1.2 菱形的性质与判定 课后同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现菱形性质与判定从单一概念到跨知识整合的递进，适配新授课知识内化与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|菱形性质（边、角、对角线）、判定定义|单选题考查性质辨析（如对角线垂直），填空题直接应用面积公式，强化概念理解| |能力提升|性质与判定综合、勾股定理结合|填空题结合菱形高与勾股定理计算（如第12题），解答题证明菱形判定（如第15题），发展推理能力| |综合应用|尺规作图、动态问题、跨知识整合|解答题17通过作图探究菱形判定条件，第13题动点最值问题，培养几何直观与创新意识|

1.2 菱形的性质与判定 课后同步练习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 2．关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 3．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8．则菱形ABCD的面积为（    ） A．24 B．48 C．20 D．25 4．在下列条件中，能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知，，将沿边翻转，得到的与原拼成四边形，则能直接判定四边形是菱形的依据是(   ) A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是菱形 6．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 8．如图3，在中，按如下步骤作图：①以A为圆心，长为半径画弧交于F；②连接，分别以点B，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交于点E，若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题 9．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 10．四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 11．某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量两条木条的长为和，则这个风筝的面积是________ 12．如图所示衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节、之间的距离．已知调节完之后、间的距离为，、间的距离为，则与之间的距离为________． 13．如图，在菱形中，，，、分别是、的中点，是上的动点，连接、，则的最小值是__________． 三、解答题 14．如图，已知锐角，请在的内部作出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角．    15．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 16．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 17．综合与实践 【问题】尺规作图：如图，，平分交于点M．在上作出点N，使四边形为菱形． 【作图】甲、乙作图的过程如下： 甲的作图 如图，作的平分线交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙的作图 如图，以点M为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 【探究】 (1)判断甲的作图是否正确，说明理由； (2)老师说乙的作图不正确，若添加一个条件后，才能使四边形是菱形．请你添加一个合理的条件，并说明四边形是菱形； (3)请你再给出另外一种符合要求的作图方法（保留作图痕迹，不写作法）． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A A B D B A 1．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 故选：D． 2．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】根据菱形性质进行判断即可． 【详解】解：A．菱形对角线互相平分，故选项正确，不符合题意； B．菱形对角线互相垂直，故选项正确，不符合题意； C．菱形邻边相等，故选项正确，不符合题意； D．菱形的对角线不一定相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：∵菱形ABCD的对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积为：×6×8=24． 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 4．【答案】A 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型． 5．【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．根据翻折得出，，推出，根据菱形的判定推出即可． 【详解】将延底边翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形； 故选B． 6．【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明边相等、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 8．【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】如图，设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题． 【详解】解：如图，设AE交BF于点O． 由作图可知：AB＝AF，∠BAE＝∠EAF， ∴OB＝OF，AE⊥BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝AF， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴OA＝OE，OB＝OF＝3， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， ∴OA＝， ∴AE＝2OA＝8． 故选：A． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 10．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 11．【答案】24 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵该风筝为菱形，两条对角线长分别为和， ∴这个风筝的面积为：． 12．【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，面积，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出菱形的边长及面积，即可求出菱形的高，根据图形可知与之间的距离是菱形的高的3倍，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图, 有， ∴，，， ∴， 设菱形的高为h，则 ， 即， ∴与之间的距离为． 故答案为． 13．【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、两点之间线段最短、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】因为菱形是轴对称图形，是它的一条对称轴，所以可以作点M关于的对称点，利用对称将转化为对称点到P的距离．根据两点之间线段最短，当对称点、P、E三点共线时，取得最小值，即为对称点到E的线段长度．先结合菱形对角线的长度，利用勾股定理求出菱形的边长，再结合中点的性质，通过相关几何关系计算该线段的长度． 【详解】解：设对角线交点为O， ∵，， ∴， ∴。 ∵菱形的对角线是对称轴，作关于的对称点， ∵、分别是、的中点， ∴根据对称性，是中点，且， ∴。 根据两点之间线段最短， 的最小值为线段的长度， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值为． 14．【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图) 【分析】作的角平分线与交于点M，作的垂直平分线交于点P，N，连接，则四边形即为所求． 【详解】解：如图所示：四边形即为所求．   ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，菱形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 15．【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）略 （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 16．【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． (2)（答案不唯一） 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）利用平行四边形的性质“对角线互相平分”以及等量代换证明； （2）根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等”证得四边形是平行四边形，根据菱形的判定得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图所示， ， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 17．【答案】(1)解：甲的作图正确，理由如下： ， ，， ∵平分， ， ， ； 同理可得， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； (2)解：添加条件，说明如下： 同理可证明， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由作图方法可知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； (3) 【知识点】作线段(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质、作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到；同理可得，则，据此可证明四边形是菱形； （2）添加条件，可证明是等边三角形，得到，由作图方法可知，则，据此可证明四边形是菱形； （3）以点为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，同理可证明据此可证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $