专题3.1 函数及其表示方法 （高效培优讲义）数学人教B版2019必修第一册

专题3.1函数及其表示方法 教学目标 1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域。 2、 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 教学重难点 教学重点： 1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 3、了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）. 教学难点 求函数的定义域和值域 知识点01 函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量 和 ，如果给定了一个值，相应地就有 的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是 ，是 .它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、集合观点的定义 一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有 的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作 ，，其中称为 ，称为 ，自变量取值的范围(即数集)称为这个函数的 ，所有函数值组成的集合,称为函数的 ． 注：对函数概念的几点说明 (1)是“是的函数”的数学表示，不能认为“等于与的乘积”，应理解为：是自变量，是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等). (2)函数符号表示的对应关系与字母无关，也可以用，，等表示；同样，自变量也可以用，，等表示． 【即学即练】下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 知识点02 函数的三要素 1、 ：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、 ：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、 ：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练】若要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 知识点03同一个函数 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练】（多选）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点04 函数的表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 【即学即练】已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 知识点05求函数解析式 1、待定系数法：若已知 （如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练】已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 知识点06分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练】已知函数，若，则 ． 知识点07函数图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【即学即练】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型01 函数关系的判断 【典例1】（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列不可以表示函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式3】托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，不能表示“的函数”的是（    ）. A． B． C． D． 题型02 同一函数 【典例1】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【变式1】下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】若函数与是同一个函数，则 ． 判断同一函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断同一函数的三个步骤 (2)两个注意点： ①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．　 题型03 根据函数值求自变量或参数 【典例1】已知函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)求的值； (3)当时，求x的值． 【变式1】已知函数，且，则（    ） A．2 B．7 C．25 D．44 【变式2】设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【变式3】已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 【变式4】 已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求当时，的值； 题型04函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】函数的定义域为 ． 【变式1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若有意义，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【变式3】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式4】函数的定义域为 ． 求函数定义域的一般原则 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果是整式，那么函数的定义域是实数集. (2)如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合． 题型05函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式1】若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 题型06 函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例1】若函数的定义域为R，则m的取值范围为多少？ 【变式1】已知函数，，则函数的定义域为 . 【变式2】已知函数，则函数y＝f（2x+1）的定义域是 . 【变式3】若的定义域为，求的定义域． 题型07函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例1】求下列函数的值域： (1)，； (2)，； 【变式1】若函数y＝的定义域为[2，8），则其值域为（　　） A．（1，4） B．（1，4] C．[1，4） D．[1，4] 【变式2】函数在的值域为 . 【变式3】函数，的值域为 . 【变式4】求值域： (1)， (2)， 题型08 函数的值域（根式型函数的值域） 【典例1】求函数的值域． 【变式1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】2．函数的最小值为 . 【变式3】求函数的值域． 【变式4】求函数的值域． 换元法，通过对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而求值域； 题型09 函数的值域（分式型函数的值域） 【典例1】求函数的值域. 【变式1】函数的值域为 ． 【变式2】函数的最大值为 ． 【变式3】求函数的值域． 【变式4】求函数的值域． 分离常数法，反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； 题型10 函数的三种表示法的应用 【典例1】已知函数，分别由下表给出 1 2 3 2 3 1 3 2 1 则的值为 ；满足的的值是 . 【变式1】中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，，，点P是斜边上任意一点，过点P作，垂足为，交边（或边）于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ． 理解函数的表示法应关注三点 (1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．　 题型11待定系数法求函数的解析式 【典例1】（1）已知是一次函数，且，求； （2）已知是二次函数，且满足，求. 【变式1】已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【变式2】已知是一次函数，且，求 . 【变式3】已知是一次函数且，求的解析式． 【变式4】设是一次函数，且，求的解析式. 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． 题型12换元法求函数的解析式 【典例1】已知函数，则 ． 【变式1】已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数，则 ． 【变式4】若，则函数 ． 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． 题型13 配凑法求函数的解析式 【典例1】已知函数，且，则（    ） A．7 B．5 C．3 D．4 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知且函数的图象过点，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】（多选）已知函数，则（    ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 【变式4】已知f(x－)＝x2＋，则f（x+）＝ . 配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式．　　 题型14 程组（消去）法求函数的解析式 【典例1】（1）已知一次函数，求的解析式； （2）若对任意实数，均有，求的解析式. 【变式1】已知函数对任意满足，则 . 【变式2】根据下列条件，求函数的解析式 (1)已知是一次函数，且满足； (2)已知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立 【变式3】求下列函数的解析式 (1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式 (2)设满足，求的解析式 【变式4】解答下列问题： (1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知满足，求的解析式． 解方程法：已知与或之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出. 题型15 求分段函数的值 【典例1】函数，已知，则 ． 【变式1】已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【变式2】已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式3】已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】已知函数，则 求分段函数的函数值 (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．　 题型16根据分段函数的值求参数 【典例1】已知函数，若，则实数的值为 ． 【变式1】设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式2】已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】设函数若，则实数 ． 【变式4】设，若，则实数 . 题型17分段函数的值域或最值问题 【典例1】已知函数，则的最大值是（    ） A．60 B．58 C．56 D．52 【变式1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数，则该函数值域为 ． 【变式4】已知函数． (1)若，求实数的值； (2)画出函数的图象并求出函数在区间上的值域． 题型18解分段不等式 【典例1】已知，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3】设函数 则不等式 的解集是 . 【变式4】设函数，则不等式的解集是 . 题型19函数图象识别 【典例1】将函数的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式4】函数的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   题型20画出具体函数图象 【典例1】已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图象； (2)根据图象写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 【变式1】已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【变式2】（1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程） （2）给定函数． （i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象；    （ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 【变式3】作出函数的大致图像． 1．根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 2．下列函数：①；②；③，与函数是同一个函数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（多选）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 11．若函数，则 ． 12．若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 13．分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且； (2)函数满足． 14．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1函数及其表示方法 教学目标 1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域。 2、 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 教学重难点 教学重点： 1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 3、了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）. 教学难点 求函数的定义域和值域 知识点01 函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、集合观点的定义 一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作，，其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围(即数集)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合,称为函数的值域． 注：对函数概念的几点说明 (1)是“是的函数”的数学表示，不能认为“等于与的乘积”，应理解为：是自变量，是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等). (2)函数符号表示的对应关系与字母无关，也可以用，，等表示；同样，自变量也可以用，，等表示． 【即学即练】下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 知识点02 函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练】若要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题可得且，解不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则有且，解得或，所以的取值范围是或． 故选C． 知识点03同一个函数 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练】（多选）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据定义域、值域和表达式判断即可. 【详解】对于A，值域为，值域为R，值域不同，不是一个函数，故A错误． 对于B，，故B正确， 对于C，值域为R，值域为，值域不同， 所以不是一个函数，故C错误． 对于D，，，显然是一个函数，故D正确． 故选：BD. 知识点04 函数的表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 【即学即练】已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 知识点05求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 【即学即练】已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． 知识点06分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练】已知函数，若，则 ． 【答案】0 【分析】根据求得的值，再代入求值即可. 【详解】因为，所以，解得，则， 所以. 故答案为：0. 知识点07函数图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 【即学即练】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可. 【详解】解：因为，且， ，故符合题意的只有A. 故选：A 题型01 函数关系的判断 【典例1】（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 【变式1】下列不可以表示函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义判断即可. 【详解】B项不满足每一个自变量仅对应一个因变量，ACD都满足每一个自变量仅对应一个因变量. 故选:B． 【变式2】已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 【变式3】托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对应关系逐一判断即可； 【详解】集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故A错误； 集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故B错误； 集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故C错误； 集合中当时，由对应关系可得； 当时，由对应关系可得；当由对应关系可得，一一对应关系成立，故D正确； 故选：D 【变式4】如图所示，不能表示“的函数”的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项B，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项B，C和D错误， 由选项A的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：A. 题型02 同一函数 【典例1】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 【变式1】下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可. 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数． 故选：A 【变式2】下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 【变式3】（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】由，得或，所以函数的定义域为或． 由得，所以函数的定义域为． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 函数的定义域为， 函数的定义域为，是同一个函数，故C正确； 函数的定义域为，函数的定义域为，且对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：CD 【变式4】若函数与是同一个函数，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知条件可求得，再代入求解即可. 【详解】因为与是同一个函数， 则，故. 故答案为： 判断同一函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断同一函数的三个步骤 (2)两个注意点： ①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．　 题型03 根据函数值求自变量或参数 【典例1】已知函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)求的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点坐标，解出即可； （2）直接代入计算即可； （3）令，求出值，再代回求出即可. 【详解】（1）将点代入得，解得， 则. （2），则. （3）令，则，即，解得， 则，即，解得. 【变式1】已知函数，且，则（    ） A．2 B．7 C．25 D．44 【答案】B 【分析】利用配凑法可得函数的解析式为，进而代入求解即可. 【详解】由函数，可得， 可知函数的解析式为， 则，解得. 故选：B. 【变式2】设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念求解即可. 【详解】由，得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 【变式3】已知函数． (1)求，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)4；2 (2)或． 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据，求解即可. 【详解】（1）由，可知，， 所以． （2）函数的定义域为， 因为，即， 解得或． 故或． 【变式4】 已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求当时，的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把直接代入求解结果； （2）先求解，再代入求解结果. 【详解】（1）已知，，解得. （2）当时，， 所以. 题型04函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】函数的定义域为 ． 【答案】或． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 【变式1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母不为零、被开方式大于等于零，列不等式求解即可. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式2】若有意义，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解即可. 【详解】由有意义，得：， 解得：或. 故选：A 【变式3】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 【变式4】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域. 【详解】由，解得，且． 所以的定义域为． 故答案为： 求函数定义域的一般原则 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果是整式，那么函数的定义域是实数集. (2)如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合． 题型05函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解即可； （2）先求出的范围，可得的定义域，然后根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解的定义域． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）函数的定义域为， 则，可得的定义域为． 由，即且， 即且，解得或． 所以函数的定义域为． 【变式1】若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得. 【详解】依题意，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为. 故选：D 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 【变式3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C 【变式4】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知， ， 则函数的定义域为． 故答案为：． 题型06 函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例1】若函数的定义域为R，则m的取值范围为多少？ 【答案】. 【分析】根据函数的定义域为，等价为，进行求解即可． 【详解】解：函数的定义域为， ， 若，则，不满足条件．， 若，则判别式， 解得，即 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题． 【变式1】已知函数，，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】解法1、先求得函数的定义域为，令，进而求得函数的定义域； 解法2、根据题意求得，进而求得其定义域. 【详解】解法1：由函数，则满足，可得， 即函数的定义域为， 对于函数，令，即，解得， 即函数的定义域为. 解法2：由，， 可得， 令，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 【变式2】已知函数，则函数y＝f（2x+1）的定义域是 . 【答案】 【分析】先求出的定义域，再由复合函数定义域的定义求解． 【详解】由得，， ∴中，，解得． 故答案为： 【点睛】本题考查复合函数的定义域，解题时要注意复合函数中的取值范围与中的范围相同即可得． 【变式3】若的定义域为，求的定义域． 【答案】. 【分析】由题意列出不等式组解之即得. 【详解】由函数的定义域为，则要使函数有意义， 则， 解得, ∴函数的定义域为. 题型07函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例1】求下列函数的值域： (1)，； (2)，； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的解析式求得值域. （2）根据二次函数的性质求得值域. 【详解】（1）由，分别代入求值， 可得函数的值域为． （2）， 由，当时，；当时，；， 再结合函数的图像，可得函数的值域为．    【变式1】若函数y＝的定义域为[2，8），则其值域为（　　） A．（1，4） B．（1，4] C．[1，4） D．[1，4] 【答案】B 【解析】略 【变式2】函数在的值域为 . 【答案】 【分析】根据不等式性质运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 所以在的值域为. 故答案为：. 【变式3】函数，的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的知识求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式4】求值域： (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过配方，由二次函数的值域即可求解； （2）根据题意，由二次函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以函数的值域为. （2）因为，其中对称轴为，且， 则时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为， 所以函数值域为. 题型08 函数的值域（根式型函数的值域） 【典例1】求函数的值域． 【答案】 【分析】由题知，等价于在上有根，再利用判别式求解即可. 【详解】，定义域为， 所以，即， 则在上有根， 所以， 解得，即或， 又，即， 所以函数的值域为． 【变式1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 【变式2】2．函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，然后根据根式的性质和不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 当时，，则， 所以，即， 所以的最小值为1. 故答案为：1 【变式3】求函数的值域． 【答案】 【分析】根据换元法，结合二次函数即可求值域. 【详解】令，则， 所以， 故函数的值域为． 【变式4】求函数的值域． 【答案】 【分析】用配方法解决二次函数型函数的值域问题，还需考虑函数的定义域． 【详解】因为， 所以， 即函数的值域为． 换元法，通过对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而求值域； 题型09 函数的值域（分式型函数的值域） 【典例1】求函数的值域. 【答案】 【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 【变式1】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 【变式2】函数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】将采用分离常数法得到，然后当取到最小值时，函数有最大值，即得到答案. 【详解】，因为， 所以，当时等号成立，所以． 故答案为：. 【变式3】求函数的值域． 【答案】 【分析】方法1：利用分离常数的方法，结合二次函数的值域求解； 方法2：转化为方程有实数根．讨论和，利用判别式法求函数值域. 【详解】解法1：，因为， 所以，故． 解法2：由于，原函数转化为方程有实数根． 当时，，矛盾，方程无解； 当时，方程有实数根，则， 整理得，则． 综上所述，． 【变式4】求函数的值域． 【答案】 【分析】先分离常数，再分类讨论与，结合换元法与对勾函数的性质即可得解. 【详解】， 当时，， 当时，， 令，则，， 所以， 由对勾函数的值域可知，当时，， 所以， 所以． 综上所述，函数的值域为． 分离常数法，反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； 题型10 函数的三种表示法的应用 【典例1】已知函数，分别由下表给出 1 2 3 2 3 1 3 2 1 则的值为 ；满足的的值是 . 【答案】 1 2 【分析】（1）根据函数表：从内到外依次求解. （2）利用（1）的方法，按照当，，时，三种情况 分别求，再比较. 【详解】从表可知：， 所以. 当时，，不成立. 当时，，成立. 当时，，不成立. 故答案为：(1). 1 (2). 2 【点睛】本题主要考查函数的概念及求值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题. 【变式1】中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求出与之间的函数关系式，根据关系式，利用基本函数图象，结合各个选项，即可求解. 【详解】易知当时，， 当时，交于，交于，如图， 因为，则，在中，， 所以为等腰直角三角形，所以，得到， 所以，故 所以， 故选：C. 【变式2】如图，中，，，，点P是斜边上任意一点，过点P作，垂足为，交边（或边）于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，由中，，，可求得的度数与的长度，再分别从当与当时，去分析求解即可求得y与x之间的函数关系式，进一步选出图象. 【详解】过点作于点，因为，，， 所以，，. 如图1，当时，，， 所以， 如图2：当时，， 所以， 所以， 故选：D 【点睛】此题考查了动点问题，注意掌握含直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题. 【变式3】（多选）已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】按复合函数的定义列出所有取值即可 【详解】因为，，，． 故选:BCD 【变式4】已知函数由下表给出 0 1 2 3 4 其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ． 【答案】5 【分析】假设出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得，从而，同理可得，由此可得，，从而讨论可得，于是可以得到，∈{1，2}，分类讨论即可得出答案. 【详解】（，1，2，3，4）等于在、、、和中k所出现的次数， 则， 若在“、、、、”中出现次数超过0次， 不妨设出现1次，则. 设，则在“、、”这3个数中出现4次，矛盾， 同理在“、、、、”中出现过2、3、4次也不可能， 即不能出现，所以. 同理，若出现次数超过0次，不妨设出现1次， 即，设，则在“、”这2个数中出现3次，矛盾， 故不可能出现，所以. 因为，， 以在“、、、，”中至少出现了2次， 所以， 若或4，即或出现了1次，则或不为0，矛盾， 所以，，， 所以，，所以“、、、和”仅有下列四种可能： ①、、、和， ②、、、和， ③、、、和， ④、、、和， 其中：①中，出现2次与矛盾，不可能； ②满足题意；③出现2次与矛盾； ④中，出现3次与矛盾； 故仅有“、、、、”满足题意， 故. 故答案为：5 理解函数的表示法应关注三点 (1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．　 题型11待定系数法求函数的解析式 【典例1】（1）已知是一次函数，且，求； （2）已知是二次函数，且满足，求. 【答案】（1）或 ；（2）. 【分析】（1）设，代入，整理，得恒等式，求出即可； （2）设，代入条件，求出即可 【详解】（1）设， 则 因为，所以 所以解得或 所以或 （2）设 由，得 由 得 整理，得 所以 所以 所以 【变式1】已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式2】已知是一次函数，且，求 . 【答案】或 【分析】利用待定系数法求解． 【详解】设， 则， ， 或， 或． 故答案为：或. 【变式3】已知是一次函数且，求的解析式． 【答案】 【分析】由函数为一次函数可设，再结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】因为是一次函数， 可设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以的解析式是． 【变式4】设是一次函数，且，求的解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解. 【详解】设，则 , 所以，解得或， 所以函数的解析式为或. 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． 题型12换元法求函数的解析式 【典例1】已知函数，则 ． 【答案】（且） 【分析】运用换元法求解即可. 【详解】由于，（且）， 则， 所以,且，所以（且）． 故答案为：（且）． 【变式1】已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法令可得，代入解析式可得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：D. 【变式2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 【变式3】若函数，则 ． 【答案】 【分析】令，则，换元法求函数解析式. 【详解】令，则，所以，故． 故答案为：. 【变式4】若，则函数 ． 【答案】， 【分析】利用换元法，令，利用基本不等式求出的取值范围，最终求出函数解析式； 【详解】，即 令， 当时，由基本不等式得， 当时，，由基本不等式得，即， ， 则，， ，， ，. 故答案为：， 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． 题型13 配凑法求函数的解析式 【典例1】已知函数，且，则（    ） A．7 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解. 【详解】, . ,解得． 故选：A. 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 【变式2】已知且函数的图象过点，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由的解析式求出函数的解析式，再将代入，求出值. 【详解】， ， 又函数的图象过点， 所以，解得：. 故选：C 【变式3】（多选）已知函数，则（    ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 【变式4】已知f(x－)＝x2＋，则f（x+）＝ . 【答案】 【解析】先利用配凑法由f(x－)＝x2＋，得到 ，然后再利用代入法求解. 【详解】因为f(x－)＝x2＋， 所以， 所以f（x+）， 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式．　　 题型14 程组（消去）法求函数的解析式 【典例1】（1）已知一次函数，求的解析式； （2）若对任意实数，均有，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，求出，由待定系数法求解即可； （2）利用方程组法求解即可. 【详解】由题意设， 所以， 所以， 所以. 因为①， 所以②， 由①②得：， 解得： 【变式1】已知函数对任意满足，则 . 【答案】 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 【变式2】根据下列条件，求函数的解析式 (1)已知是一次函数，且满足； (2)已知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，结合题意分析求解； （2）将代入等式得出，联立方程组运算求解. 【详解】（1）设， 则， 所以，解得，所以. （2）因为， 将代入等式得出， 联立，变形得，解得. 【变式3】求下列函数的解析式 (1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式 (2)设满足，求的解析式 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）利用消元法求函数解析式. 【详解】（1）设一次函数的解析式为， 则， 所以，解得，或， 所以或. （2）由①， 得②， ①②得， 即. 【变式4】解答下列问题： (1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知满足，求的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】(1) 设，代入已知条件得，列出不等式组求解即可； (2) 用-代替，消去即可. 【详解】（1）解：设， 则， 所以， 解得， 所以； （2）解：因为，① 用-代替，得，② 由①×3-②×2得， 所以. 解方程法：已知与或之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出. 题型15 求分段函数的值 【典例1】函数，已知，则 ． 【答案】0 【分析】分别讨论，，代入求解即可. 【详解】时，，； 时，，. 综上所述，. 故答案为：0 【变式1】已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【详解】，所以， 故选：D. 【变式2】已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】将代入，求得函数值. 【详解】. 故选：C. 【变式3】已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，，从里到外进行计算. 【详解】根据题意，. 故选：B 【变式4】已知函数，则 【答案】 【分析】根据函数解析式，代入数值计算即可得到答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 求分段函数的函数值 (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．　 题型16根据分段函数的值求参数 【典例1】已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得. 【详解】①当，即时，，由解得（舍）， ②当，即时，， （Ⅰ）若，即时，有，解得； （Ⅱ）若时，即时，有方程无解. 综上，． 故答案为： 【变式1】设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【详解】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 【变式2】已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由分段函数的解析式，分类讨论求解实数的值即可. 【详解】当时，由可得，解得，不满足题意，故舍去； 当时，由可得，解得（不满足题意，舍去）或； 所以实数的值为. 故选：B 【变式3】设函数若，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故． 【变式4】设，若，则实数 . 【答案】 【分析】由，结合分段函数解析式求，再求，由条件列方程求. 【详解】因为， 又当时，， 所以， 因为当时，， 所以， 因为， 故， 所以. 故答案为：. 题型17分段函数的值域或最值问题 【典例1】已知函数，则的最大值是（    ） A．60 B．58 C．56 D．52 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数和反比例函数的性质即可得解. 【详解】当时，， 此时， 当时，在上单调递减， 此时， 综上所述，. 故选：C. 【变式1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【详解】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 【变式2】已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 【变式3】函数，则该函数值域为 ． 【答案】 【分析】分段求值域，再取并集即可求解. 【详解】当时，二次函数对称轴是，且开口向上， 此时在上单调递增； 当时，，即 所以得值域为. 故答案为:. 【变式4】已知函数． (1)若，求实数的值； (2)画出函数的图象并求出函数在区间上的值域． 【答案】(1)或 (2)图象见解析， 【分析】（1）讨论a的取值，结合解析式可得答案； （2）由解析式可得函数图像，即可得值域. 【详解】（1）当，； 当，. 综上：或 （2）由题可得图象如下： 则在区间上的值域为. 题型18解分段不等式 【典例1】已知，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，结合函数解析式可解不等式. 【详解】当时，； 当时，． 因此． 故选：A． 【变式1】设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可. 【详解】根据题意，由于函数， 那么可知当，则，解得； 当，则，即，解得或， 综上，不等式的解集是. 故选：A. 【变式2】已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式3】设函数 则不等式 的解集是 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得，按时和时讨论，取并集即可. 【详解】解：因为函数， 所以， 当时，由可得， 即，解得或， 因为，所以或， 当时，由可得， 解得，所以， 综上或， 故答案为： 【变式4】设函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由，两段求解即可. 【详解】由解析式可得：， 所以当时，即为：，解得：， 当时，即为：，解得：， 所以不等式的解集是， 故答案为： 题型19函数图象识别 【典例1】将函数的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1，根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象；方法2，把的图象中轴下方的图象沿轴向上翻折并保留原来轴上及其上方的图象，再平移即可；方法3，利用平移思想变换解析式，再画图象即可. 【详解】方法1，由题意得可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 方法2，要得到的图象， 只需把的图象中轴下方的图象沿轴向上翻折并保留原来轴上及其上方的图象， 再整体向上平移2个单位长度即可，即为的大致图象，如图， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 方法3，平移后的图象对应函数，C选项中的图象正确． 故选：C. 【变式1】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用当时必有的性质即可排除选项A，B，D，从而得到答案. 【详解】由于，故当时必有，由此可排除选项A，B，D. 故选：C. 【变式2】函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】由，可得，解得， 所以当时，，排除BD； 由，解得或， 所以时，，排除C. 故选：A. 【变式3】函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分离常数，再根据反比例函数的图象即可得解. 【详解】， 则函数的图象是由函数的图象先向右平移个单位， 再向上平移个单位得到的， 故A选项符合题意. 故选：A. 【变式4】函数的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】将函数分段表示出，再直接判断即可. 【详解】依题意，，因此函数的图象为选项D. 故选：D 题型20画出具体函数图象 【典例1】已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图象； (2)根据图象写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)，函数图象见详解； (2) (3) 【分析】（1）根据的正负打开绝对值，写出，在给定区间上分别画出二次函数的图象； （2）数形结合，得出函数的值域； （3）结合函数得出结果. 【详解】（1）函数的解析式为， 函数图象如下图所示： （2）当时，有最小值-1，由函数的图象可知，函数的值域为； （3）的图象是保留函数横轴及横轴上方的图象，下方图像象沿轴向上对称翻折， 如图，由的图象可知，当时，直线与函数的图象的交点个数为2， 的取值范围为. 【变式1】已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）按的正负分类讨论去掉绝对值号，得到分段函数的形式； （2）观察图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，当时，， 故. 图象如下图: （2）由图可知：的单调递增区间：； 单调递减区间：. 【变式2】（1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程） （2）给定函数． （i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象；    （ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】（1），图象见解析；（2）（i）图象见解析；（ii）图象见解析，. 【分析】（1）去掉绝对值，得到分段函数，并画出函数的图象，由图象可写出函数的定义域和值域； （2）（i）分析出的图象特征，画出函数图象； （ii）在（i）基础上，画出的图象，并根据图象写出解析式. 【详解】（1）， 该函数的图象如下：    由图象可知，定义域为R，值域为； （2）（i）为一次函数，其图象为一条直线，经过点， 为二次函数，其图象为抛物线，开口向上，顶点坐标为， 故在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象，如下：    （ii）的图象如下：    解析法表示为 【变式3】作出函数的大致图像． 【答案】图像见解析 【分析】类比反比例函数的图像画出即可. 【详解】.对称中心.类比反比例函数的图像得到的大致图像. 1．根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【详解】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 2．下列函数：①；②；③，与函数是同一个函数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用定义域相同，对应关系相同，与变量字母无关，判断即可． 【详解】函数的定义域为， 函数，定义域为，与函数定义域不同，不是同一个函数； 函数与函数定义域不同，不是同一个函数； 函数定义域为，与函数定义域不同，不是同一个函数． 故选：A. 3．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解. 【详解】令，则，因为，所以， 则，故. 故选：B. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 5．“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数定义域得到，结合与的关系得到答案. 【详解】定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解. 【详解】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 7．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】应用赋值法及方程组法计算求解. 【详解】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 8．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据题意，求得函数的值域为，结合题意转化为，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，故函数的值域为. 设，若存在，使得成立，即，只需， 即对于，满足成立， 即， 解得. 故选：D 9．（多选）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 10．（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 11．若函数，则 ． 【答案】或 【分析】根据函数的性质，令，解出相应的值，把原函数变形为，代入相应的值求解. 【详解】令，解得或， 又， 所以： 当时，； 当时，． 故答案为：或. 12．若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 13．分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且； (2)函数满足． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入已知条件列出方程组，解方程组得出，得出方程为，代入验证成立. （2）根据得出，联立消去得出. 【详解】（1）设， 根据题意得 解得 则. 验证：，成立； ，成立； ，成立. 所以. （2）因为①， 所以②， ②①得，， 所以． 14．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $