解题大招38 导数与三大中值定理的亲密接触(4大题型)(全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以三大中值定理为核心，构建"定理定义-几何意义-题型策略-典例应用"的完整方法体系，实现从概念理解到综合解题的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三大中值定理|3个核心知识点|拉格朗日中值定理：函数值差与导数关系转化；罗尔定理：四步解题策略（题型判定-构造辅助函数-条件验证-推导结论）；柯西定理：双函数差值比转化|从基础定理（罗尔→拉格朗日→柯西）推广关系出发，结合几何意义理解，形成"概念-原理-应用"链条| |四大应用题型|4类题型+6个典例+10道跟踪训练|中值定理认识题：定理条件辨析；导数综合题：不等式证明与单调性分析；导数零点题：辅助函数构造；双函数题：差值比转化|题型与定理精准对应，典例覆盖阶段检测、模拟预测等真实考情，突出逻辑推理与数学表达核心素养|

解题大招38 导数与三大中值定理的亲密接触 知识点01 拉格朗日中值定理 1.拉格朗日（Lagrange）中值定理及其推论 定理：若函数f（x）满足如下条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续； （2）f（x）在开区间（a，b）内可导． 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得． 推论：如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数. 2.拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线． 【注意】拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于切线斜率,如在处的切线斜率为0,但不存在割线使割线斜率等于0 3.拉格朗日公式还有下面几种等价形式 ， ， ． 【注意】拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，． 知识点02 罗尔中值定理 若函数满足：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）， 则至少存在一点使得. 知识点03 柯西中值定理 若函数、满足：（1）在上连续，在内可导；（2）在内每点处， 则至少存在一点使得. 题型01 对中值定理的认识 1．罗尔中值定理：微分中值定理的基础，若函数满足闭区间连续、开区间可导、两端点函数值相等，则区间内至少存在一点导数为0，几何对应曲线上有平行于横轴的切线. 2．拉格朗日中值定理：罗尔定理的推广，取消端点值相等的约束，区间内至少存在一点的导数值等于两端点连线的斜率，是沟通函数局部性质与整体性质的核心工具. 3．柯西中值定理：拉格朗日定理的进一步推广，适用于双函数场景，区间内至少存在一点的两函数导数值之比等于二者的区间增量之比，是洛必达法则的核心理论依据. 【典例1-1】（25-26高三上·山东·阶段检测）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.该定理如下：若函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点.那么函数在区间上的中值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例1-2】（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.请问函数在区间上的“中值点”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高三上·广东汕头·阶段检测）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02 拉格朗日中值定理在导数中的应用 导数综合题（如证复杂不等式、分析函数单调性 ），构造合适函数与区间，用拉格朗日中值定理找中间点，将函数值差转化为导数（中间点）与自变量差的乘积，结合导数性质（如单调性、有界性 ），推导结论、解决问题. 【典例2】已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）证明:若,则对任意,,有. 【跟踪训练】 1．设函数, 若对任意 , 都有 , 则的取值范围为 . 2．用拉格朗日中值定理证明不等式：． 3．已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设,如果对任意,,求的取值范围. 题型03 罗尔中值定理在导数中的应用 罗尔中值定理解题策略 1．题型判定：若题目给出函数在闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等，要求证导数零点或含的等式，优先考虑罗尔定理. 2．构造辅助函数：将待证式中替换为x，得到辅助函数F(x). 3．条件验证：核对F(x)是否满足罗尔定理的三个核心条件，若涉及高阶导数可多次迭代应用定理. 4．推导结论：由罗尔中值定理得，整理后即可得到待证结论. 【典例3】（25-26高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立. (1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根. (2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解. (3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点. 【跟踪训练】 1．利用罗尔中值定理证明：方程只有一个正根。 2．（2025·安徽六安·模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．据此，解决以下问题： (1)证明方程在内至少有一个实根，其中； (2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围． 题型04 柯西中值定理在导数中的应用 柯西中值定理解题策略: 题型判定：若题目涉及两个函数差值之比，或需证明含两个导数（如）的等式，且端点函数值关系明确，优先考虑柯西中值定理. 构造辅助函数：直接识别待证式中的 (f(x)) 与 (g(x))，将要求证的等式化为 的形式；若形式复杂，可通过移项构造差函数 （(k) 为常数），再应用罗尔定理. 条件验证：确认 (f(x), g(x)) 在闭区间连续、开区间可导，且（或）。 推导结论：直接由柯西定理得，整理后得到待证结论. 【典例4-1】已知函数,若在上恒成立,则的取值范围为 . 【典例4-2】（25-26高三上·重庆·期中）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理． (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明； (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 【跟踪训练】 1．已知函数,当时,,则实数的取值范围为 . 2．利用柯西中值定理证明：若,则 3．（2025·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．拉格朗日中值定理：若函数在上连续，且在上可导，则必存在，满足等式，若，对，，，那么实数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（多选）（25-26高三下·湖南常德·阶段检测）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（    ）(参考数据：，，，.) A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，定理如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上“中值点”的个数为，函数在区间上“中值点”个数为，则有（      ） （参考数据：，，，.） A． B． C． D． 5．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为 . 6．已知函数,若时,恒成立,则的最大值为 7．（24-25高三上·山西·阶段检测）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 8．（24-25高三上·安徽合肥·期中）定理  如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点，使得，这个定理称为微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理. 定理表明，如果函数的图象是闭区间上的一条连续曲线，且当时，曲线上的每点都存在切线，那么，在曲线上至少存在一点，使得该曲线在这一点处的切线平行于曲线两个端点的连线，如图所示. (1)已知，为函数图象位于之间的部分上的一点，其中为坐标原点，求点到直线的距离的最大值； (2)如果，证明：. (3)如果函数在内可导，且对于任意的，都有，证明：函数在内单调递减. 9．（24-25高三上·山东泰安·期末）法国数学家米歇尔·罗尔于1691年在他所著的《方程的解法》中，提出了确定多项式方程的根的位置的一种方法，后人把它推广到是一般的可导函数的情形，最终发展为罗尔定理，即若函数在上的图象是连续不断的曲线，在内处处可导（导函数存在），且，则至少存在一个实数，使得．罗尔定理是三大微分中值定理之一，在数学，物理，工程和经济学等领域有着广泛的应用． (1)已知函数的图象是连续不断的曲线，试用罗尔定理证明：，使； (2)已知函数的图象是连续不断的曲线，设的导数为为图象上的两点，，直线的斜率为，试用罗尔定理证明：存在唯一实数，使； (3)若方程在上有解，求实数的取值范围． 10．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. (1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”； (2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； (3)若，且，求证:. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招38 导数与三大中值定理的亲密接触 知识点01 拉格朗日中值定理 1.拉格朗日（Lagrange）中值定理及其推论 定理：若函数f（x）满足如下条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续； （2）f（x）在开区间（a，b）内可导． 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得． 推论：如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数. 2.拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线． 【注意】拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于切线斜率,如在处的切线斜率为0,但不存在割线使割线斜率等于0 3.拉格朗日公式还有下面几种等价形式 ， ， ． 【注意】拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，． 知识点02 罗尔中值定理 若函数满足：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）， 则至少存在一点使得. 知识点03 柯西中值定理 若函数、满足：（1）在上连续，在内可导；（2）在内每点处， 则至少存在一点使得. 题型01 对中值定理的认识 1．罗尔中值定理：微分中值定理的基础，若函数满足闭区间连续、开区间可导、两端点函数值相等，则区间内至少存在一点导数为0，几何对应曲线上有平行于横轴的切线. 2．拉格朗日中值定理：罗尔定理的推广，取消端点值相等的约束，区间内至少存在一点的导数值等于两端点连线的斜率，是沟通函数局部性质与整体性质的核心工具. 3．柯西中值定理：拉格朗日定理的进一步推广，适用于双函数场景，区间内至少存在一点的两函数导数值之比等于二者的区间增量之比，是洛必达法则的核心理论依据. 【典例1-1】（25-26高三上·山东·阶段检测）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.该定理如下：若函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点.那么函数在区间上的中值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】计算，得到，解得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 由拉格朗日中值定理得，解得. 因为，所以函数在区间上的中值点有2个. 故选：C 【典例1-2】（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和，根据罗尔中值定理可知，存在，，使，，故在上至少有两个不等实根，令，分类讨论函数零点个数，从而得解. 【详解】依题意设在区间内的零点为，则有, 由罗尔中值定理可知，存在，使， 同理，由及罗尔中值定理可知，存在，使， 故在上至少有两个不等实根， 令， 则，显然在上单调递增, 当，时，，此时在上单调递增， 故在上至多只有一个实根； 同理可知，当，时，，此时在上单调递减， 故在上至多只有一个实根； 当时，令，可得， 易知，且在上单调递减，在单调递增， 故当且时，； 又， 故， 则由零点存在性定理知，故. 故选：D 【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.请问函数在区间上的“中值点”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设函数在区间上的“中值点”为， 求导得，而， 由“中值定理”得，得， 所以符合条件的“中值点”个数为2. 2．（25-26高三上·广东汕头·阶段检测）定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 题型02 拉格朗日中值定理在导数中的应用 导数综合题（如证复杂不等式、分析函数单调性 ），构造合适函数与区间，用拉格朗日中值定理找中间点，将函数值差转化为导数（中间点）与自变量差的乘积，结合导数性质（如单调性、有界性 ），推导结论、解决问题. 【典例2】已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）证明:若,则对任意,,有. 【详解】（1）,,取决于分子,开口向上的抛物线,两根为:1,;讨论两根的大小.i.若,两根相等:,单调递增; ii.若,, 单调递减,单调递增; iii.若,,单调递减,单调递增; （2） 法一:设,只需证:,即,构造函数 ,只需证明在上单调递增， ,,,即在 单调递增,当时,,即, ,同理当时,. 法二:由拉格朗日中值中定值可知存在,使,, ,设,,则,即. 【跟踪训练】 1．设函数, 若对任意 , 都有 , 则的取值范围为 . 【答案】 【详解】 时, 等价于 , 由拉格朗日中值定理, 存在 使得 , 故只需 恒成立即可 又 , 所以 2．用拉格朗日中值定理证明不等式：． 【分析】令，，则符合拉格朗日中值定理的条件，即存在，使，由的性质，令，即可证得结果. 【详解】证明：设，，则符合拉格朗日中值定理的条件， 即存在，使， 因为，由，， 可知，，， 即， 可得， 即有， 令，可得， 即有． 3．已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设,如果对任意,,求的取值范围. 【详解】（1）,,i.当时,,在单调递增; ii.当时,,在单调递减; iii.当时,由得,在单调递增, 在单调递减. （2）法一:不妨设,而当时,由（1）可知在单调递减,从而, 等价于,. 构造函数,只需在单调递减,即在 恒成立,分离变量法:,只需. 法二:由拉格朗日定理知,,等价于,在存在,使得 成立,只需恒成立,只需, 得或(舍去). 题型03 罗尔中值定理在导数中的应用 罗尔中值定理解题策略 1．题型判定：若题目给出函数在闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等，要求证导数零点或含的等式，优先考虑罗尔定理. 2．构造辅助函数：将待证式中替换为x，得到辅助函数F(x). 3．条件验证：核对F(x)是否满足罗尔定理的三个核心条件，若涉及高阶导数可多次迭代应用定理. 4．推导结论：由罗尔中值定理得，整理后即可得到待证结论. 【典例3】（25-26高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立. (1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根. (2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解. (3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点. 【分析】（1）令函数，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得； （2）令，由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得，至少存在一个，使得，可得结论； （3）令 ，则 ，由罗尔中值定理知，存在，使得，故函数区间 内至少存在一个零点. 【详解】(1)证明：令函数， 显然在 上连续，在内可导， 则， 由条件知， 由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得， 即方程必有一个小于的正根. (2)令，则. 由，得，所以. 因为，所以， 由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得， 即. 同理，因为，由罗尔中值定理知， 至少存在一个，使得，所以 . 故方程在内至少存在两个不同的解. (3)证明：令 ，则 . 由，得， 则，又因为 是连续且可导函数， 由罗尔中值定理知，存在，使得， 则 ，所以. 故函数区间 内至少存在一个零点. 【跟踪训练】 1．利用罗尔中值定理证明：方程只有一个正根。 【详解】令，∵在上连续，且，， ∴由零点定理，至少有一点，使得； 假设有两个正根，分别设为、（）， 则在在上连续，在内可导，且， 从而由罗尔定理，至少有一点，使得，这不可能。 ∴方程只有一个正根。 2．（2025·安徽六安·模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．据此，解决以下问题： (1)证明方程在内至少有一个实根，其中； (2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围． 【分析】（1）根据导数运算构造函数，验证函数满足罗尔中值定理的条件，根据罗尔中值定理完成证明； （2）设，且，由罗尔中值定理可得至少有两个解，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理列不等式求的取值范围． 【详解】（1）设， 则， 所以函数在上连续，在区间上可导， 又，故， 所以由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得， 所以， 所以方程在内至少有一个实根， （2）因为函数在区间内有零点， 不妨设其零点为，则，， 由可得， 所以函数在上连续，在上可导， 又，， 由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得， 因为函数在上连续，在上可导， 又，， 由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得， 所以方程在上至少有两个不等的实数根， 设， 则， 当时，，函数在上单调递增， 所以方程在上至多有一个根，矛盾， 当时，，函数在上单调递减， 所以方程在上至多有一个根，矛盾， 当时，由，可得，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取最小值， 又， 所以， 又，， 由零点存在性定理可得，， 所以，，又， 所以， 所以的取值范围． 题型04 柯西中值定理在导数中的应用 柯西中值定理解题策略: 题型判定：若题目涉及两个函数差值之比，或需证明含两个导数（如）的等式，且端点函数值关系明确，优先考虑柯西中值定理. 构造辅助函数：直接识别待证式中的 (f(x)) 与 (g(x))，将要求证的等式化为 的形式；若形式复杂，可通过移项构造差函数 （(k) 为常数），再应用罗尔定理. 条件验证：确认 (f(x), g(x)) 在闭区间连续、开区间可导，且（或）。 推导结论：直接由柯西定理得，整理后得到待证结论. 【典例4-1】已知函数,若在上恒成立,则的取值范围为 . 【答案】 【详解】解法一:分类讨论法 ∵, 1 当时,, ∴在上单调递减.∴当时,,不合题意. ②当时,, 令得.得. (1)当,即时,时,,即递减, ∴,不合题意. (2)当,即时,时,,即单调递增, ∴满足题意.综上,. 法二:柯西中值定理法 第一步:分类讨论,并参变分离. 当时不等式成立,当时,可参变分离, 即. 第二步:分子和分母分别构造函数. .又,得. 第三步:利用柯西中值定理简化函数.其中. 第四步:利用极限可得函数确界.由,可得. 【典例4-2】（25-26高三上·重庆·期中）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理． (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明； (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 【分析】（1）对函数求导，得取由恒成立，得在上单调递增，由即得结论； （2）先将题设不等式转化成，利用柯西中值定理，将表示成的形式，从而得，不等式恒成立，构造函数求出最大值即得； （3）将待证不等式等价转化为，对于左式，运用柯西中值定理得到，再根据范围进行放缩即可得证. 【详解】（1）不妨取，则在上单调递增. 证明：因，，令， 因在上单调递增，则，在上恒成立， 故在上单调递增，则，即， 故在上单调递增. （2）因且，不等式恒成立， 即且，不等式恒成立， 取，由柯西中值定理，， 故，不等式恒成立， 令， 则由，可得，由可得， 即在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得最大值，故， 即实数的取值范围为. (3)因，取， 由柯西中值定理，， 因则， 因，故，证毕. 【跟踪训练】 1．已知函数,当时,,则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时不等式成立,当时,可参变分离, 即. 令.又,得. 利用柯西中值定理简化函数.,其中. 再次利用柯西中值定理简化函数.其中. 由,可得,即. 2．利用柯西中值定理证明：若,则 【证明】要证, 实际上只需证.设,则在上,满足柯西中值定理条件, . 3．（2025·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）由柯西中值定理可得对，，，结合的单调性即可求解； （2）取，，由柯西中值定理，成立，设，利用导函数求解的最大值即可得. 【详解】(1)证明：由题， 由柯西中值定理知：对，， 使得，， 又在上单调递增，则， 则，即， 所以， 故在上为增函数； （2）， 取，， 因为，所以由柯西中值定理，， 使得， 由题则有：， 设，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，所以实数的取值范围是. 1．拉格朗日中值定理：若函数在上连续，且在上可导，则必存在，满足等式，若，对，，，那么实数的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，，，使得． 因为，则， 令，则，令得. 当时，，即在上为增函数； 当时，，即在上为减函数． 所以即，故实数的最大值为. 故选：A. 2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由题意，函数， 所以， 所以， 所以由拉格朗日中值定理得：，即， 所以， 由于时， 所以在无解，在上有2解. 所以函数在区间上的中值点的个数为2个. 故选：B. 3．（多选）（25-26高三下·湖南常德·阶段检测）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（    ）(参考数据：，，，.) A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设函数在区间上的“中值点”为 由， 则由拉格朗日中值定理可得： 又 即 所以， 作出函数和的图象,如图1. 由图可知，函数和的图象在上有两个交点. 所以方程在上有两个解，即函数在区间上有2个“中值点”. 所以 又，函数在区间上的“中值点”为 ， 则由拉格朗日中值定理可得： 即， 作出函数与的图象，如图2 , 当时， 由图可知，函数与的图象在区间上有1个交点. 即方程在区间上有1个解. 所以函数在区间上有1个“中值点”，即 故选：BC 4．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，定理如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上“中值点”的个数为，函数在区间上“中值点”个数为，则有（      ） （参考数据：，，，.） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设在闭区间上的中值点为， 由， 由拉格朗日中值定理可得：， 因为， 所以，可得， ， 即 作出函数和的图象如图： 由图可知，函数和的图象在上有两个交点， 所以方程在上有两个解， 即函数在区间上有个中值点，所以， ，函数在区间上“中值点”为， 由拉格朗日中值定理可得：， 因为，，所以 作出函数与的图象如图： 当时，， 由图可知函数与的图象在区间上有一个交点， 即方程在区间上有一个根， 所以函数在区间上有个“中值点”，所以， 故选：BC 5．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.已知函数，，，那么实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意得到，构造，求导得到其单调性，进而可求解. 【详解】，不妨设因为函数， 在上连续，且在上可导， 则需要，使得， 又因，所以可得， ，所以，， 令，则， 当时，，所以在上单调递增 当时，，所以在上单调递减， 故， 6．已知函数,若时,恒成立,则的最大值为 【答案】e 【详解】,要使时,恒成立. 1 当时,不等式成立. ②当时,参变分离可得[其中 . 由柯西中值定理可得其中. 再次利用柯西中值定理可得 其中.由,可得. 7．（24-25高三上·山西·阶段检测）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【详解】(1)因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 8．（24-25高三上·安徽合肥·期中）定理  如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点，使得，这个定理称为微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理. 定理表明，如果函数的图象是闭区间上的一条连续曲线，且当时，曲线上的每点都存在切线，那么，在曲线上至少存在一点，使得该曲线在这一点处的切线平行于曲线两个端点的连线，如图所示. (1)已知，为函数图象位于之间的部分上的一点，其中为坐标原点，求点到直线的距离的最大值； (2)如果，证明：. (3)如果函数在内可导，且对于任意的，都有，证明：函数在内单调递减. 【详解】（1）显然直线的方程为，设，则，从而. 故点到直线的距离. 当时，点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值是. (2)设，则存在，，使得，. 而，故，所以. 从而 . (3)对，由于函数在内可导， 故函数在上连续，在内可导. 从而存在，使得. 而对于任意的，都有，所以， 从而. 故函数在内单调递减. 9．（24-25高三上·山东泰安·期末）法国数学家米歇尔·罗尔于1691年在他所著的《方程的解法》中，提出了确定多项式方程的根的位置的一种方法，后人把它推广到是一般的可导函数的情形，最终发展为罗尔定理，即若函数在上的图象是连续不断的曲线，在内处处可导（导函数存在），且，则至少存在一个实数，使得．罗尔定理是三大微分中值定理之一，在数学，物理，工程和经济学等领域有着广泛的应用． (1)已知函数的图象是连续不断的曲线，试用罗尔定理证明：，使； (2)已知函数的图象是连续不断的曲线，设的导数为为图象上的两点，，直线的斜率为，试用罗尔定理证明：存在唯一实数，使； (3)若方程在上有解，求实数的取值范围． 【详解】(1)， ， ， 在内处处可导， 又在上的图象是连续不断的曲线， 由罗尔定理，，使； (2)证明：， ， ， 设，则， ， 在内处处可导， 又在上的图象是连续不断的曲线， 由罗尔定理，，使得， 在上单调递增， 存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得； (3)设， 则在内有零点，设为的一个零点，且， ，又， 由已知，在和上的图象都是连续不断的曲线， 又， 在及上分别处处可导， 由罗尔定理知，至少存在一个，使得，至少存在一个，使得， 在上至少有两个不等实数根， 设， 则， ， ， 当，即时， 在上单调递增， 在上至多有一个实根，不合题意． 当，即时， 在上单调递减， 在上至多有一个实根，不合题意. 当，即时， 由，得，且， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 在上的最小值， ， ， 在上至少有两个不等实根， ， 解得， 又， 的取值范围为. 10．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下: 如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数. (1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”； (2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； (3)若，且，求证:. 【详解】（1）当时，则， 因为为函数在上的“拉格朗日中值点， 则， 即，解得 (2)证明如下： 当时， 不妨设，，，则， 又，令， 则， 又，所以恒成立， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以，所以， 由拉格朗日中值定理可知必存在使得， 即，又，所以， 即函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于； (3)证明如下： 当时， 由拉格朗日中值定理知，存在和， 使得，， 所以只需证明，即证明在上单调递减， 又， 令， 则， 令， 则， 当时， 令，，则，则在上单调递增， 又，， 所以存在使得， 所以当时，则，即单调递增， 当时，则，即单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以 ， 所以，所以在上单调递减， 即在上单调递减，命题得证. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $