第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·强化卷）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦集合与常用逻辑用语，通过选择、填空、解答题全面覆盖集合运算、命题否定、子集个数等核心知识，适配高中数学单元复习，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|集合交并补（第1题）、命题否定（第4题）|基础巩固，注重概念辨析| |多选|3题18分|韦恩图应用（第3题）、集合关系（第10题）|能力提升，考查综合判断| |填空|3题15分|容斥原理（第12题）、集合元素特征（第13题）|情境简单，强化计算应用| |解答|5题77分|集合表示（第15题）、含参集合（第18题）、新定义“好集”（第19题）|创新应用，突出逻辑推理与数学抽象，贴合高考新定义题型趋势|

第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 4．已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 5．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 6．已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 7．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 10．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11．已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 13．已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 14．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 16．（15分） 已知全集，，求： (1)； (2). 17．（15分） 已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知集合. (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 19．（17分） 非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·强化卷）参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B D D D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．160 13．3 14．5或10 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 16．【解析】（1）因为， 由交集的定义得，如图： 又由并集的定义得，如图： 因此，，． （2）由全集，，得或． 又，由交集的定义得，如图： 17．【解析】（1） ，或， 或； 又，则 ． （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为． 18．【解析】（1）当时，可得集合，因为， 所以，或， 则． （2）由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为． （3）由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为． 19．【解析】（1），当时，，，是“坏集”． ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”． （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素． 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素． 满足题意的“超级好集”且． （3）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，， 所以. 2．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，所以， 又，所以. 3．已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 4．已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题，所以命题为. 5．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 6．已知集合，，集合满足，则集合可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，，不含 ， 不满足，故选项A错误； 选项B，，不含， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，，不含， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，，同时含， ， 满足，故选项D正确. 7．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 8．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 10．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 11．已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【答案】160 【解析】听讲座的人数为. 13．已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【解析】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 14．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【解析】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【解析】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 16．（15分） 已知全集，，求： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 由交集的定义得，如图：     ， 又由并集的定义得，如图：   ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： . 17．（15分） 已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 【解析】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. 18．（17分） 已知集合. (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. （2）由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（17分） 非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【解析】（1），当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $