第二章 等式与不等式（高效培优单元自测·强化卷）高一数学人教B版必修第一册

第二章 等式与不等式（高效培优单元自测·强化卷）参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B A B B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．② 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 16．【解析】（1）命题为真，即存在使得成立， 二次函数开口向上，故需判别式， 所以 ，解得，因此集合； （2）由得， 将代入对应方程得： ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； （3）由得，即中所有元素均为负实数，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得： ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 17．【解析】（1）由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此. （2）令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. 18．【解析】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 19．【解析】（1）依题意，， . （2）证明：若，设， 由定义知：且， 因此“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性知，则， 因此“”是“”的充分条件， 所以“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围； 若取到最值，则，即，于是，即， 所以. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 2．因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 6．为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 7．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 10．下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 11．如图所示，矩形ABCD（）的周长为12，把它沿BD翻折，翻折后交AD于点P，设，下列说法正确的是（   ） A． B． C．面积的最小值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．给出下列结论：①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，，则.其中正确的结论的序号是________. 13．已知，，若，则实数的取值范围为________． 14．记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 16．（15分） 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． (1)求集合； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 17．（15分） 法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． (1)已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． (2)已知实数，满足，，求的值． 18．（17分） 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 19．（17分） 数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】不等式对应的方程的根为或. 不等式对应的二次函数的图象如下： 由函数图象可知不等式的解为， 所以不等式的解集为. 2．因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题可以用十字相乘法因式分解，也可展开选项验证： 方法一：十字相乘法因式分解 二次三项式可以使用十字相乘法如下拆分 满足一次项系数要求：， 故因式分解结果为： 方法二：对选项逐个展开验证即可. 3．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 4．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 5．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【解析】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 6．为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【解析】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， 高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 7．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 8．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【解析】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 10．下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 【答案】BC 【解析】若，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6，故B正确； 若，，且，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 若，，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为.故D错误. 故选：BC 11．如图所示，矩形ABCD（）的周长为12，把它沿BD翻折，翻折后交AD于点P，设，下列说法正确的是（   ） A． B． C．面积的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，在矩形ABCD中，，所以，又， 所以，所以，故A正确； 对于B，设，则， 又，所以， 在直角三角形中，根据勾股定理得， 由矩形ABCD（）的周长为12，则， 所以，展开得， 所以，所以，故B正确； 对于C， 当且仅当，即时取等号，故面积的最大值为，故C错误； 对于D，由于，且，， 所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．给出下列结论：①若，则；②若，则； ③若，，则；④若，，则.其中正确的结论的序号是________. 【答案】② 【解析】对于①，由，若，则，故①错误； 对于②，由可知，故， 将原不等式两边同乘以，则得，故②正确； 对于③；若取，显然满足，，但，则③错误； 对于④，若取，显然满足，，但，故④错误. 13．已知，，若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】已知集合，集合且， 当时，，解得，符合题意； 当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于， 则，得，所以； 综上所述，，即实数的取值范围为． 14．记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】由均值不等式得：， 当，即时，， 当 时，即，， 综上的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【解析】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 16．（15分） 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． (1)求集合； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）命题为真，即存在使得成立， 二次函数开口向上，故需判别式， 所以 ，解得，因此集合； （2）由得， 将代入对应方程得： ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； （3）由得，即中所有元素均为负实数，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得： ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 17．（15分） 法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． (1)已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． (2)已知实数，满足，，求的值． 【解析】（1）由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此. （2）令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. 18．（17分） 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【解析】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 19．（17分） 数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件. 【解析】（1）依题意，， . （2）证明：若，设， 由定义知：且， 因此“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性知，则， 因此“”是“”的充分条件， 所以“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围； 若取到最值，则，即，于是，即， 所以. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $