第三章 函数（高效培优单元自测·强化卷）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 第三章函数单元复习强化卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合数学眼光、思维与语言，适配单元知识检测与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、分段函数、函数模型|基础概念辨析，如分段函数定义判断| |多选|3/18|函数图像、奇偶性、单调性|综合性质考查，如抽象函数单调性应用| |填空|3/15|函数平移、二分法、单调条件|技能性检测，如二分法零点区间判断| |解答|5/77|函数值域、奇偶性证明、应用题|结合亚冬会销售情境，分层考查逻辑推理与模型意识|

第三章 函数（高效培优单元自测·强化卷）参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C A B A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC CD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）函数在上单调递减， 所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 16．【解析】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2） 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 17．【解析】（1）该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. 18．【解析】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 19．【解析】（1）为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． （2）证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 3．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 4．已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 5．若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若，则（    ） A．7 B． C．1 D． 7．若函数，则（    ） A． B． C． D． 8．定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 10．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 11．已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B． C．的最小值为8 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，恰好过坐标原点，则的值为________. 13．用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此零点所在的区间是______. 14．已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 16．（15分） 已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 17．（15分） 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 18．（17分） 已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数有意义，可得，解得或， 所以函数的定义域为． 2．下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 【答案】C 【解析】对于A，分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误； 对于B，由函数的解析式可知，故B错误； 对于C，是一个分段函数，故C正确； 对于D，分段函数的定义域不都是，如，故D错误． 3．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 【答案】C 【解析】A.一次函数图象是一条完整的直线，A错误， B.二次函数图象是一条抛物线，B错误， 此图象由若干段斜率不一样的线段组成，不同时间段有不同的对应法则， 由分段函数定义可知，C正确. 4．已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【解析】由的图象可得， 故. 5．若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】取，显然在区间上有零点，且零点为， 但，所以函数在区间上有零点推不出， 又由零点存在性定理知，若，函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 则函数在区间上有零点， 所以“函数在区间上有零点”是“”的必要不充分条件. 6．已知函数，若，则（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，， 则，故函数为偶函数， 则. 7．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，，则， . . 8．定义符号函数，设函数，其中.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得， 当时，可得，解得； 当时，，不满足题意； 当时，可得，解得； 综上可知实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，有无穷多个值与之对应，一个值对应无数个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于B，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于C，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于D，任取一个值，有唯一确定的值与之对应，可以作为函数图象. 10．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 【答案】CD 【解析】由①知为R上的偶函数， 由②知在上单调递增，则． 即，故A错误； 由得 所以，解得，故B错误； 画出的示意图如图所示， 等价于或， ，C正确； 由题意知在上单调递减，在上单调递增， 所以，故且满足题意，故D正确． 11．已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B． C．的最小值为8 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】当时，对任意的，不等式恒成立 等价于对任意的，不等式恒成立，显然不成立； 则，故B正确； 令，在同一坐标系中作出其大致图象，如图所示： 则，解得，故A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，故C正确； ，因为，所以取不到，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，恰好过坐标原点，则的值为________. 【答案】或 【解析】抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，可得， 把代入可得：，即，解得或. 13．用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此零点所在的区间是______. 【答案】 【解析】根据零点存在定理，若，则在开区间内存在零点. 已知初始区间，中点，且， 所以零点落在区间. 14．已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 同时需满足分段点处左段函数值不大于右段函数值，即， 整理得，对任意实数恒成立. 综上，函数在上单调递增的充要条件为. 因为是在上单调递增的必要条件，即单调递增可推出恒成立， 所以需小于等于的最小值，即，故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【解析】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 16．（15分） 已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【解析】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2） 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 17．（15分） 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. 18．（17分） 已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 19．（17分） 已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【解析】（1）为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． （2）证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $