第一次月考压轴题 十七类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合、逻辑与不等式三大模块，通过17类典型题型的“典例+变式”训练，系统构建压轴题解题通法，培养数学抽象与逻辑推理能力，实现知识逻辑与能力迁移的统一。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|5题型（含新定义）|分类讨论参数范围、等价转化条件|从集合关系到逻辑命题，构建“概念-运算-应用”递进链条| |不等式应用|12题型（含最值与证明）|“1”代换、配凑/换元法、根分布策略|从基本不等式到含参不等式，形成“性质-解法-综合应用”逻辑体系|

第一次月考压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由集合的包含关系求参数范围 题型十、“对勾函数”型最值 题型二、由集合的交并补运算求参数范围 题型十一、配凑法求最值 题型三、容斥原理的应用 题型十二、因式分解或换元法求最值 题型四、集合的新定义 题型十三、基本不等式的几何证明 题型五、由充分条件与必要条件求参数 题型十四、解含参的一元二次不等式 题型六、由全称命题或特称命题的真假求参数 题型十五、一元二次不等式的整数解问题 题型七、基本不等式“1”的代换 题型十六、一元二次不等式恒成立与有解问题 题型八、基本不等式“和与积”共存求最值 题型十七、一元二次方程根的分布问题 题型九、由复杂条件等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由集合的包含关系求参数范围 典例1 （26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式1-1（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 变式1-2（2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 变式1-3（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 类型二、由集合的交并补运算求参数范围 典例2 （25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 变式2-1（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 变式2-2（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 变式2-3（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 题型三、容斥原理的应用 典例3 （25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 变式3-1（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 变式3-2（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 变式3-3（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 题型四、集合的新定义 典例4 （26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 变式4-1（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 变式4-2（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 变式4-3（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 题型五、由充分条件与必要条件求参数 典例5 （26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 变式5-1（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 变式5-2（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 变式5-3（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 题型六、由全称命题或特称命题的真假求参数 典例6 （24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 变式6-1（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 变式6-2（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 变式6-3（2025高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 题型七、基本不等式“1”的代换 典例7 （24-25高三上·湖南·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 变式7-1（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 变式7-2（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 变式7-3（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 题型八、基本不等式“和与积”共存求最值 典例8 （25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 变式8-1（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 变式8-2（25-26高一上·河北唐山·期中）已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 变式8-3（25-26高一上·河南郑州·期中）已知且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 题型九、由复杂条件等式求最值 典例9 （25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 变式9-1（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 变式9-2（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 变式9-3（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的最小值为______． 题型十、对勾函数”型最值 典例10 （2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 变式10-1函数取得的最小值时，的值为___________． 变式10-2（23-24高一上·安徽安庆·期中）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 变式10-3（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 题型十一、配凑法求最值 典例11 （25-26高一下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 变式11-1（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最大值为_________； 变式11-2（24-25高一上·陕西渭南·阶段检测）已知，则的最大值为_____．已知，，且，则的最小值为_____ 变式11-3（23-24高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，则的最大值是______. 题型十二、因式分解或换元法求最值 典例12 （25-26高二下·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 变式12-1（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 变式12-2（25-26高一上·天津·阶段检测）已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 变式123已知均为正实数，，则的最小值是______． 题型十三、基本不等式的几何证明 典例13 （23-24高一上·甘肃白银·期末）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 变式13-1（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号）    ①；②； ③；④． 变式13-2《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段__的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为__． 变式133（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 题型十四、解含参的一元二次不等式 典例14 （26-27高一上·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 变式14-1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，，，且，求证：； （2）求关于的不等式的解集. 变式14-2（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足不等式，解关于的不等式． 变式14-3（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 题型十五、一元二次不等式的整数解问题 典例15 （25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式15-1（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式15-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 变式15-3（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 题型十六、一元二次不等式恒成立与有解问题 典例16 （25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 变式16-1（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 变式16-2（24-25高一上·四川德阳·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 变式16-3（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 题型十七、一元二次方程根的分布问题 典例17 （24-25高一上·广东深圳·期中）（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 变式17-1（2026高一·全国·专题练习）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 变式17-2（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 变式17-3（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由集合的包含关系求参数范围 题型十、“对勾函数”型最值 题型二、由集合的交并补运算求参数范围 题型十一、配凑法求最值 题型三、容斥原理的应用 题型十二、因式分解或换元法求最值 题型四、集合的新定义 题型十三、基本不等式的几何证明 题型五、由充分条件与必要条件求参数 题型十四、解含参的一元二次不等式 题型六、由全称命题或特称命题的真假求参数 题型十五、一元二次不等式的整数解问题 题型七、基本不等式“1”的代换 题型十六、一元二次不等式恒成立与有解问题 题型八、基本不等式“和与积”共存求最值 题型十七、一元二次方程根的分布问题 题型九、由复杂条件等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由集合的包含关系求参数范围 典例1 （26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 变式1-1（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】解方程可得，因此或或或，分情况讨论即可求出的取值范围． 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得或或或， 当时，满足，解得， 将代入方程，可得， 此时，满足条件， 将代入，得到，上面已经验证满足条件， 综上所述，的取值范围是． 变式1-2（2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 变式1-3（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 类型二、由集合的交并补运算求参数范围 典例2 （25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 变式2-1（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 变式2-2（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 变式2-3（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为. 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 题型三、容斥原理的应用 典例3 （25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 变式3-1（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 变式3-2（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 变式3-3（25-26高一上·安徽黄山·期中）某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【答案】5 【分析】利用Venn图即可求解． 【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示， 则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人． 故答案为：5.    题型四、集合的新定义 典例4 （26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 变式4-1（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 变式4-2（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 变式4-3（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 题型五、由充分条件与必要条件求参数 典例5 （26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 变式5-1（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 可知或，则. （2）若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 变式5-2（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【详解】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，且等号不同时成立，解得， 综上可得. 变式5-3（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 题型六、由全称命题或特称命题的真假求参数 典例6 （24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【详解】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 变式6-1（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 变式6-2（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 变式6-3（2025高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 题型七、基本不等式“1”的代换 典例7 （24-25高三上·湖南·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 变式7-1（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. 变式7-2（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 变式7-3（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】将原式子化简后，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，，所以， ， . 所以， . 所以 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 题型八、基本不等式“和与积”共存求最值 典例8 （25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【答案】（1），；（2）的最小值为6，． 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解． 【详解】（1）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍）， 当且仅当时，取得最小值为6． 变式8-1（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 变式8-2（25-26高一上·河北唐山·期中）已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等价于，由“1”的妙用化简，再由基本不等式解出答案； （2）由，将看成一个整体，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）若，则，         所以，     当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. （2）由得，         当且仅当，即，时等号成立，    所以， 所以或， 又， 所以的最小值为. 变式8-3（25-26高一上·河南郑州·期中）已知且. (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【答案】(1) (2)；， 【分析】（1）利用基本不等式将转化为，再解不等式即可； （2）方法一：将变形为再利用基本不等式求出的最小值即可得解；方法二：将变形为，即，再利用基本不等式求出其最小值即可. 【详解】（1）， 又 ， ， 当且仅当，即时取等号， 即，即， 解得或（舍），所以， 所以的取值范围是. （2）方法一：，即，， ，， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时 方法二：，. ，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为，此时. 题型九、由复杂条件等式求最值 典例9 （25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 变式9-1（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 【答案】 【分析】采用目标换元+一元二次方程判别式法求最值，将所求式整体设元，转化为方程有正根的存在性问题，避免复杂均值配凑，最后务必验证等号可取性. 【详解】由题，因为，所以， 令，则, 故，即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 因为，所以的最小值为， 此时，因此的最小值为 变式9-2（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 【答案】 【分析】对式子变形，利用基本不等式可得，结合取等条件代入，再根据二次型函数最值求解． 【详解】解：， 即， 故，当且仅当时等号成立， 此时， 当，即时，取得最小值． 变式9-3（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】记原式为．首先齐次化，结合均值不等式有，从而可得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 题型十、对勾函数”型最值 典例10 （2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 变式10-1函数取得的最小值时，的值为___________． 【答案】4 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案. 【详解】.当且仅当，即时， 等号成立.故的最小值为6. 故答案为：4 变式10-2（23-24高一上·安徽安庆·期中）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 变式10-3（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②. 【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解； （2）将函数变形为，利用基本不等式求解； （3）将函数变形为，利用基本不等式求解； （4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解； （5）将函数变形为，利用基本不等式求解； （6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （2）因为，所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 所以函数的最大值为. （3）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （4）， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为. （5）, 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以， 所以函数的值域为. （6）①令，因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为1. ②令，则，所以， 所以， 因为函数在单调递增， 所以当时，即时，有最小值为4， 所以， 所以函数的最大值为. 题型十一、配凑法求最值 典例11 （25-26高一下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 变式11-1（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最大值为_________； 【答案】 【分析】先观察条件等式和所求式子，由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为. 故答案为： 变式11-2（24-25高一上·陕西渭南·阶段检测）已知，则的最大值为_____．已知，，且，则的最小值为_____ 【答案】 / 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，故， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 由于，，故， 则， 当且仅当时，即时取到等号，故的最小值为. 故答案为：；. 变式11-3（23-24高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：. 题型十二、因式分解或换元法求最值 典例12 （25-26高二下·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 变式12-1（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 变式12-2（25-26高一上·天津·阶段检测）已知，b为正实数，且，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由条件可得，据此利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， ，b为正实数，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 变式123已知均为正实数，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据题设条件特征令，，则，用其替代问题中的变量，从而达到消元和简化题设问题，并构造出基本不等式模型，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知均为正实数，，即， 令，，所以， 所以 ， 当且仅当，即或取等号． 则的最小值是. 故答案为：. 题型十三、基本不等式的几何证明 典例13 （23-24高一上·甘肃白银·期末）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则__________（用表示），由可以得出的关于的不等式为__________． 【答案】 （也可以写作） 【分析】确定，根据线段间的关系计算，确定，根据得到不等式. 【详解】，， ， 由可得，即． 故答案为：； 变式13-1（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号）    ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 故答案为：①③． 变式13-2《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段__的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为__． 【答案】 【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可． 【详解】由题意得：，， 由于，， 所以， 则，故， 解得， 利用直角三角形的边的关系，所以． 当和重合时，， 所以． 故答案为：； 变式133（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 题型十四、解含参的一元二次不等式 典例14 （26-27高一上·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【答案】当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为 【详解】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 变式14-1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，，，且，求证：； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】 （1）法一：由， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 法二：根据柯西不等式：对任意实数 和 ， 有 , 令 ，取 ，代入得： , 化简左侧为 ，结合题设条件 ，右侧代入得： ,两边同时除以正数3，不等号方向不变，得： 等号成立当且仅当 ，即 ，结合 ， 解得 时等号成立。 （2） 若 ，解集为;若 ，解集为 ；若 ，解集为 . 【分析】（1）法一：利用差值比较法证明不等式；法二：利用柯西不等式或者平方和与和的平方的关系公式推导。 （2）先对二次式因式分解，得到不等式对应方程的两个根,因为，二次函数开口向上，所以根据两个根的大小关系分情况讨论，结合二次函数图象写出解集. 【详解】（1）略 （2） ，原不等式等价于： ， 由于 ，两边同时除以正数 ，不等号方向不变，得： ， 该二次函数 开口向上，两个零点分别为 和 ，根据两根的大小关系分三类讨论： 当 ，即 时，解集为; 当 ，即 时，不等式变为 ，解集为 ； 当 ，即 时，二次函数大于0的区间在两根外侧，解集为. 综上，若 ，解集为; 若 ，解集为 ； 若 ，解集为 . 变式14-2（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【答案】当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． ． 【分析】先求解不等式得的范围，再通过比较方程的两根大小，求得不等式的解集. 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 变式14-3（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 题型十五、一元二次不等式的整数解问题 典例15 （25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含参分类讨论解不等式，再结合解集中恰有3个整数即可求出答案. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 变式15-1（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式可得，结合题意运算求解即可. 【详解】对于关于的不等式，可得， 若不等式恰有三个整数解，即为2，3，4， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 变式15-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对实数的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数列出不等式可得结果. 【详解】不等式可分解为， 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 当，不等式为，此时解集为空集，符合题意； 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D 变式15-3（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次方程两根的大小关系，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，原不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，原不等式的解集为， 因为原不等式恰有两个整数解， 所以这两个正整数一定为，因此； 当时，原不等式的解集为， 因为原不等式恰有两个整数解， 所以这两个正整数一定为，因此， 综上所述：实数的取值范围为或， 故选：D 题型十六、一元二次不等式恒成立与有解问题 典例16 （25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为 ； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得 . 即所求的取值范围为. 变式16-1（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 变式16-2（24-25高一上·四川德阳·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 变式16-3（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据一元二次函数的系数与根的个数的关系，可求得，又，代入集合，化简即可； （2）由是的必要不充分条件，得且，所以对于恒成立，再解含参的恒成立问题即可； （3）由命题为真命题，得，根据均值不等式求得，从而求得的范围，又为假命题，所以求其补集即为的范围；根据命题的否定，得，使得，再根据一元二次系数与根的关系进行运算求解即可. 【详解】（1）存在，使成立， ，解得， 又， 当时，集合， 此时. （2）由题. 是的必要不充分条件，且， 即对于恒成立， ， 由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以当时，，即，解得， 的取值范围是. （3）由（2）知， 命题，都有，则. ，当且仅当即时取等号， ，即， 若命题为真命题，则，命题为假命题， 命题使得成立， 所以，使得为真命题， 则恒成立， 所以恒成立，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 题型十七、一元二次方程根的分布问题 典例17 （24-25高一上·广东深圳·期中）（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 变式17-1（2026高一·全国·专题练习）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 变式17-2（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 变式17-3（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $