)在(-∞，-1]上是减函数； 当x1，x2∈[-1，+∞)时，有x1+x2>-2，从而>0，因此f(x)在[-1，+∞)上是增函数. 由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且，当x∈(-∞，-1]时，有f(x)≥f(-1)， 当x∈[-1，+∞)时，不等式也成立， 因此f(-1)=-1是函数的最小值. 跟踪训练3　证明：f(x)=是定义域上的增函数. 证明　∵函数f(x)=的定义域为[0，+∞)， ∴任取x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2， 则== ==>0， ∴函数f(x)=在定义域[0，+∞)上是增函数. 1.知识清单： (1)直线的斜率. (2)函数的平均变化率. (3)函数单调性的充要条件. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：直线与x轴垂直时直线的斜率存在性问题. 1.在函数平均变化率的定义中，Δx应满足(　　) A.Δx>0 B.Δx<0 C.Δx≠0 D.Δx=0 答案　C 解析　由函数平均变化率的定义，知Δx≠0. 2.已知函数y=x2+4的图象上两点A，B，xA=1，xB=1.3，则直线AB的斜率为(　　) A.2 B.2.3 C.2.09 D.2.1 答案　B 解析　∵yA=5，yB=5.69， ∴直线AB的斜率为===2.3. 3.如果函数y=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a等于(　　) A.-3 B.2 C.3 D.-2 答案　C 解析　根据函数平均变化率的定义，可知==a=3. 4.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为　　　.  答案　-1 解析　由函数平均变化率的定义可得，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为===-1. 课时对点练 [分值：85分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.对于函数y=当Δx=1时，Δy的值是(　　) A.1 B.-1 C.0.1 D.不能确定 答案　D 解析　只由Δx=1不能确定区间的端点，Δy的值不能确定. 2.某物体的运动方程为s=5-2t2，则该物体在时间[1，1+d]上的平均速度的大小为(　　) A.2d+4 B.-2d+4 C.2d-4 D.-2d-4 答案　D 解析　平均速度的大小为=-4-2d. 3.如果过点P(-2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为(　　) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案　A 解析　由题意得=1且m≠-2，解得m=1. 4.已知函数f(x)=2x2-4的图象上两点A，B，且xA=1，xB=1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　　) A.4 B.4x C.4.2 D.4.02 答案　C 解析　===4.2. 5.若函数f(x)=x2-t在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　由题意得===m+1=3，∴m=2. 6.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1，-2)及附近一点(1+Δx，-2+Δy)，则等于(　　) A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2 答案　 C 解析　∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-2=4Δx+2(Δx)2，∴=4+2Δx. 7.(5分)函数f(x)=-1在区间[2，3]上的平均变化率为　　　　.  答案　- 解析　函数f(x)=-1在区间上的平均变化率为==-. 8.(5分)已知曲线y=-1上两点AB当Δx=1时，直线AB的斜率为　　　　.  答案　- 解析　Δy=-1-= 所以=-所以当Δx=1时，直线AB的斜率为-. 9.(12分)证明：函数f(x)=+x是增函数. 证明　函数f(x)=+x的定义域为[0，+∞)，任取x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，则===+1. ∵x1，x2∈[0，+∞)，∴>0. ∴函数f(x)=+x是增函数. 10.(12分)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？ 解　在t0处，虽然W1(t0)=W2(t0)， 但> 即< 所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂治污效果较好. 11.如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由函数f(x)的图象知， f(x)= 所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为==. 12.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的(　　) 答案　B 解析　由鱼缸的形状可知，水的体积v随着h的减小，先减小得越来越快，后减小得越来越慢. 13.(多选)已知函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率的情况是(　　) A.在区间[1，2]上的平均变化率最小 B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D.在区间[4，7]上的平均变化率最大 答案　BC 解析　函数f(x)在区间上的平均变化率为由函数图象可得，在区间上<0，即函数f(x)在区间上的平均变化率小于0；在区间上>0且Δx相同，由图象可知函数在区间上的最大. 14.(5分)若函数f(x)=-x3+ax在(0，1)上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.  答案　[3，+∞) 解析　任取x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2， 则= = = = =a-(+x1x2+). 因为f(x)=-x3+ax在(0，1)上是增函数， 所以>0，即a>+x1x2+. 又x1，x2∈(0，1)， 所以+x1x2+<3，所以a≥3， 即实数a的取值范围是[3，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $