29.1.2过三点的圆（第2课时）2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦“过三点的圆”第2课时，核心讲解反证法。通过复习“不在同一直线上三点确定一个圆”，提出“同一直线上三点能否作圆”的问题，引导学生用反证法证明，构建从已有知识到新方法的学习支架。 其亮点是以合作探究为主线，结合“同一直线上三点不能作圆”“三角形不能有两个直角”等几何实例，清晰呈现反证法四步流程，培养学生的推理意识与几何直观。课堂小结用箭头流程梳理步骤，帮助学生形成有理有据的表达习惯，教师可借助典例和分层练习提升教学效率。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.2 过三点的圆 （第2课时） 学习目标 1 2 通过实例体会反证法的含义. 体会反证法在几何证明中的独特价值，感受不同数学证明方法的多样性，形成有理有据的数学表达习惯． 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 圆 概念 相关概念 点与 圆的 位置 关系 设⊙O的半径为r， 任意一点到圆心 的距离为d. 点在圆外 点在圆上 点在圆内 位置关系 数量关系 d>r d=r d<r ⇔ ⇔ ⇔ 动态定义 静态定义 弦——直径 弧——半圆、优弧、劣弧 等圆、等弧 过三点的圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角 形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为P， 那么点P既在线段AB的垂直平分线l₁上， 又在线段BC的垂直平分线l₂上， 即点P为l₁与l₂的交点. 而l₁⊥l，l₂⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆. 2 合作探究 思考 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆.那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗? 2 合作探究 如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为P， 那么点P既在线段AB的垂直平分线l₁上， 又在线段BC的垂直平分线l₂上， 即点P为l₁与l₂的交点. 而l₁⊥l，l₂⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆. 提出与结论 相反的假设 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同. 推出和★相 矛盾的结果 断定所作 假设错误 原命题成立 ★定义、基本事实、 定理、题设... 反证法 反证法的奥妙 2 合作探究 应用 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法. 例如，对于平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，由“两直线平行”直接推导“同位角相等”比较困难，可以采用反证法. 思考 证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2. 2 合作探究 思考 证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2. 假设∠1≠∠2， 过点O作直线A'B'，使∠EOB′=∠2. 根据“同位角相等，两直线平行”，可得A'B'//CD.这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD， 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明假设不正确，从而∠1=∠2. 2 合作探究 思考 证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2. 提出与结论 相反的假设 推出和★相 矛盾的结果 断定所作 假设错误 原命题成立 假设∠1≠∠2， 过点O作直线A'B'，使∠EOB′=∠2. 根据“同位角相等，两直线平行”，可得A'B'//CD.这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD， 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明假设不正确，从而∠1=∠2. 4 巩固练习 1. 用反证法证明“直线a，b，l在同一平面内，若a⊥l，b⊥l，则a∥b．”，应先假设（     ） A．a∥b B．a与b相交 C．a⊥b D．a不垂直于l B 2. 用反证法证明命题结论“a是负数”时，应先假设（     ） A．a≥0 B．a>0 C．a=0 D．a≠0 A 1. 用反证法说明：400人中至少有两个人的生日相同. 3 典例分析 证明：假设400 人中任意两个人的生日都不相同. ∵每个人对应一个独一无二的生日日期，400 人互不相同， ∴需要存在 400 个互不重复的生日日期. ∵一年最多只有 366 天（闰年），全年仅有 366 个不同日期，不可能出现 400 种不一样的生日，二者互相矛盾. ∴该假设不成立. ∴400 人中至少有两个人的生日相同. 2. 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 3 典例分析 证明：假设一个三角形中存在两个角是直角， 不妨设在△ABC中，∠A=90°，∠B=90°. ∵∠C>0°， ∴∠A+∠B+∠C>90°+90°+0°，即∠A+∠B+∠C>180°. 这与定理“三角形的内角和等于180°”矛盾. ∴假设不成立. ∴一个三角形中不能有两个角是直角. 4 巩固练习 3. 以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在△ABC中，∠C>∠B．求证：AB>AC． ②无论哪种情况，都与已知∠C>∠B矛盾． ③因此假设都不成立，所以AB>AC． ④假设AC>AB，∴∠B>∠C；假设AB=AC，∴∠C=∠B． 这四个步骤正确的顺序应是_______________． ①④②③ 证法1：如图1，假设直线l1与直线l2不平行，且l1与l2相交于点P， 所以∠1+∠2+∠P=______（                          ）， 所以∠1+∠2____180° ， 这与“∠1+∠2=180°”矛盾， 故假设不成立，所以l1∥l2． 4 巩固练习 4. 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”． 如图，已知：直线l1、l2被直线l3所截，l3分别交l1、l2于点M、N，∠1+∠2=180°， 求证：l1∥l2．把以下证明过程补充完整. 180° 三角形内角和等于180° < 证法2：如图2，假设直线l1与直线l2不平行， 那么可以过点M作直线GH∥l2，则∠1≠∠HMN． 因为GH∥l2， 所以∠2+∠HMN=180°（                           ）， 因为∠1+∠2=180°， 所以_____________（                          ）， 这与“∠1≠∠HMN”矛盾，故假设不成立，所以l1∥l2． 4 巩固练习 4. 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”． 如图，已知：直线l1、l2被直线l3所截，l3分别交l1、l2于点M、N，∠1+∠2=180°， 求证：l1∥l2．把以下证明过程补充完整. 两直线平行，同旁内角互补 ∠1=∠HMN 同角的补角相等 5 当堂检测 1.用反证法证明：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°． 已知：如图，Rt△ABC，∠C=90°． 求证：∠A，∠B至少有一个不大于45°． 证明：假设所求证的结论不成立，即_______________． ……横线处应填入（     ） A．∠A<45°，∠B>45° B．∠A<45°，∠B<45° C．∠A>45°，∠B<45° D．∠A>45°，∠B>45° D 5 当堂检测 2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（     ） A．点D B．点E C．点F D．点G C 解：由题意，OA=OB=OC， ∴∠1=∠OCA，∠2=∠OBC，∠3=∠OAB， ∴∠AOC=180°−2∠1，∠BOC=180°−2∠2， ∠AOB=180°−2∠3， ∵∠AOC+∠BOC+∠AOB=360°， ∴180°−2∠1+180°−2∠2+180°−2∠3=360°， ∴2∠1+2∠2+2∠3=180°，则∠1+∠2+∠3=90°． 5 当堂检测 3.如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=________． 90° 5 当堂检测 4.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC边上的中线AD=12． (1)请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△ABC的外接圆的半径． 解：（1）如图所示，⊙O即为所求； 5 当堂检测 解：（2）如图，连接OB， ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°， ∴BD===5， 设OA=OB=x，则OD=12−x， 在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2， ∴(12−x)2+52=x2，解得：x=， 即△ABC的外接圆的半径为． 6 课堂小结 提出与结论 相反的假设 推出和★相 矛盾的结果 断定所作 假设错误 原命题成立 ★定义、基本事实、定理、题设... 反证法 经过同一条直线上的三个点不能作圆. 6 课堂小结 圆 概念 相关概念 点与 圆的 位置 关系 设⊙O的半径为r， 任意一点到圆心 的距离为d. 点在圆外 点在圆上 点在圆内 位置关系 数量关系 d>r d=r d<r ⇔ ⇔ ⇔ 动态定义 静态定义 弦——直径 弧——半圆、优弧、劣弧 等圆、等弧 过三点的圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 反证法 三角形的外接圆、外心 圆的内接三角形 7 布置作业 A 习题29.1：第3题. $