29.1.2 过三点的圆（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“反证法”核心知识点，从旧知“不在同一直线三点确定圆”切入，通过“同一直线三点能否作圆”的问题引发认知冲突，以假设推理引出矛盾，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题探究驱动数学思维，通过“假设-推理-矛盾-结论”流程培养推理能力，结合否定形式训练和实例证明（如证明两直线相交只有一个交点）提升数学语言表达，课堂总结系统梳理步骤与否定形式，助力学生掌握反证法，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆（第2课时 ） 学 习 目 标 1 2 3 理解反证法的概念，掌握反证法证明命题的一般步骤. 能运用反证法证明"经过同一条直线上的三个点不能作圆"等简单命题. 经历探究"经过同一直线上三点能否作圆"的过程，体会反证法的思维方式。 旧知复习 回顾 （1） 确定圆的条件是什么？ （2）三角形的外接圆有什么性质？ 1.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.外接圆的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径； 新知引入 探究 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆。那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ A B C 大部分学生凭直觉认为"不能"，但说不清理由。 这个问题从正面直接证明比较困难，我们能不能换一种思路. 先假设"能"，看看会推出什么结果？这就是我们今天要学习的一种新的证明方法——反证法。 新知探究 探究1：经过同一直线上三点不能作圆 探究 我们用反证法来证明"经过同一条直线上的三个点不能作圆. 已知：A、B、C三点在同一条直线上。 求证：经过A、B、C三点不能作圆。 证明：假设经过同一条直线上的A、B、C三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，即点P为与的交点。 而⊥ ， ⊥ ，这与以前学过的"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"矛盾。 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆。 点击图片动态演示证明过程 （放映状态下） 第一步：假设结论不成立，即假设"经过同一直线上三点可以作圆"； 新知探究 探究1：经过同一直线上三点不能作圆 证明思路 方法总结 第二步：从假设出发，经过推理，得出矛盾（和都过点P且都垂直于，与"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"矛盾）； 第三步：由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立。 这里的矛盾是与"基本事实"（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）矛盾. 新知探究 探究2：反证法的概念与一般步骤 概念归纳 反证法的定义 先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。 这种方法叫作反证法。 （2）当原命题结论的反面不止一种情况时，必须把所有情况一一否定，才能得出原命题成立。 （1）当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法； 适用情况 常见结论词的否定形式： 新知探究 探究2：反证法的概念与一般步骤 "是"的否定是"不是"； "都是"的否定是"不都是"（注意：不是"都不是"）； "大（小）于"的否定是"不大（小）于"； "能"的否定是"不能"； "相等"的否定是"不相等"； "至少有一个"的否定是"一个也没有"； "至多有一个"的否定是"至少有两个“. 新知巩固 否定形式 【分析】对命题进行否定时，改写量词至少有一个否定为都不， 至多一个否定为至少两个， 都是否定为不都是． 写出下列结论的否定形式： （1）三角形中至少有一个角不小于； （2）两条直线相交，至多有一个交点； （3）、都是偶数。 解：（1）三角形中三个角都小于； （2）两条直线相交，至少有两个交点； （3）、不都是偶数。 新知探究 探究3：反证法的应用 探究 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。例如，对于平行线的性质"两直线平行，同位角相等"，由"两直线平行"直接推导"同位角相等"比较困难，可以采用反证法。 已知：AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点O。 求证：∠1＝∠2 证明：假设∠1≠∠2 过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2 根据"同位角相等，两直线平行"，可得A′B′∥CD 这样，过点O就有两条直线AB、A′B′都平行于CD，这与基本事实"过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行"矛盾 这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1＝∠2 新知巩固 反证法的应用 【分析】采用反证法，先假设两条弦可以互相平分，结合等腰三角形性质推出矛盾，否定假设完成证明． 如图, AB, CD 是 ⊙O 内两条非直径的弦. 求证: AB 与 CD 不能互相平分. 证明: 如图 , 设 AB, CD 相交于点 P, 连接 OA, OB, OP. 假设 AB 与 CD 能互相平分. ∵ 在 △OAB 中, OA = OB ∴ △OAB 是等腰三角形. ∵ AP = BP, ∴ OP ⊥ AB, 同理 OP ⊥ CD, 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾, ∴ 假设不正确, ∴ AB 与 CD 不能互相平分. （1）与基本事实矛盾（如"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"） ； 反证法中的矛盾通常有以下几种类型 方法总结 （2）与定理矛盾（如"同位角相等，两直线平行"） ； （3）与定理矛盾（如“同位角相等，两直线平行”）； 新知探究 探究3：反证法的应用 （4）自相矛盾（推导过程中得出两个互相矛盾的结论）。 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到使命题不成立的反例即可. 巩固训练1 举反例 下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 解：对不等式变形，两边同时减去，得：， ∵已知，若，根据不等式的性质，不等号方向改变，可得， ∴此时，原命题不成立. 选项中只有，符合要求，因此选D. 巩固训练1 举反例 变式题 1.下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是 A． B． C． D． 解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，284=7，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 巩固训练1 举反例 变式题 2.对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心， 不同类型三角形外心的位置规律为：锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心为斜边中点，在三角形的边上， 钝角三角形的外心在三角形外部， 本题选项中只有直角三角形的外心不在三角形内部，可以作为说明原命题是假命题的反例，因此D符合题意． 巩固训练2 反证法证明中的假设 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．全为偶数 B． 至多有一个奇数 C． 全为奇数 D． 至多有两个奇数 解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数. ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 巩固训练2 反证法证明中的假设 1.用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 解：∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立． 原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于”， “至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”， 又∵直角三角形有且仅有两个锐角， ∴应假设两个锐角都大于． 变式题 巩固训练2 反证法证明中的假设 2.用反证法证明命题：在一个四边形中，至少有一个内角大于或等于，应先假设（     ） A．四边形中有一个内角小于 B．四边形中每个内角都小于 C．四边形中有一个内角大于 D．四边形中每个内角都大于 解：∵用反证法证明命题时，要先假设结论不成立 原命题结论为“四边形中至少有一个内角大于或等于”， “至少有一个内角大于或等于”的否定是“四边形中每个内角都小于”， ∴应先假设四边形中每个内角都小于. 变式题 巩固训练3 用反证法证明命题 【分析】运用反证法，假设两条相交直线有至少两个交点，结合两点确定一条直线的基本事实推出矛盾，即可证明原命题成立. 证明：两条直线相交只有一个交点． 已知：两条相交直线与． 求证：与只有一个交点． 证明：假设直线与有两个或两个以上的交点，不妨取其中两个交点为、， ∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过点、的直线有且只有一条， 这与、是两条不同的直线且均经过点、矛盾， ∴假设不成立，即与只有一个交点． 巩固训练3 用反证法证明命题 变式题 证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 解：证明：假设中没有内角小于或等于． 即，，． ． 这与三角形的内角和为矛盾， 该假设不成立． 中至少有一个内角小于或等于． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 21 感谢聆听! 22 $