专题02 抽象函数的性质与赋值（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了抽象函数的性质与赋值专题，涵盖单调性、奇偶性、对称性、周期性四大核心性质及常见函数模型，通过知识脑图搭建框架，分考点分层突破基础与重难点。 清单以考点聚焦解法深研为特色，提炼五大题型解题范式，如单调性解不等式、赋值法判奇偶性，结合新题对点练与典例变式训练，培养学生数学思维与模型观念。设优题精练模块强化实战，助力学生自主复习，教师可据此精准指导备考方向。

专题02 抽象函数的性质与赋值 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数单调性与奇偶性在抽象函数的应用 考点02函数对称性与周期性在抽象函数的应用 考点03抽象函数的常见模型 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 函数单调性解抽象函数不等式 题型02 判断抽象函数的奇偶性 题型03 递推式判断抽象函数的周期性 题型04 奇偶性与周期性判断抽象函数的周期性 题型05 抽象函数赋值法的综合应用 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数单调性与奇偶性在抽象函数的应用 1、函数单调性解抽象不等式 在解抽象函数不等式问题时，会利用函数的单调性来解，同时也会与定义域以及函数的奇偶性结合一起考虑。 ①直接利用单调性解不等式 单调递增 若解不等式 ,则有; 单调递减 若解不等式 ,则有 ②单调性与偶函数结合解不等式 在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有； 注意：在解抽象不等式时，除了得出与的大小关系外，还要注意要满足定义域。 2、抽象函数奇偶性的判断 （1）定义域关于原点对称； （2）赋值法，构造与的关系。常见赋值方法： ①令,求 ②令，可得出与的关系式。 【新题对点练】（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性得，再结合对数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 所以， 所以，解得，即x的取值范围是. 考点02 函数对称性与周期性在抽象函数的应用 1、函数的对称性 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 2、两个函数之间的对称性 ① 轴对称 若函数定义域为，则两函数的图象关于直线对称． ② 中心对称 若函数定义域为，则两函数与的图象关于点对称． 3、函数的周期性 对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期. 常见的周期性判断 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 【新题对点练】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 考点03 抽象函数的常见模型 （1）正比例函数，有； （2）一次函数，有； （3）二次函数，有； （4）幂函数，有或； （5）指数函数，有或； （6）对数函数，有或； 【新题对点练】（2026·陕西榆林·一模）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 【答案】ABD 【分析】抽象函数的性质，通过取特殊值解决前三个选项，选项D将抽象函数具体化. 【详解】 对于A，令，得，所以， 再令，，得，所以，故A正确； 对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得， 即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，令，得， 所以，由，得，解得或， 即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设， 不难验证， 所以，所以，将代入，可得， 所以，的零点为0，，2，故D正确． 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数单调性解抽象函数不等式 1、明确定义域：先确认不等式两边自变量（括号内的式子）都在函数的定义域内。若题目未给，需根据已知条件判断。 2、判断单调性：根据题目条件（如已知函数增/减，或给出导数符号，或由抽象关系推导）明确函数在对应区间上是递增还是递减。如果要解的不等式不是直接的的形式，则可能需要利用奇偶性或者对称性进行变形。 3、脱去函数符号，解普通不等式。如果是偶函数需要在去掉函数符号时加上绝对值。 【典例1】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 【典例2】（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，并分析函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】设，. 任取，则， 因为，，所以，即，所以， 所以在上单调递增. 原不等式可化为，由，得. ， 因为在上单调递增，故，即. 又，故. 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 【变式2】（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 题型02 判断抽象函数的奇偶性 1. 直接赋值法（最常用） 令变量取特殊值（如，或令），代入已知递推式，先求出，再令或，构造与的关系式。 2. 变量替换法 将递推式中的某个变量替换为相反数（如把换成），得到新等式，与原式联立，消去无关项，直接比较和。 3. 构造差/和法 令自变量互为相反数，代入递推式后，通过加减运算消去其他项，最终得到（偶）或 （奇）。 4. 利用周期性或迭代降维 若递推式含多个变量，可先通过赋值得到周期或特殊点值，再利用周期将转化为与同区间内的值进行比较。 【典例1】（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 【典例2】已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性. 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 【变式1】（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 【答案】C 【分析】通过赋值求得，可得，由奇偶性可得，从而即可判断函数的奇偶性． 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足，(*)， 令，可得，所以，则， 代入(*)，可得，又， 则，即得， 则有， 所以为奇函数，经验证，其它选项均不符合题意． 故选：C. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]已知是定义在R上的函数，下列结论正确的有（   ） A．若满足，则是奇函数 B．满足，且，则为奇函数 C．若恒有，则为偶函数 D．若恒有，则是奇函数 【答案】AD 【分析】A选项，由得到，A正确；B选项，赋值得到，故不满足奇函数的性质，B错误；C选项，赋值得到，再得到，C正确；D选项，赋值得到，，从而得到，D正确. 【详解】对于A，若，当时，令， 因为，所以，即； 当时，令，因为， 所以，即； 当时，令，因为， 所以， 综上，，所以是奇函数，所以A正确； 对于B，在中，令，得， 因为，所以，显然不符合，故B错误； 对于C，令，则， ， 令，则， ， 即为奇函数，C错误； 对于D，对任意，总有， 令得；令得，所以； 令得，所以； 令得， 所以是奇函数，故D正确． 故选：AD 题型03 迭代法判断抽象函数的周期性 利用迭代法去判断抽象函数的周期性，把递推关系当作“位移规则”，反复作用在自变量上，直到函数值回归原值，累计位移即为周期。 常见的递推型：已知 ；倒数型：；分式型：已知  【典例1】（25-26高三上·广西崇左·期末）已知定义在上的函数满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据得到函数的周期，结合周期函数求值即可. 【详解】由得，， 所以， 所以，因此函数的周期为6. 所以. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）设定义在上的函数满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件可得，由此可得函数为周期为的周期函数，故转化为，赋值由求解可得. 【详解】在①中，以替换可得②， ①②两式相除可得，所以， 所以函数是周期函数，且为周期， 所以． 当时，，又， 所以，所以． 故选：C． 【变式1】（2026·安徽芜湖·一模）已知的定义域为，满足，则 （    ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由上的函数满足，得， 即函数是以6为周期的周期函数，而， 所以. 故选：D 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数满足，且，，下列说法正确的有（   ） A．为的一个周期 B．为奇函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】由，通过代入，可求得周期为4，进而判定A；再结合，可判断B；再通过特值代入，可判断C；联想到正切函数的两角和公式和正切函数的性质，可以想到举例从而否定D. 【详解】对于A，当有意义，且，时， 则， 则， . 当时，(无意义)， 可得, 所以, 所以. 当时，, 可得, 综上，总有. 故为的一个周期，故A正确； 对于B，，即，函数关于点对称. 又由为的一个周期，所以， 所以，故为奇函数，故B正确； 对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义. 但已知，可得有意义，故有意义，, 所以分母不为零，有意义，从而,即, 所以，故C正确； 对于D，. 因为， ，， 满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误. 故选：ABC. 题型04 奇偶性与周期性判断抽象函数的周期性 1、为奇函数，则的图像关于点 对称 2、为偶函数，则的图像关于直线对称 3、根据对称中心跟对称轴来判断函数的周期性。 【典例1】（2026·山东聊城·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于轴对称，即可依次求得的值，根据周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 【典例2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值. 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 【变式1】（2026·安徽·模拟预测）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 【变式2】（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 题型05 抽象函数赋值法的综合应用 通过给抽象函数中的自变量赋予特殊数值（如互为相反数、互为倒数等），将含多个变量的递推式转化为只含单一变量的等式，从而直接求出特殊点值、奇偶性、周期性或对称性。 1、求特殊值。直接令变量取或令两个变量相等或互为相反数，代入后解出、或等关键点，这些值往往是后续推倒的锚点。 2、判奇偶性。令其中一个变量为0，另一变量保持，得到与的关系式；或令，再结合已求出的进行比较，一次性推出奇偶性。 3、推周期或对称。通过赋值将递推式降为一元关系后，再配合换元或迭代得到或。 【典例1】（2026·广东佛山·二模）定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【详解】令，则，化简得，又，，故A正确， 令，，化简得，又，，故B正确， 令，则，化简得，故为奇函数，故C错误. 令，则，化简得， 又，， 再令，则， 又为偶函数，，又为奇函数，， 故化简得， ，解得，故D正确. 【典例2】（25-26高三下·浙江宁波·阶段检测）已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 【变式1】（山西2026年高考考前综合评价（二模）数学试题）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 【答案】ACD 【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确. 【详解】方法一: 对于A,令,得，整理得，故或. 若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确； 对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确. 对于B，令，则，即. 由此递推：， 则， 于是，故的一个周期为. 又，，， ，， ，， 则 因， 故,B错误. 对于D，由C项知，则，又是偶函数，有， 即，而， 故，即，故关于对称，D正确. 方法二:令函数,由余弦型函数的性质可判断ACD均正确, 函数最小正周期,与方法一同理计算可知 【变式2】（2026·福建福州·三模）定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】AC 【分析】A. 令，由得；代入及 得 ； B. 由是偶函数及式令，得，因得，应为奇函数； C. 令推得恒等式，代入已知得，故； D. 令，则，得，再由得，故 ，而非. 【详解】令，代入式得，整理得，由题，故， 代入式得，代入得，又恒成立，故. 选项A正确； 已知为偶函数，即，令，代入式得 ， 代入和得 ，又，故， 即是奇函数，不是偶函数. 选项B错误； 对任意，令，得， 而，因此对任意恒有，即. 已知，代入得，整理得. 选项C正确； 由满足，得，即. 再代入得，即. 选项D错误. 优题精练·专题实战通关 1．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的周期，结合函数周期性求值即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 所以是周期为4的周期函数. 所以. 在中，令，则，所以. 因此. 2.（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 【答案】2 【分析】根据函数的对称性以及奇偶性求出函数的周期，再求解即可. 【详解】由是偶函数，可知是偶函数，则的图像关于直线对称. 由，可知的图象关于点对称，可得 故是的周期. 由，可得，，因此. 3．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【分析】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 5．（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇函数性质和已知条件推出函数的周期，再利用周期性和奇函数性质求出的值，最后求出的值. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且， 又，即，则关于对称， 所以，所以，则， 所以，即的周期为， 所以， 所以. 6．（2026·山东聊城·三模）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】联立两个函数关系式消去，推导得出的对称轴，结合偶函数性质推出函数周期，利用周期性和对称性求出，再代入关系式求出，最终计算目标值. 【详解】由得. 又因，则有， 即，故函数的图象关于直线对称. 又是偶函数，其图象关于直线对称. 故的一个周期为. 由得. 在中令，得. 由得. 因此. 7．（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出4是的一个周期，再结合周期性可得，即可得结果. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 8．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数，的定义域均为，函数是奇函数，函数是偶函数.若，，则（    ） A．100 B．225 C．400 D．2026 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和周期性求解 【详解】由函数是奇函数，得， 即① 由是偶函数，得② 由，得③ ∴，. 代入②，得④ 由①得⑤ 由④⑤得⑥ 即⑦ 由⑦得， 所以以4为周期. 因为，所以， 由⑤得， 又，∴. 由⑦得， ,， 所以， . 9．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在上的函数和满足，，若是偶函数，且，则（     ） A．34 B．36 C．38 D．40 【答案】C 【分析】利用递推关系式及函数的奇偶性得出的周期，再由赋值法求的值即可. 【详解】因为是偶函数，， 所以，所以， 又，两式相减可得， 所以可得，两式相减可得， 即，所以函数的周期， 由，令，可得，所以， 由，令，可得，所以， 由，令，可得， 由，令，可得，两式相减可得， 由，令，可得， 故一个周期中， 所以. 10．（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期为3 B．直线为的图象的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【分析】由题设易得，即可判断A；由直线是对称轴可得，进而得到，即可判断B；先根据周期性可得，再利用赋值法求解判断C；由易得，再求出，进而求解判断D. 【详解】依题意，，则， 即，故的周期，故A错误； 已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 由，令，可得，故C正确； 由 ， 所以， 已知，而，则， 则，故D正确． $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02抽象函数的性质与赋值 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 考点O1函数单调性与奇偶性在抽象函数的应用 )基础梳理·自主夯基 考点02函数对称性与周期性在抽象函数的应用 考点O3抽象函数的常见模型 @3素养进阶·答题技法突破一一提捧解题范式，提升答题素养 题型O2判断抽象函数的奇偶性 )考点聚焦·解法深研 题型O3递推式判断抽象函数的周期性 题型01函数单调性解抽象函数不等式 题型04奇偶性与周期性判断抽象函数的周期性 题型O5抽象函数赋值法的综合应用 @4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 ----◆》)的◆---- 1/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 们知识脑图核心脉络搭建 考点一：函数单调 单调性解不等式：增函数直接脱去符号；减函数需变号；偶函数需加绝对值 性与奇偶性在抽象 函数中的应用 奇偶性判断：赋值法构造f(x)与f(-x)的关系；常用令x=y=0求f(O),令y=-X 得关系式 抽 对称性：关于直线x=a对称；关于点(a,b)对称 考点二：函数对称 性与周期性在抽象 周期性：常见递推形式对应不同周期 函数中的应用 象函数的性质与赋 对称性与周期性的关系：两条对称轴或两个对称中心可得周期；一条对称轴加 一个对称中心也可得周期 正比例函数模型：fx+y)=f(x)+fy) -次函数模型：fx+y)=fx)+fy)-b 考点三：抽象函数 的常见模型 幂函数模型：fy)=f)f) 指数函数模型：f(x+y)=f()fy) 对数函数模型：fxy=fx)+fy) 赋值法：令变量取特殊值求特殊点、判断奇偶性、推周期或对称 综合要点 迭代法：将递推关系反复作用，累加位移得周期 奇偶性加对称性判断周期性：f(x+b)为奇函数则图像关于点对称，为偶函数 则关于直线对称 考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基一一核@必记 匆考点01 函数单调性与奇偶性在抽象函数的应用 1、函数单调性解抽象不等式 在解抽象函数不等式问题时，会利用函数的单调性来解，同时也会与定义域以及函数的奇偶性结合一起考 虑。 ①直接利用单调性解不等式 fx单调递增→若解不等式flg(x>fh(x)则有g(x)>h(x 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 fx单调递减，若解不等式flg(x)>fh(x)则有gx<h(x) ②单调性与偶函数结合解不等式 fx在R上是偶函数，且fx在o,+m单调递增，若解不等式flg(x)-flh(x)r则有g(x)>h(x fx在R上是偶函数，且fx在0，+o单调递减→若解不等式fgx>fh(x)r则有g(x<h(x 注意：在解抽象不等式时，除了得出gx)与h(x)的大小关系外，还要注意要满足定义域。 2、抽象函数奇偶性的判断 (1)定义域关于原点对称： (2)赋值法，构造f(x)与f(-x)的关系。常见赋值方法： ①令x=y=0,求f(0) ②令y=-x,可得出fx)与f(-x的关系式。 【新题对点练】(2026湖南模拟预测)己知函数f(x)是定义在R上的增函数.若fog,(x-1)水f(四)， 则x的取值范围是() A.(0,2) B.(1,3) c.(2,+∞) D.(3,+oo) ◇考点O2函数对称性与周期性在抽象函数的应用 1、函数的对称性 (1)若函数y=f(x)关于直线x=a对称，则f(a+x)=fa-x), (2)若函数y=f(x)关于点(a,b)对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b (3)函数y=(a+x)与y=f(a-x)关于y轴对称，函数y=fa+x)与y=-f(a-x)关于原点对称. 2、两个函数之间的对称性 ①轴对称 若函数y=f(x)定义域为R,则两函数y=f(x+a与y=f(b-x)的图象关于直线x=b:0对称. 2 ②中心对称 名西数y=fx定义该为R则两函数y=fa+x与y=c-fb-x)函图象关于点(：巴，1划称。 3、函数的周期性 3/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x都 成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期. 常见的周期性判断 ①fx)=f(x+a)→T=lal: ②f(x)=-f(x+a)→T=2al ③fx)= 1 f(x+a) →T=2a； ④fx)=- 1 f(x+a】 →T=2la: fIx+a)=fx→T=2lal: 1+f(x) fx+a=tfx→T=4lal 1-f(x ⑦fx+aj小1 Fx→T=3lal； ⑧f(x)=f(x+a)+fx-a→T=6al. 4、函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a: (2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心a,c),(b,c(a<b),则函数y=fx)是周期函数，且 T=2(b-a)° (3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0(a<b),则函数y=f(x)是周期函数，且 T=4(b-a) x= 【新题对点练】(2026陕西安康模拟预测)已知定义在R上的函数()的图象关于*2对称，且 f(x)+f(x+3)=f(2031),若f(7)=1,则 A.0 B.1 c.-1 D.-2 4/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。考点03抽象函数的常见模型 (1)正比例函数fx)=ax,有f(x+y)=f(x)+f(y): (2)一次函数f(x)=kx+b,有f(x+y)=f(x)+fy)-b (3)二次函数f（x)=ax+bx+c(a≠0)，有f(x+y=f(x)+f(y)+2ay-c: 适数nx归有f=fxfy宁 (5)指数函数fx=a,有fx+y)=f(x)fy成f(x-y)=f f(y): (6)对数函数f(x)=logx,有f(y)=f(x)+fy)或f()=f(x)小-f(y): 【新题对点练】(2026陕西榆林·一模)已知函数∫(x)的定义域为R,其图象是一条连续不断的曲线， 且对下行燕实数5，恒有+)/国+/0)+y+”,若0=-1则《) A.f()=1 B.f)是奇函数 C.x>2是(-2)Kf(0)的必要不充分条件 D.)的零点个数为3 素养进阶•答题技法突破 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 《。题型01函数单调性解抽象函数不等式◇ 悟 解题关健 1、明确定义域：先确认不等式两边自变量（括号内的式子）都在函数的定义域内。若题目未给，需根 据己知条件判断。 2、判断单调性：根据题目条件（如已知函数增/减，或给出导数符号，或由抽象关系推导）明确函数在 5/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对应区间上是递增还是递减。如果要解的不等式不是直接的fgx>f(hx)的形式，则可能需要利用 奇偶性或者对称性进行变形。 3、 脱去函数符号，解普通不等式。如果是偶函数需要在去掉函数符号时加上绝对值。 f(x)=e*-e *+2sinx 【典例1】(2026江苏盐城模拟预测)已知函数 (ae)+f(-x)>0 ·若 恒成立，则 的取值范围为() a〔司 c.( D. 【典例2】(2026-河北张家口三模)已知函数/ 的定义域为0，+∞).f)>0 且对任意5，都 xf(x2)()<0 有 X1-x2 则不等式f6x)>3:-9,46时 x2的解集为() A.(24) B,(4+∞) C.（∞，-2) D.2,2) 【变式1】(2026·重庆沙坪坝模拟预测)已知 f( 是定义在【44 上的偶函数，且在【4,0上为 增函数，则 f(2x+1)≤f() 的解集为() [[ n小e。n 【度式2】(2026安微合肥二核)已面数1=e+e-om+3,若对e}】 fmc+)≤f(x-2),则m的取值范围为（） A.【5- B.【50] c.[-2, D.[2,0] 。题型02判断抽象函数的奇偶性◇ 悟解题关键 6/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.直接赋值法（最常用） 令变量取特殊值（如0、1、-1，或令x=y=0),代入已知递推式，先求出f(0),再令y=-x或 x=-y,构造f-x)与f(x)的关系式。 2.变量替换法 将递推式中的某个变量替换为相反数（如把y换成-y),得到新等式，与原式联立，消去无关项，直接 比较f(-x)和f(x)。 3.构造差/和法 令自变量互为相反数，代入递推式后，通过加减运算消去其他项，最终得到f-x)·f(x)=0(偶)或 f(-x)+f(x)=0(奇)。 4.利用周期性或迭代降维 若递推式含多个变量，可先通过赋值得到周期或特殊点值，再利用周期将「-x)转化为与「(x)同区间内 的值进行比较。 【典例1】(2026广西河池三模)己知定义在R上的函数 )满足(+2)+f()=0,且=2-) 为偶函数，则下列结论正确的是（) A,函数四)为奇函数 B.函数+为奇函数 C.函数 (是偶函数 D.两数(+2)是偶函数 【典例2】已知函数 )cxeR,且x0)对任意不等于0的实数5，名都有f()-f)+f) 则 为〈） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既为奇函数也为偶函数 【变式1】(25-26高三上·江苏宿迁·期末)已知定义在R上的奇函数(x),满足x∈R, f(x+4)-f(x)=f(2) ,则() A.f(x+)一定是奇函数 B.f(x+)一定是偶函数 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.f(2+)一定是奇函数 D.(2-)一定是偶函数 【变式2】(25-26高三全国·一轮复习)[多选]已知()是定义在R上的函数，下列结论正确的有() A.若满足)=-f八r),则f四是奇商数 B.满足2f(x+)f(x-)=f()+f0),且f(O)≠0，则y=f()为奇函数 C.若恒有fx)+f)=fx+),则f(x)为偶函数 D.若恒有fy)=)+f(y),则f:是奇函数 ◇题型03迭代法判断抽象函数的周期性◇ 悟解题关键 利用迭代法去判断抽象函数的周期性，把递推关系当作“位移规则”，反复作用在自变量上，直到函数 值回归原值，累计位移即为周期。 常见的递推型：已知f(x+2)=fx):倒数型：fx+1=1 分式型：已 知fx+1=1+fx 1-f(x) 【典例1】(25-26高三上广西崇左期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+)=f()+f(x+2), f(①)=-1f37)= ,则 () A.-2 B.-1 C.1 D.2 【典例2】(25-26高三全国一轮复习》设定义在R上的函数/()清足f()f+2)-180)=2,则 f2019)等于(） A.13 B.2 e月 2 D.3 【变式1】(2026安微芜湖·一模)已知f(x)的定义域为R,满足f(x)=-f(x+3),f()=3,则f(2026)= 8/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.2 B.-2 C.3 D.-3 1+f(x) 【变式2(2025四川绵用模拟预测)函数y=了满足(+)--间，且了4-)-). f()>0 下列说法正确的有() A.T=4为 的一个周期 B f（为奇函数 c.f)=1 D.f(2)=0 《。题型04奇偶性与周期性判断抽象函数的周期性 悟 解题关健 1、f(ax+b)为奇函数，则f(x)的图像关于点(b,0)对称 2、f(ax+b)为偶函数，则f(x)的图像关于直线x=b对称 3、根据对称中心跟对称轴来判断函数的周期性。 【典例1】(2026山东聊城一模)已知函数 f(x 及其导函数8( 的定义域均为R,若f3x+2为奇函数， g(k)= fx+1+x为偶函数，8(0)=-2，则名S A.-12 B.-14 C.-15 D.-16 【奥例2】(2026江苏南通模拟预测)已知函数的定义域为R,且(x-2)是奇函数，2x-)是 f(2026)= 偶函数，则 () A.-2 B.0 C.1 D.2 【变式1】(2026安徽模拟预D已知函数（冈.8（刊的定义域为R,8四为偶西教且 f2-)=g().82+=-fd,若0=3，则() 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.80=-3 B.f(3)=3 c.f(5)=-3 D.8(9)=3 【变式2】(2026河南周口校拟预测若定义在R上的函数/（清足八+）+/(-)=2)， f(x+1)是奇函数， ,则妇 A.-1 B.-9 C.1 D.9 。题型05抽象函数赋值法的综合应用◇ 悟解题关健 通过给抽象函数中的自变量赋予特殊数值（如0、1、~1、互为相反数、互为倒数等），将含多个变量 的递推式转化为只含单一变量的等式，从而直接求出特殊点值、奇偶性、周期性或对称性。 1、求特殊值。直接令变量取0、1或令两个变量相等或互为相反数，代入后解出f(0以、f(1)或f(-1)等 关键点，这些值往往是后续推倒的锚点。 2、判奇偶性。令其中一个变量为0，另一变量保持x,得到f(x)与f(-x)的关系式；或令y=-x,再结 合已求出的f(0)进行比较，一次性推出奇偶性。 3、推周期或对称。通过赋值将递推式降为一元关系后，再配合换元或迭代得到f(x+T)=f(x)或 f(a+x)=f(a-x). 【典例1】(2026广东佛山二模)定义域关于原点对称的函数()，8()满足 g()+g0)=gx+0-g)g】.f)/()=f(+儿1-8()8(0】.f)为偶函数且fo)≠0 则() A.8(0)=0 B.f(0)=1 C.g(x)为偶函数 n5o)-号.wre-2 【典例2】(25-26高三下·浙江宁波阶段检测)已知函数f(x)的定义域为R, 10/13 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [f(x)]+[fy)]=f(x+y)f(x-y)+1fI)=0 ,则() A.f0)=0 B.f3)=0 C.f(x)为偶函数 D.f(x)为奇函数 【变式1】（山西2026年高考考前综合评价（二模）数学试题)已知函数 ()清足对于任意的yeR 都有k+)+x-)=20),且f0=,则以下结论正确的是() A.f(0)=1 B.f0+f(2)+f(3)+…+f(2026)=0 C.f(x)是偶函数 D日关陈 【变式2】(2026福建福州三模)定义在R上西数)与8（④满足：f(+)=f(:8)+g(/), gx+)=f()f)+g()g0),8(O)≠2,8()为偶函数.且g()>0恒成立，已知f(2)+g(2)=2, 则() A.g(0)=1 B.f)为偶函数C.)-g2)=D.f8)-sS)=-16 优题精练•专题实战通关 1.(2026湖商怀化一模)已知定义在R上的函数/)满足(x+2)+f()4,且f0)=0则 f(2026)=() A.0 B.2 C.3 D.4 2（2026山西晋中：三模)已知函数)6 的定义域 为R2x+)是偶函数，(+)=-fB-/0=1, 则3/B)+4r(4)+5f5)= 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026江苏南京·三模)己知定义在R上的非常数函数f()满足：对于任意x,y∈R都有： f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)f(1)=e-1 下列选项正确的是() A.儿四是奇函数 B.f()是偶函数 c.f(0)=- D.f(2)=e2-1 4.(2026重庆沙坪坝模拟预测)已知函数f()=og,(任+1)”则不等式/2)>f(x-少的解集为 () B.(-0G* C.(-1,0) p（a+m） 5.(2026山东日照模拟预)设()为定义在R上的奇面数，且+)f-)=0,f0=2,则 f(f(5) 的值为() A.-2 B.0 C.2 D.4 6.(2026山东聊城三模)已知函数f(冈，8（的定义域均为R,且）=g(-)-1 8(f2-1,若f(因是偶两数，且f(20)=3.则0+80=() A.4 B.5 C.6 D.7 7.(2026山西大同三模)已知（是定义在R上的奇函数，函数8(）=(-)（因的图象关于点L,0) 12/13 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 /0=2 对称，且满足台 ,则()=() A.-4 B.-2 C.2 D.4 8(2026江苏泰州模拟预已知函数（冈，8（四的定义域均为R,函数8(x-)-是奇函数，函数 f(x-1 是偶函数若8(-1)=f)-2,f0=1,则0+g2)+83)++80)=（) A.100 B.225 C.400 D.2026 ,.(2026甘肃张掖二模)已知定义在R上的西数0和()满足+1)小-8(x+4)=-1 g()+f(-x)=3,若f(x)是偶函数，且f(0)=3,则 g+0=() A.34 B.36 C.38 D.40 3 10.(2026安徽模拟预测)己知定义域为R的函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且对任意的x∈R, 恒有闪+f+3)f(2031).若)1，则下列说法正确的是（) 9 A.f(x)的一个周期为3 B.直线x=2为f(x)的图象的一条对称轴 c.f(3)=0 13/13