1.5 自由落体运动和竖直上抛运动 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦自由落体运动和竖直上抛运动两大高考核心考点，按认知过程、运动条件与特征、运动方程、解题技巧的逻辑层次系统梳理，通过考点精讲、方法指导（如比例规律）、真题演练（例题及作业题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破运动学公式应用、对称性分析等难点。 资料突出科学思维与模型建构，如结合伽利略斜面实验培养科学推理能力，利用时间等分、位移等分比例规律实现快速解题，设置从基础例题到高考真题的分层练习。通过经典问题（抛球杂技）强化综合应用，有效提升学生应试能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§1.5 自由落体运动和竖直上抛运动 （一）自由落体运动 1．认知过程——亚里士多德与伽利略的观点 （1）亚里士多德的观点及人们的直观认知：重的物体比轻的物体下落得快 （2）伽利略的质疑及其探究：逻辑推理、理想斜面实验、落球实验 【例1】伽利略相信，自然界的规律往往是简单的。他从这个信念出发，猜想落体的速度应该是均匀变化的。为验证自己的猜想，他做了有名的铜球“斜面实验”，发现铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比。改变铜球的质量或增大斜面倾角，上述规律依然成立。于是，他外推到倾角为90°，得出自由落体运动的规律。下列说法正确的是（ ）A．伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大速度，从而便于测量速度 B．伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大加速度，从而便于测量加速度 C．由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随位移均匀增大，说明速度均匀变化成立 D．由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随时间均匀增大，说明速度均匀变化成立 2．运动条件——理想化的运动模型 （1）初速度为零（由静止开始下落） （2）运动中只受重力（不计空气阻力及其它任何力） 3．运动特征——不同物体下落快慢相同（具有等大的自由落体加速度g） （1）不同物体的自由落体运动快慢相同（熟悉落球实验、钱羽管实验） （2）运动速度随下落时间均匀增大（而不是随下落高度均匀增大）（熟悉伽利略的理想斜面实验） （3）自由落体加速度（重力加速度）g ①g的大小及其影响因素 ②g的测定方法：自由落体法（闪光拍照法、滴水法、磁控法）、单摆振动法、比值法（g=G/m） 【例2】关于自由落体运动（由静止开始下落，不计空气阻力），下列说法正确的有（ ） A．重的物体比轻的物体下落得快 B．密度大的物体比密度小的物体下落得快 C．下落速度随下落时间均匀增大 D．下落速度随下落高度均匀增大 4．运动方程——两公式+两推论（以下是取竖直向下为正方向的） ( 速度公式： 位移公式： 下落 h 高所用时间 ： 下落 h 高时的速度 ： ) 【例3】一物体从塔顶由静止下落a米时，另一物体从塔顶下方b米处由静止下落，它们同时落地，则塔高为 。 【例4】某同学观察从水龙头流出的竖直水柱，发现越往下水柱越细。他测量了水龙头出水口的横截面积S0＝1cm2，并用手机的速度传感器功能，测得水流流出的初速度v0＝1m/s，不计空气阻力和其他任何因素对水流的影响，重力加速度g＝10m/s2，则出水口下方h＝1.2m处水柱的横截面积S为（ ） A．0.2cm2 B．0.4cm2 C．0.5cm2 D．0.6cm2 5．解题技巧——记忆+比例规律（追求秒解） （1）建议记住一些数据 （2）巧用比例规律，准确秒解 ①时间等分，下落高度比：1:3:5:7:9:…:（2n-1）（n不为整数也成立） ②位移等分，下落时间比：1:(−1):(−):…:(−)（n不为整数也成立） 【例5】一小球从空中某处自由下落至地面（忽略阻力），若最后1s的位移是第1s的n倍，则下落总时间为（ ） A． B． C． D． （二）竖直上抛运动 1． ( 上升过程：末速度为零的匀减速直线运动 下落过程：初速度为零的匀加速直线运动 )运动性质： 加速度a上＝a下＝g，全过程是初速度不为零的匀变速直线运动。 2．竖直上抛运动公式（以下是取竖直向上为正方向的） 速度公式：（v为正，表示在上升；v为负，表示在下落） 位移公式：（h为正，表示在抛出点上方；h为负，表示落到了抛出点以下） 上升时间：；下落时间：；总时间：（从抛出到落回抛出点） ( A B C D v'= - v 0 v 0 D C B A 下落过程 上升过程 )上抛高度： 3．竖直上抛运动的对称性（上升过程与下落过程具有对称性） （1）时间对称性：竖直上抛运动中，物体从抛出点上升到最高点和从最高点 落回到抛出点所用时间相等。 推论：竖直上抛运动中，物体在任意两点间上升时间等于下落时间：t上＝t下 【例6】做竖直上抛运动的物体，两次经过较低处的A点所用时间为t1，两次经过较高处 的B点所用时间为t2，则A、B间的高度为 。 （2）速率对称性：竖直上抛运动中，物体落回抛出点时的速率等于抛出时的速率：v'＝–v0 推论：竖直上抛运动中，在空间中的任一点，物体的上升速率等于下落速率：v下＝–v上 （3）对称性的推广：一物体先匀减速运动再反向匀加速运动，若整个过程中加速度矢量恒定，即整个过程为匀变速直线运动，则减速过程和加速过程都具有时间对称性及速率对称性。 例如：一物体以一初速度沿光滑斜面上滑，再返回下滑，上滑和下滑过程就具有对称性。 （4）匀减速直线运动的逆程转化：由于末速为零的匀减速运动和初速为零的匀加速运动具有对称性，而初速为零的匀加速运动在运动规律上较为简单，因而，我们可将末速为零的匀减速运动逆程转化为初速为零的匀加速运动进行分析处理。即： ( 时间反演 逆程转换 末速度为零的匀减速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 ) 【例7】给滑块一初速度v0，使它沿斜面向上做匀减速直线运动，加速度大小为；到达最高点后返回做匀加速直线运动，加速度大小为。若斜面足够长，则当滑块的速度大小为时，所用时间可能是（ ） A． B． C． D． 【例8】某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2。5s内物体的（ ） A．路程为65m B．位移大小为25m，方向向上 C．速度改变量的大小为50m/s D．平均速度大小为13m/s，方向向上 4．分析方法——分段法与全程法 （1）分段法：①上升过程：末速为0的匀减速直线运动；②下降过程：自由落体运动 （2）全程法：取的方向为正方向，将全过程视为初速度为、加速度的匀变速直线运动，则有，。此时要注意、的矢量性及其意义： ①＞0时，物体正在上升；＜0时，物体正在下降 ②＞0时，物体在抛出点上方；＜0时，物体在抛出点下方 5．经典问题——抛球杂技（相对运动与相遇问题） 【例9】（广西高考题）一杂技演员，用一只手抛球。他每隔0.40s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个小球，将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取g＝10m/s2）（ ） A．1.6m B．2.4m C．3.2m D．4.0m 【例10】若不计空气阻力，竖直向上抛出的物体运动的位移-时间图像（即x-t图像）如图 所示。某次玩具枪测试中，子弹从枪口射出时的速度大小为40m/s，测试员在t＝0时刻竖直向上 射出第一颗子弹，之后每隔2s竖直向上射出一颗子弹，假设子弹在运动过程中都不相碰，不计 空气阻力，g取10m/s2。对于第一颗子弹，它和以后射出的子弹在空中相遇的时刻分别为（ ） A．3s，4s，5s B．4s，4.5s，5s C．5s，6s，7s D．5.5s，6.5s，7.5s （三）有阻力的落体和上抛运动 【例11】（全国新课标Ⅱ）两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关。若它们下落相同的距离，则（ ） A．甲球用的时间比乙球长 B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小 C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小 D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功 【例12】将一个质量为0.5kg的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中所受阻 力大小恒定。该过程的图像如图所示，g取10m/s2。则小球（ ） A．受到的阻力大小为6N B．落回到抛出点时的速度大小为m/s C．上升过程与下落过程都处于超重状态 D．上升过程与下落过程所用时间之比为2:3 【作业】 班次 座次 姓名 1．（2024年广西卷）让质量为1kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1s末速度大小为v1，再将P1和质量为2kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1s末速度大小为v2，g取10m/s2，则（ ） A．v1＝5m/s B．v1＝10m/s C．v2＝15m/s D．v2＝30m/s 2．从高空中同一点先后释放小球a和小球b，设两球都做自由落体运动，则落地前，a、b两球之间的距离（ ） A．不断减小 B．保持不变 C．随时间匀速增大 D．随时间加速增大 3．（上海高考题）小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速为6m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰。第一个小球在抛出点以上能遇到的小球个数为（取g＝10m/s2）（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．将一小球竖直上抛，若它在空中所受空气阻力大小恒定，设到达最高点前的1s内和离开最高点后的1s内通过的位移大小分别为s1、s2，速度变化的大小分别为∆v1、∆v2，则（ ） A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．∆v1＞∆v2 D．∆v1＜∆v2 5．在轻绳的两端各拴一个小球，用手拿着绳子上端的小球站在三楼的阳台上，释放小球，使两小球自由下落，两小球相继落地的时间差为∆t。如果从四楼的阳台上用同样的方式释放小球，则两小球相继落地的时间差将（ ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定 6．一物体从一行星表面上方（无空气）某高度处自由下落。开始下落时开始计时， 得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图所示，则（ ） A．行星表面重力加速度大小为10m/s2 B．1s末物体的速度为20m/s C．物体落到行星表面时的速度为20m/s D．物体最后1s内下落15m 7．某人在一个以a＝2m/s2的加速度匀加速上升的电梯内，以相对于电梯v＝1m/s的 初速度竖直上抛一个小球，已知小球抛出点离电梯地板的高度为h＝1m，不考虑空气阻力 的影响，重力加速度g取10m/s2，则小球从抛出至掉落到电梯地板上的时间为（ ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 8．甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出， 小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g， 则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为（ ） A． B． C． D． 9．小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s内的上升高度是其上升时间内正中间1s内上升高度的倍，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ） A．小球上升的时间为8s B．小球上升的最大高度为m C．小球中间1s内上升的高度为m D．小球最初1s内上升的高度为5m 10．杂技表演中有一抛球节目，小明在家练习抛球，他以初速度4m/s竖直上抛一小球A后，又以初速度2m/s在同一高度竖直上抛另一小球B，发现两球在空中相遇，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则两球抛出的时间间隔Δt必须满足的条件是（ ） A．Δt＜0.4s B．Δt＜0.2s C．0.2s＜Δt＜0.4s D．0.4s＜Δt＜0.8s 11．利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出此时出水口到盘子的高度为h，从第1滴水开始下落到第n滴水刚落至盘中所用时间为t。下列说法正确的是（ ） A．每滴水下落时间为 B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为 C．当地的重力加速度的大小为 D．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为 12．一竖直发射的小火箭在火药燃烧的2s内具有3g的向上的加速度。不计空气阻力，g取10m/s2。当它从地面上点燃发射后具有的最大速率为 m/s，能上升的最大高度为 m，在空中运动的总时间为 s。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $§1.5 自由落体运动和竖直上抛运动 (一)自由落体运动 1.认知过程一亚里士多德与伽利略的观点 (1)亚里士多德的观点及人们的直观认知：重的物体比轻的物体下落得快 (2)伽利略的质疑及其探究：逻辑推理、理想斜面实验、落球实验 【例1】伽利略相信，自然界的规律往往是简单的。他从这个信念出发，猜想落体的速度应该是均匀变化的。为验证 自己的猜想，他做了有名的铜球“斜面实验”，发现铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比。改变铜球的质量或 增大斜面倾角，上述规律依然成立。于是，他外推到倾角为90°，得出自由落体运动的规律。下列说法正确的是() A.伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大速度，从而便于测量速度 B.伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大加速度，从而便于测量加速度 C.由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随位移均匀增大，说明速度均匀变化成立 D.由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随时间均匀增大，说明速度均匀变化成立 【答案】D 【解析】 AB:从实验结果上看，伽利略发现“铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比” 所以伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律时为了延长运动时间，便于测量时间，故选项A与B错误 CD:实验发现铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比 由数学推导可知，应是速度随时间均匀增大，而不是速度随位移均匀增大，故选项C错误，D正确 2.运动条件—理想化的运动模型 (1)初速度为零（由静止开始下落) (2)运动中只受重力（不计空气阻力及其它任何力） 3.运动特征一不同物体下落快慢相同（具有等大的自由落体加速度8) (1)不同物体的自由落体运动快慢相同（熟悉落球实验、钱羽管实验） (2)运动速度随下落时间均匀增大（而不是随下落高度均匀增大）（熟悉伽利略的理想斜面实验） (3)自由落体加速度（重力加速度)g ①g的大小及其影响因素 ②g的测定方法：自由落体法（闪光拍照法、滴水法、磁控法）、单摆振动法、比值法(g=Gm) 【例2】关于自由落体运动（由静止开始下落，不计空气阻力），下列说法正确的有( A,重的物体比轻的物体下落得快 B.密度大的物体比密度小的物体下落得快 C.下落速度随下落时间均匀增大 D.下落速度随下落高度均匀增大 【答案】C 【解析】 AB:排除空气阻力的影响，自由落体运动是初速度为0的匀加速运动，且所有物体的自由落体加速度都相同 所以，不同轻重、不同密度的物体自由落体运动的快慢都相同，选项A与B错误 另外，从牛顿第二定律角度分析，自由落体加速度就是重力加速度，重力与物体的质量成正比，比值为定值 即自由落体加速度4-C_g=g,与物体质量无关，为定值，所有物体自由落体运动快慢相同 mm △v CD:加速度a=一，自由落体运动加速度a恒定，则速度随时间均匀增大，选项C正确，D错误 4.运动方程一两公式+两推论（以下是取竖直向下为正方向的） 速度公式：v=gt 下落h高所用时间：t=, 位移公式：h=gt (下落h高时的速度：v=√2gh 1 【例3】一物体从塔顶由静止下落α米时，另一物体从塔顶下方b米处由静止下落，它们同时落地，则塔高为 29 【答案】a+b未 _4a 【解析】 自由落体运动的位移h-1 13下落时间f= 2h g 2H 2a 设塔高为H,据题意可得 2H-五H=a+b(米) g Aa 7777 【注意】本题需要特别注意两点： ①一物体先下落“米，然后继续下落直至着地，后面一段过程的运动时间，不要直接用后面一段过程求解（初速度不为0 的竖直下抛运动，若根据位移方程求解时间，将会很麻烦)，利用差值法表示时间比较方便 ②最后结果必须写出单位“米”。据题意，字母、b都只是纯数字，本身不含单位，所以结果必须添出单位 【例4】某同学观察从水龙头流出的竖直水柱，发现越往下水柱越细。他测量了水龙头出水口的横截面积0=1cm, 并用手机的速度传感器功能，测得水流流出的初速度=1ms,不计空气阻力和其他任何因素对水流的影响，重力加速度 g=10ms2,则出水口下方h=1.2m处水柱的横截面积S为( A.0.2cm2 B.0.4cm2 C.0.5cm2 D.0.6cm2 【答案】A 【解析】 水流出后匀加速下落，2-2=2gh,解得：=5 由于水的体积不变，相同时间内通过不同水平面的水的体积相同 则S%w=5m,解得S=0.2r,选项A正确 5.解题技巧一记忆+比例规律（追求秒解) (1)建议记住一些数据 (2)巧用比例规律，准确秒解 ①时间等分，下落高度比：1：3：5：7：9：：(2-1)(n不为整数也成立) ②位移等分，下落时间比：1：（√2-1）：（√3-√2）：：（√n-√n-1)(n不为整数也成立） 【例5】一小球从空中某处自由下落至地面（忽略阻力），若最后1s的位移是第1s的n倍，则下落总时间为() A.(n+1)s B.(n-1)s c.n+1 2 D.1 2 【答案】C 【解析】 社上法，设落的8时洞为，黑题金角方-方-1=以8×1-”生o,港瘦c正确 解法2：妙法。比例法：设总时间为s,则最后1为第 据初速为0的匀加遮运动的比规维得1：（亿1-1）=1：n→1=”十()，选项C正确 (二)竖直上抛运动 1.运动性质：上升过程：末速度为零的匀减速直线运动) 下落过程：初速度为零的匀加速直线运动」 加速度a上一a下=g,全过程是初速度不为零的匀变速直线运动。 2 2.竖直上抛运动公式（以下是取竖直向上为正方向的） 速度公式：V=-gt(v为正，表示在上升：v为负，表示在下落) 位移公式：EL女为正，表示在抛出点上方：为负，表示落到了抛出点以下 上开时间：1：=上，下落时间：天，=2，总时间：专=2（从范出到落回抛出点） g g g 上抛高度：H=2 2g 3.竖直上抛运动的对称性（上升过程与下落过程具有对称性) (1)时间对称性：竖直上抛运动中，物体从抛出点上升到最高点和从最高点 DO OD 落回到抛出点所用时间相等。 co 个 ♀c 下 推论：竖直上抛运动中，物体在任意两点间上升时间等于下落时间：t上=t下 上升过 BO OB 过 【例6】做竖直上抛运动的物体，两次经过较低处的A点所用时间为1，两次经过较高处 vo 40 Q4 的B点所用时间为t2,则A、B间的高度为 y=-vo 【答案】 【解析】 /2 从最高点（设为C)看下落过程比较简便 n/2 从C下落到A的时间为二，下落高度乃 t 2 28 8851 14)2 从C下落到B的时间为，下落离度么一22) 8 则4、B间的高度hB=么-么=。ξ北-5） (2)速率对称性：竖直上抛运动中，物体落回抛出点时的速率等于抛出时的速率：v'=v0 推论：竖直上抛运动中，在空间中的任一点，物体的上升速率等于下落速率：v=v上 (3)对称性的推广：一物体先匀减速运动再反向匀加速运动，若整个过程中加速度矢量恒定，即整 个过程为匀变速直线运动，则减速过程和加速过程都具有时间对称性及速率对称性。 例如：一物体以一初速度沿光滑斜面上滑，再返回下滑，上滑和下滑过程就具有对称性。 (4)匀减速直线运动的逆程转化：由于末速为零的匀减速运动和初速为零的匀加速运动具有对称性， 而初速为零的匀加速运动在运动规律上较为简单，因而，我们可将末速为零的匀减速运动逆程转化为初 速为零的匀加速运动进行分析处理。即： 时间反演 末速度为零的匀减速直线运动 ·初速度为零的匀加速直线运动 逆程转换 【例7】给滑块一初速度，使它沿斜面向上做匀减速直线运动，加速度大小为；到达最高点后返回做匀加速直线 运动，加速度大小为分、若斜面足够长，则当滑块的速度大小为生时.所用时间可能是《 2 A.6 B. 3Vo C. 2Vo 3v0 D. 2a 2a a 3 【答案】AC 【解析】 个U Vo- Vo 若滑块遮度兰是沿斜面向上的。则时间=一之=，A对 2 a 2a 2w0 vo-0 ! 若滑块速度 是沿斜面向下的，则时间1，=片一0十 2V 0 ,C对 2 a a vo 2a a 2 【例8】某物体以30ms的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10ms2.5s内物体的( ) A.路程为65m B.位移大小为25m,方向向上 C.速度改变量的大小为50m/s D.平均速度大小为13ms,方向向上 【答案】ABC 3s 【解析】 2s 54s g取10时，以30s竖直上抛，上升时间与下落时间各为3s,运动情况如右图所示 15m 15m A:路程s=25+15+5+5+15=65(m),选项A正确 -5y 20s B:由图可见位移为25m向上，选项B正确 25m小 25m C:速度由向上30s变为向下20ms,改变量的大小为50s,选项C正确 30s D:平均速度是位移与时间的比值，大小下-25”-515，方向向上，选项D错误 -6s 5s 4.分析方法一分段法与全程法 (1)分段法：①上升过程：末速为0的匀减速直线运动：②下降过程：自由落体运动 (2)全程法：取y,的方向为正方向，将全过程视为初速度为Y,、加速度=-g的匀变速直线运动， 则有v=,一，h=1←)名实。此时要注意V,h的矢量性及其意义 ①v>0时，物体正在上升；V<0时，物体正在下降。 ②h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。 5.经典问题一抛球杂技（相对运动与相遇问题） 【例9】（广西高考题）一杂技演员，用一只手抛球。他每隔0.40s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接 球的时刻外，空中总有4个小球，将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取 g=10m/s2)( A.1.6m B.2.4m C.3.2m D.4.0m 【答案】C 【解析】 0.40x4 根据题意可知共有4个球 4Θ2 画出第1个球刚好落回手中正要再次抛出时刻4个球的位置图，其中第3个球正好到达最高点 0.40s 据题意知，每个球在空中的上升时间、下落时间均为=0.8s 则最大高度h二g”=3.21,选项c正确 4 【例10】若不计空气阻力，竖直向上抛出的物体运动的位移-时间图像（即x-t图像）如图 ↑x/m 所示。某次玩具枪测试中，子弹从枪口射出时的速度大小为40m,测试员在t=0时刻竖直向上 射出第一颗子弹，之后每隔2s竖直向上射出一颗子弹，假设子弹在运动过程中都不相碰，不计 空气阻力，g取10ms2。对于第一颗子弹，它和以后射出的子弹在空中相遇的时刻分别为（） A.3s,4s,5sB.4,4.5s,5sC.58,68,7s D.5.5s,6.5s,7.5s 【答案】C 【解析】 解法1：第一颗子弹从射出到落回射出点所用的时间t,= 2vg二8s 因之后每隔2x竖直向上射出一颗子弹，故第一颗子弹回到出发点时，第五颗子弹刚射出 设第一颗子弹射出时间t后与第m颗子弹相遇，则相遇时第n颗子弹的运动时间t=t-2(1-1)s1=2,3,4,) 1 您直上抛位移t)8=642 联立上面两式解得t=（n+3s 当n=2时=5，当n=3时t=6s,当雅=4时t=73,选项C正确 解法2：妙解—图解法 每一颗子弹上下总时间为8s,作出各子弹的位移-时间(-)图像 从图像很容易看出相遇时刻分别为5s,6s,7s 经验：位移图像为抛物线，若手工画抛物线不方便，也可以画成直线段作为示意，并不影响对结果的分析 1 2 3 4 1 3 024567810 024567810 (三)有阻力的落体和上抛运动 【例11】（全国新课标Ⅱ）两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静止下落， 假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关。若它们下落相同的距离，则() A.甲球用的时间比乙球长 B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小 C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小 D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功 【答案】BD 【解析】 设小球所受空气阻力F=kR,k为常数 由牛顿第二定律得加速度a=8一3_ R 3k =8- l =8-- 4 p。πR 4npR2 3 据题意知R甲>Rz,则a甲>az,选项C错误 a甲>az,则下落时间t<tz,选项A错误 运动学公式V=2h,4甲>z,则v>vz,选项B正确 克服阻力做的功W=F,·h=kR·hoCR,R>Rz,则W>Wz,选项D正确 5 【例12】将一个质量为0.5g的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中所受阻12个ms) 力大小恒定。该过程的V-t图像如图所示，g取10ms2。则小球（） A.受到的阻力大小为6N B.落回到抛出点时的速度大小为4√6ms C.上升过程与下落过程都处于超重状态D.上升过程与下落过程所用时间之比为2：3 【答案】B 【解析】 A由图可知小球上升过程中的加速度大小4=兰，0_120=12m/g） 根据牛顿第二定律有g+∫=m0→∫=la-g)=0.512-10)=1(N),选项A错误 D:小球下落过程的加速度大小a-g-」_0.5X10-1-8/y） m 0.5 上升时间t=1s,设下落时间为t, 因上开高等于下落南，a4-方a6→冬及-侣 3 选项D错误 3 小球落回到抛出点的速度大小y2=4t2=8 =4V6(m/s）,选项B正确 V2 C:小球下落过程加速度方向向下，处于失重状态，选项C错误 【作业】 班次 座次■ 姓名 1.(2024年广西卷)让质量为1g的石块P1从足够高处自由下落，P在下落的第1s末速度大小为1，再将P1和质量 为2g的石块绑为一个整体P,使P从原高度自由下落，P在下落的第1s末速度大小为2，g取10ms2,则() A.v1-5m/s B.v1=10m/sC.v2=15m/s D.v2=30m/s 【答案】B 【解析】 重物做自由落体运动，运动快慢（相同时间内获得的速度，或发生的位移）与物体质量无关 则下落1后的速度y=y,=gt=(10m/s2)×1s=10m/s,选项B正确 2.从高空中同一点先后释放小球a和小球b,设两球都做自由落体运动，则落地前，a、b两球之间的距离() A.不断减小 B.保持不变 C.随时间匀速增大D.随时间加速增大 【答案】C 【解析】 方法1：函数分析法 设小球a先释放时间△t,则小球b释放后经时间t时刻，a、b之间的距离 h=gt+△-gr=(gary+gar 2 由此可见，间距△h是关于时间t的递增的一次函数，选项C正确 6 方法2：相对运动分析法 当小球b开始释放时，小球：已具有速度y。=g·△ &ob 而此后“、五具有相同的自由落体加速度g,相对加速度为0 =g·△i 则小球a相对于小球b向下做匀速运动，相对速度V相=V。=g·△t 所以，、b两球之间的距离随时间匀速增大，选项C正确 3.(上海高考题)小球每隔02s从同一高度抛出，做初速为6ms的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰。第一个小 球在抛出点以上能遇到的小球个数为（取g=10ms2)( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 123456 【解析】 每个小球上升和下落时间均为0.6s 作各个小球到达的高度五随时间t变化的关系图像如右所示，从图像易知 第1个球在抛出点上方下落过程中能与第2、3、4、5、6个小球相遇 即能遇到5个小球，选项C正确 00.206.8 4.将一小球竖直上抛，若它在空中所受空气阻力大小恒定，设到达最高点前的1s内和离开最高点后的1s内通过的位 移大小分别为s、S2,速度变化的大小分别为△v1、△2，则( ) A.S1>S2 B.S1<S2 C.△1>△v2 D.△v1<△v2 【答案】AC 【解析】 设阻力大小为f,时间t=1s 上升过表中的加如速度大水a-"爬十千>g,下落过度中的加速度大水a,-mE-」<名，4>a m n AB:S1= )Qd,s,=号a,则y>S2”选项A正确，6错误 CD:△y1=4t,△V3=at,则y>V2,选项C正确，D错误 5.在轻绳的两端各拴一个小球，用手拿着绳子上端的小球站在三楼的阳台上，释放小球，使两小球自由下落，两小 球相继落地的时间差为△。如果从四楼的阳台上用同样的方式释放小球，则两小球相继落地的时间差将() A.不变 B.变大C.变小D.无法确定 【答案】C 【解析】 从四楼释放比从三楼释放，下端的小球着地时速度更大 因而运动绳子长度到上端小球着地所用时间更短，选项C正确 ↑h/m 30 6.一物体从一行星表面上方（无空气）某高度处自由下落。开始下落时开始计时， 得到物体离行星表面高度随时间t变化的图象如图所示，则( A.行星表面重力加速度大小为10m/s2B.1s末物体的速度为20ms C.物体落到行星表面时的速度为20msD.物体最后1s内下落15m 10 【答案】C 0 【解析】 2 3 t/s 7 从图像可知，物体自由下落h=251所用时间t=2.55 A:设重力加速度为8，则位移公式得 h=28r→ g=2h-2x25=8m/g2)人选项A错误 P=2.52 B:4=1s未物体的速度y=g=8×1=8(m/s),选项B错误 C:t3=2.5s末物体落到星球表面的速度V3=g3=8×2.5=20(1/S),选项C正确 D:据图像知，最后1s为1.5~25s t3=1.5s时物体的速度y3=gt2=8×1.5=12(m/s) 则物体在最后1w下落的高度△h=少十当（化，-石）=12+20 (2.5-1.5)=16m),选项D错误 2 7.某人在一个以a=2ms2的加速度匀加速上升的电梯内，以相对于电梯v=1m5的初速度竖直上抛一个小球，已知 小球抛出点离电梯地板的高度为h=1m,不考虑空气阻力的影响，重力加速度g取10ms2，则小球从抛出至掉落到电梯地 板上的时间为() A.0.6s B.0.5s C.0.4s D.0.3s 【答案】B 【解析】换参法 以电梯为参考系 小球对电梯的相对初速度物湘=1s,相对加速度：相=十g=12(方向向下) 设所求时间为则相对位移-h=的f-20,→6r-f-1=0 解得1=-《合去，或1=0.55，B对 3 8.甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出， h 小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g, 甲 则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为( ) k-c-）n8g-创 1 2 【答案】D 【解析】 两球运动到同一水平线上时，乙小球的运动时间1=十女-(=，名 2 2 甲小球到达的最高点高度h三方g三】 41 2 8 甲小球下落的离度为1=】+五_ 2 2 8 徽这位距离能出点的高夜么一h-州一日-)做结心， 8 8 9.小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s内的上升高度是其上升时间内正中间1s内上升高度的 5 倍，不计空气阻力，重力加速度g=10ms2,则下列说法正确的是（ 125 A.小球上升的时间为8s B.小球上升的最大高度为 -1 4 25 C.小球中间1s内上升的高度为 2m D.小球最初1s内上升的高度为5m 【答案】BC 【解析】妙解：逆向思维法十比例法 使上升意时问为，测正中响的山就是韩”，（原数制藏都) 2n-18.5 用逆向思维法及比例法（通式），得： →n=二(s),A错 2.2+11一5 2 上升的最大高度H三。23 722125 l,B对； 4 n+17 中间1y相当于第 2=4了，也相当于自由下落过程的第5，下落过程第1w下落5m 4 2x7 1 4 5 25 中间1w位移设为h中，对下落过程用比例法，有： 5m1 2 →h= m,C对： 8, 825 最后1w上升高度为5m,最初1x肯定大于5m(。h=。 1=20),D错。 52 10.杂技表演中有一抛球节目，小明在家练习抛球，他以初速度4ms竖直上抛一小球A后，又以初速度2ms在同一 高度竖直上抛另一小球B,发现两球在空中相遇，不计空气阻力，重力加速度g取10m2,则两球抛出的时间间隔△t必须 满足的条件是( ) A.△t<0.4s B.△t<0.2s C.0.2s<t<0.4s D.0.4s<△t<0.8s 【答案】D 【解析】 球A从抛出回到手中所用时间为tA= 2vA=0.8s 8 球B从抛出回到手中所用时间为tB= 2vB=0.4s 若两球刚好在球B回到手中相遇，则有任=t4-tB=0.4s 为了两球在空中相遇，抛出的时间间隔△t必须满足△t1<△t<t4即0.4s<△t<0.8s,故选D 11.利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放 一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水冈刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出此 时出水口到盘子的高度为，从第1滴水开始下落到第n滴水刚落至盘中所用时间为t。下列说法正确的是( ) A.每滴水下落时间为 h B.相邻两滴水开始下落的时间间隔为 h 12g 28 n+1)h 1 C.当地的重力加速度的大小为 2t2 D.第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为二h 2 9 【答案】BC 【解析】 L设每清水下落时间为1，则压=2→5 2h,A错： B:相邻的两滴水时间间隔相同，则相邻两滴水开始下落的时间间隔4= ,B对： 2=2g C:从第1滴水到第m滴水落到盘中，有(-1)个时间间隔△1 则有1=。+(n-1)4=2+(n-1)=(n+1)4→4= n+1 h h(n+1)2h 由前面的= 2g →8F2 一，C对 2t2 3 D:由比例规律可知，第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为二h,D错。 4 12.一竖直发射的小火箭在火药燃烧的2s内具有3g的向上的加速度。不计空气阻力，g取10ms2。当它从地面上点 燃发射后具有的最大速率为 ms,能上升的最大高度为m,在空中运动的总时间为 S。 【答案】403（约69.3），240,8+4V3(约14.9) 【解析】 第1空：易错等级：★★★★★ 注意：不是火药燃烧2s后时刻速度最大(60)，而是火箭将要着地时速度最大 第2空：前2s即41=25内，上升高度h=一·3g1=601,获得速度y,=3g=60m/s 以上镜商度么=兰=180m 2g 则能上升的最大高度H=h+h,=240mm 第3室以上港至常电，设时桐为，则-A=话号影 代入数据解得t,=6-4W3为（舍去），或5，=6+4V3) 则在空中运动的总时间t=4+5,=8+4V5为 第1空：落地速度最大，最大值ym=少-g=60-106+4W3=40V3(m/s)≈69.3m/s 10§1.5 自由落体运动和竖直上抛运动 (一)自由落体运动 1.认知过程一亚里士多德与伽利略的观点 (1)亚里士多德的观点及人们的直观认知：重的物体比轻的物体下落得快 (2)伽利略的质疑及其探究：逻辑推理、理想斜面实验、落球实验 【例1】伽利略相信，自然界的规律往往是简单的。他从这个信念出发，猜想落体的速度应该是均匀变化的。为验证 自己的猜想，他做了有名的铜球“斜面实验”，发现铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比。改变铜球的质量或 增大斜面倾角，上述规律依然成立。于是，他外推到倾角为90°，得出自由落体运动的规律。下列说法正确的是( A.伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大速度，从而便于测量速度 B.伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大加速度，从而便于测量加速度 C.由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随位移均匀增大，说明速度均匀变化成立 D.由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随时间均匀增大，说明速度均匀变化成立 2.运动条件—理想化的运动模型 (1)初速度为零（由静止开始下落) (2)运动中只受重力（不计空气阻力及其它任何力） 3.运动特征一不同物体下落快慢相同（具有等大的自由落体加速度9) (1)不同物体的自由落体运动快慢相同（熟悉落球实验、钱羽管实验） (2)运动速度随下落时间均匀增大（而不是随下落高度均匀增大）（熟悉伽利略的理想斜面实验) (3)自由落体加速度（重力加速度）g ①g的大小及其影响因素 ②g的测定方法：自由落体法（闪光拍照法、滴水法、磁控法）、单摆振动法、比值法(g=G) 【例2】关于自由落体运动（由静止开始下落，不计空气阻力），下列说法正确的有( A.重的物体比轻的物体下落得快 B.密度大的物体比密度小的物体下落得快 C.下落速度随下落时间均匀增大 D.下落速度随下落高度均匀增大 4.运动方程一两公式+两推论（以下是取竖直向下为正方向的） 速度公式：v=gt 下落h高所用时间：t=, 2h g 位移公式：h=8 下落h高时的速度：v=√2gh 【例3】一物体从塔顶由静止下落ā米时，另一物体从塔顶下方b米处由静止下落，它们同时落地，则塔高为一。 【例4】某同学观察从水龙头流出的竖直水柱，发现越往下水柱越细。他测量了水龙头出水口的横截面积=1cm2, 并用手机的速度传感器功能，测得水流流出的初速度o=1ms,不计空气阻力和其他任何因素对水流的影响，重力加速度 g=10ms2,则出水口下方h=1.2m处水柱的横截面积S为( A.0.2cm2 B.0.4cm2 C.0.5cm2 D.0.6cm2 5.解题技巧一记忆+比例规律（追求秒解) （1)建议记住一些数据 (2)巧用比例规律，准确秒解 ①时间等分，下落高度比：1：3：5：7：9：：（2n-1)(n不为整数也成立) ②位移等分，下落时间比：1：（√2-1）：（√3-√2）：：（√n-√n-1)(n不为整数也成立） 1 【例5】一小球从空中某处自由下落至地面（忽略阻力），若最后1s的位移是第1s的n倍，则下落总时间为() n+1 n-1 A.(n+1)s B.(n-1)s D.- 一S 2 2 (二)竖直上抛运动 1.运动性质：上升过程：末速度为零的匀减速直线运动 下落过程：初速度为零的匀加速直线运动J 加速度a上=a下=g,全过程是初速度不为零的匀变速直线运动 2.竖直上抛运动公式（以下是取竖直向上为正方向的） 速度公式：v=V-gt(v为正，表示在上升：v为负，表示在下落) 位移公式：h=1)对为正，表示在抛出点上方：为负，表示落到了抛出点以下) 上升时间：(-上：下落时间：4，=，总时间：1。=2业（从抛出到落回抛出点） g 上抛高度：H= 2g 3.竖直上抛运动的对称性（上升过程与下落过程具有对称性) DO OD （1)时间对称性：竖直上抛运动中，物体从抛出点上升到最高点和从最高点 cδ 上 个 c 下 落回到抛出点所用时间相等。 BO QB 推论：竖直上抛运动中，物体在任意两点间上升时间等于下落时间：t上=t下 程 都 【例6】做竖直上抛运动的物体，两次经过较低处的A点所用时间为1，两次经过较高处 40 Q4 的B点所用时间为t2,则A、B间的高度为 y=-vo (2)速率对称性：竖直上抛运动中，物体落回抛出点时的速率等于抛出时的速率：v'=v0 推论：竖直上抛运动中，在空间中的任一点，物体的上升速率等于下落速率："下=v上 (3)对称性的推广：一物体先匀减速运动再反向匀加速运动，若整个过程中加速度矢量恒定，即整 个过程为匀变速直线运动，则减速过程和加速过程都具有时间对称性及速率对称性。 例如：一物体以一初速度沿光滑斜面上滑，再返回下滑，上滑和下滑过程就具有对称性。 (4)匀减速直线运动的逆程转化：由于末速为零的匀减速运动和初速为零的匀加速运动具有对称性， 而初速为零的匀加速运动在运动规律上较为简单，因而，我们可将末速为零的匀减速运动逆程转化为初 速为零的匀加速运动进行分析处理。即： 时间反演 末速度为零的匀减速直线运动 ·初速度为零的匀加速直线运动 逆程转换 【例7】给滑块一初速度，使它沿斜面向上做匀减速直线运动，加速度大小为；到达最高点后返回做匀加速直线 运动，加速度大小为 ?。若斜面足够长，则当滑块的速度大小为时，所用时间可能是( 2 A. 3vo B. C. 2vo D. 3vo 2a 2a a 【例8】某物体以30ms的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10ms2.5s内物体的() A.路程为65m B.位移大小为25m,方向向上 C.速度改变量的大小为50ms D.平均速度大小为13m/s,方向向上 2 4.分析方法一分段法与全程法 (1)分段法：①上升过程：末速为0的匀减速直线运动：②下降过程：自由落体运动 (2)全程法：取y的方向为正方向，将全过程视为初速度为y,、加速度a=-g的匀变速直线运动， 则有v=%一8，h=Wf-2r。此时要注意V、h的矢量性及其意义： ①v>0时，物体正在上升：V<0时，物体正在下降 ②h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方 5.经典问题一抛球杂技（相对运动与相遇问题) 【例9】（广西高考题）一杂技演员，用一只手抛球。他每隔0.40s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接 球的时刻外，空中总有4个小球，将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取 g=101m/s2)( A.1.6m B.2.4m C.3.2m D.4.0m 【例10】若不计空气阻力，竖直向上抛出的物体运动的位移-时间图像（即x-t图像）如图 ↑x/m 所示。某次玩具枪测试中，子弹从枪口射出时的速度大小为40m/s,测试员在t=0时刻竖直向上 射出第一颗子弹，之后每隔2s竖直向上射出一颗子弹，假设子弹在运动过程中都不相碰，不计 空气阻力，g取10ms2。对于第一颗子弹，它和以后射出的子弹在空中相遇的时刻分别为() A.3s,4s,5sB.4s,4.5s,5sC.5s,68,7sD.5.58,6.5s,7.5s 分 (三)有阻力的落体和上抛运动 【例1】（全国新课标Ⅱ）两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静止下落， 假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关。若它们下落相同的距离，则( A.甲球用的时间比乙球长 B.甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小 C.甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小 D.甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功 【例12】将一个质量为0.5g的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中所受阻 12/m·s' 力大小恒定。该过程的v-t图像如图所示，g取10ms2。则小球() A.受到的阻力大小为6W B.落回到抛出点时的速度大小为4√6ms C.上升过程与下落过程都处于超重状态D.上升过程与下落过程所用时间之比为2：3 【作业】 班次 座次 姓名 1.(2024年广西卷)让质量为1g的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1s末速度大小为1，再将P1和质量 为2kg的石块绑为一个整体P3,使P2从原高度自由下落，P3在下落的第1s末速度大小为v2,g取10m/s2,则() A.v=5m/s B.v1=10m/sC.v2=15m/s D.v2=30m/s 2.从高空中同一点先后释放小球a和小球b,设两球都做自由落体运动，则落地前，α、b两球之间的距离() A.不断减小 B.保持不变 C.随时间匀速增大D.随时间加速增大 3.(上海高考题)小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速为6ms的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰。第一个小 球在抛出点以上能遇到的小球个数为（取g=10ms2)( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4.将一小球竖直上抛，若它在空中所受空气阻力大小恒定，设到达最高点前的1s内和离开最高点后的1s内通过的位 移大小分别为s1、2,速度变化的大小分别为△v、△z,则( A.S1>S2 B.S1<S2 C.△vI>△v2 D.△v1<△V2 3 5,在轻绳的两端各拴一个小球，用手拿着绳子上端的小球站在三楼的阳台上，释放小球，使两小球自由下落，两小 球相继落地的时间差为△。如果从四楼的阳台上用同样的方式释放小球，则两小球相继落地的时间差将() A.不变 B.变大C.变小D.无法确定 h/m 30 6.一物体从一行星表面上方（无空气）某高度处自由下落。开始下落时开始计时， 得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图所示，则( 20 A.行星表面重力加速度大小为10m/s2B.1s末物体的速度为20ms 10 C.物体落到行星表面时的速度为20m6D.物体最后1s内下落15m 0 1 2 3 t/s 7.某人在一个以a=2m/s2的加速度匀加速上升的电梯内，以相对于电梯v=1m/s的 初速度竖直上抛一个小球，已知小球抛出点离电梯地板的高度为=1m,不考虑空气阻力 的影响，重力加速度g取10ms,则小球从抛出至掉落到电梯地板上的时间为() A.0.6s B.0.5s C.0.4s D.0.3s 8.甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出， 个h 小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g, 则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为( As-c6-)- 8 9.小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s内的上升高度是其上升时间内正中间1s内上升高度的 倍，不计空气阻力，重力加速度g=10ms2,则下列说法正确的是（ 125 A.小球上升的时间为8s B.小球上升的最大高度为 25 C.小球中间1s内上升的高度为 2m D.小球最初1s内上升的高度为5m 10.杂技表演中有一抛球节目，小明在家练习抛球，他以初速度4ms竖直上抛一小球A后，又以初速度2ms在同一 高度竖直上抛另一小球B,发现两球在空中相遇，不计空气阻力，重力加速度g取10ms2,则两球抛出的时间间隔△t必须 满足的条件是( ) A.△t<0.4s B.△t<0.2s C.0.2s<△t<0.4s D.0.4s<t<0.8s 1.利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放 一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出此 时出水口到盘子的高度为h,从第1滴水开始下落到第n滴水刚落至盘中所用时间为t。下列说法正确的是( A.每滴水下落时间为五 V2g B.相邻两滴水开始下落的时间间隔为五 V2g C.当地的重力加速度的大小为+1h 1 D.第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为二h 2t2 12.一竖直发射的小火箭在火药燃烧的2s内具有3g的向上的加速度。不计空气阻力，g取10s2。当它从地面上点 燃发射后具有的最大速率为 ms,能上升的最大高度为m,在空中运动的总时间为 4 §1.5 自由落体运动和竖直上抛运动 （一）自由落体运动 1．认知过程——亚里士多德与伽利略的观点 （1）亚里士多德的观点及人们的直观认知：重的物体比轻的物体下落得快 （2）伽利略的质疑及其探究：逻辑推理、理想斜面实验、落球实验 【例1】伽利略相信，自然界的规律往往是简单的。他从这个信念出发，猜想落体的速度应该是均匀变化的。为验证自己的猜想，他做了有名的铜球“斜面实验”，发现铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比。改变铜球的质量或增大斜面倾角，上述规律依然成立。于是，他外推到倾角为90°，得出自由落体运动的规律。下列说法正确的是（ ） A．伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大速度，从而便于测量速度 B．伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大加速度，从而便于测量加速度 C．由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随位移均匀增大，说明速度均匀变化成立 D．由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随时间均匀增大，说明速度均匀变化成立 【答案】D 【解析】 AB：从实验结果上看，伽利略发现“铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比” 所以伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律时为了延长运动时间，便于测量时间，故选项A与B错误 CD：实验发现铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比 由数学推导可知，应是速度随时间均匀增大，而不是速度随位移均匀增大，故选项C错误，D正确 2．运动条件——理想化的运动模型 （1）初速度为零（由静止开始下落） （2）运动中只受重力（不计空气阻力及其它任何力） 3．运动特征——不同物体下落快慢相同（具有等大的自由落体加速度g） （1）不同物体的自由落体运动快慢相同（熟悉落球实验、钱羽管实验） （2）运动速度随下落时间均匀增大（而不是随下落高度均匀增大）（熟悉伽利略的理想斜面实验） （3）自由落体加速度（重力加速度）g ①g的大小及其影响因素 ②g的测定方法：自由落体法（闪光拍照法、滴水法、磁控法）、单摆振动法、比值法（g=G/m） 【例2】关于自由落体运动（由静止开始下落，不计空气阻力），下列说法正确的有（ ） A．重的物体比轻的物体下落得快 B．密度大的物体比密度小的物体下落得快 C．下落速度随下落时间均匀增大 D．下落速度随下落高度均匀增大 【答案】C 【解析】 AB：排除空气阻力的影响，自由落体运动是初速度为0的匀加速运动，且所有物体的自由落体加速度都相同 所以，不同轻重、不同密度的物体自由落体运动的快慢都相同，选项A与B错误 另外，从牛顿第二定律角度分析，自由落体加速度就是重力加速度，重力与物体的质量成正比，比值为定值 即自由落体加速度，与物体质量无关，为定值，所有物体自由落体运动快慢相同 CD：加速度，自由落体运动加速度恒定，则速度随时间均匀增大，选项C正确，D错误 4．运动方程——两公式+两推论（以下是取竖直向下为正方向的） ( 速度公式： 位移公式： 下落 h 高所用时间 ： 下落 h 高时的速度 ： ) 【例3】一物体从塔顶由静止下落a米时，另一物体从塔顶下方b米处由静止下落，它们同时落地，则塔高为 。 ( a 米 b 米 H )【答案】 【解析】 自由落体运动的位移 设塔高为H，据题意可得 【注意】本题需要特别注意两点： ①一物体先下落a米，然后继续下落直至着地，后面一段过程的运动时间，不要直接用后面一段过程求解（初速度不为0的竖直下抛运动，若根据位移方程求解时间，将会很麻烦），利用差值法表示时间比较方便 ②最后结果必须写出单位“米”。据题意，字母a、b都只是纯数字，本身不含单位，所以结果必须添出单位 【例4】某同学观察从水龙头流出的竖直水柱，发现越往下水柱越细。他测量了水龙头出水口的横截面积S0＝1cm2，并用手机的速度传感器功能，测得水流流出的初速度v0＝1m/s，不计空气阻力和其他任何因素对水流的影响，重力加速度g＝10m/s2，则出水口下方h＝1.2m处水柱的横截面积S为（ ） A．0.2cm2 B．0.4cm2 C．0.5cm2 D．0.6cm2 【答案】A 【解析】 水流出后匀加速下落，v2-v02＝2gh，解得：v＝5m/s 由于水的体积不变，相同时间内通过不同水平面的水的体积相同 则S0v0＝Sv，解得S＝0.2cm2，选项A正确 5．解题技巧——记忆+比例规律（追求秒解） （1）建议记住一些数据 （2）巧用比例规律，准确秒解 ①时间等分，下落高度比：1:3:5:7:9:…:（2n-1）（n不为整数也成立） ②位移等分，下落时间比：1:(−1):(−):…:(−)（n不为整数也成立） 【例5】一小球从空中某处自由下落至地面（忽略阻力），若最后1s的位移是第1s的n倍，则下落总时间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解法1：常法。设下落的总时间为ts，据题意得：，选项C正确 解法2：妙法。比例法：设总时间为ts，则最后1s为第ts 据初速为0的匀加速运动的比例规律得，选项C正确 （二）竖直上抛运动 1． ( 上升过程：末速度为零的匀减速直线运动 下落过程：初速度为零的匀加速直线运动 )运动性质： 加速度a上＝a下＝g，全过程是初速度不为零的匀变速直线运动。 2．竖直上抛运动公式（以下是取竖直向上为正方向的） 速度公式：（v为正，表示在上升；v为负，表示在下落） 位移公式：（h为正，表示在抛出点上方；h为负，表示落到了抛出点以下） 上升时间：；下落时间：；总时间：（从抛出到落回抛出点） 上抛高度： ( A B C D v'= - v 0 v 0 D C B A 下落过程 上升过程 )3．竖直上抛运动的对称性（上升过程与下落过程具有对称性） （1）时间对称性：竖直上抛运动中，物体从抛出点上升到最高点和从最高点 落回到抛出点所用时间相等。 推论：竖直上抛运动中，物体在任意两点间上升时间等于下落时间：t上＝t下 【例6】做竖直上抛运动的物体，两次经过较低处的A点所用时间为t1，两次经过较高处 的B点所用时间为t2，则A、B间的高度为 。 【答案】 ( A B t 2 /2 t 1 /2 h 1 h 2 h AB C )【解析】 从最高点（设为C）看下落过程比较简便 从C下落到A的时间为，下落高度 从C下落到B的时间为，下落高度 则A、B间的高度 （2）速率对称性：竖直上抛运动中，物体落回抛出点时的速率等于抛出时的速率：v'＝–v0 推论：竖直上抛运动中，在空间中的任一点，物体的上升速率等于下落速率：v下＝–v上 （3）对称性的推广：一物体先匀减速运动再反向匀加速运动，若整个过程中加速度矢量恒定，即整个过程为匀变速直线运动，则减速过程和加速过程都具有时间对称性及速率对称性。 例如：一物体以一初速度沿光滑斜面上滑，再返回下滑，上滑和下滑过程就具有对称性。 （4）匀减速直线运动的逆程转化：由于末速为零的匀减速运动和初速为零的匀加速运动具有对称性，而初速为零的匀加速运动在运动规律上较为简单，因而，我们可将末速为零的匀减速运动逆程转化为初速为零的匀加速运动进行分析处理。即： ( 时间反演 逆程转换 末速度为零的匀减速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 ) 【例7】给滑块一初速度v0，使它沿斜面向上做匀减速直线运动，加速度大小为；到达最高点后返回做匀加速直线运动，加速度大小为。若斜面足够长，则当滑块的速度大小为时，所用时间可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 若滑块速度是沿斜面向上的，则时间，A对 若滑块速度是沿斜面向下的，则时间，C对 【例8】某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2。5s内物体的（ ） A．路程为65m B．位移大小为25m，方向向上 ( 5 m 15 m 25 m 5 m 15 m 25 m t =0 1 s 2 s 3 s 3 s 5 s 4 s 6 s 20 m/s 30 m/s )C．速度改变量的大小为50m/s D．平均速度大小为13m/s，方向向上 【答案】ABC 【解析】 g取10m/s2时，以30m/s竖直上抛，上升时间与下落时间各为3s，运动情况如右图所示 A：路程，选项A正确 B：由图可见位移为25m向上，选项B正确 C：速度由向上30m/s变为向下20m/s，改变量的大小为50m/s，选项C正确 D：平均速度是位移与时间的比值，大小，方向向上，选项D错误 4．分析方法——分段法与全程法 （1）分段法：①上升过程：末速为0的匀减速直线运动；②下降过程：自由落体运动 （2）全程法：取的方向为正方向，将全过程视为初速度为、加速度的匀变速直线运动，则有，。此时要注意、的矢量性及其意义： ①＞0时，物体正在上升；＜0时，物体正在下降。 ②＞0时，物体在抛出点上方；＜0时，物体在抛出点下方。 5．经典问题——抛球杂技（相对运动与相遇问题） 【例9】（广西高考题）一杂技演员，用一只手抛球。他每隔0.40s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个小球，将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取g＝10m/s2）（ ） ( 1 2 3 4 1 0.40 s 0.40 s 手 )A．1.6m B．2.4m C．3.2m D．4.0m 【答案】C 【解析】 根据题意可知共有4个球 画出第1个球刚好落回手中正要再次抛出时刻4个球的位置图，其中第3个球正好到达最高点 据题意知，每个球在空中的上升时间、下落时间均为t＝0.8s 则最大高度，选项C正确 【例10】若不计空气阻力，竖直向上抛出的物体运动的位移-时间图像（即x-t图像）如图 所示。某次玩具枪测试中，子弹从枪口射出时的速度大小为40m/s，测试员在t＝0时刻竖直向上 射出第一颗子弹，之后每隔2s竖直向上射出一颗子弹，假设子弹在运动过程中都不相碰，不计 空气阻力，g取10m/s2。对于第一颗子弹，它和以后射出的子弹在空中相遇的时刻分别为（ ） A．3s，4s，5s B．4s，4.5s，5s C．5s，6s，7s D．5.5s，6.5s，7.5s 【答案】C 【解析】 解法1：第一颗子弹从射出到落回射出点所用的时间 因之后每隔2s竖直向上射出一颗子弹，故第一颗子弹回到出发点时，第五颗子弹刚射出 设第一颗子弹射出时间t后与第n颗子弹相遇，则相遇时第n颗子弹的运动时间 竖直上抛位移 联立上面两式解得 当n＝2时t＝5s，当n＝3时t＝6s，当n＝4时t＝7s，选项C正确 解法2：妙解——图解法 每一颗子弹上下总时间为8s，作出各子弹的位移-时间（h-t）图像 从图像很容易看出相遇时刻分别为5s，6s，7s ( 1 2 3 4 t/s h O 2 4 6 8 10 5 7 1 2 3 4 t/s h O 2 4 6 8 10 5 7 )经验：位移图像为抛物线，若手工画抛物线不方便，也可以画成直线段作为示意，并不影响对结果的分析 （三）有阻力的落体和上抛运动 【例11】（全国新课标Ⅱ）两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关。若它们下落相同的距离，则（ ） A．甲球用的时间比乙球长 B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小 C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小 D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功 【答案】BD 【解析】 设小球所受空气阻力Ff＝kR，k为常数 由牛顿第二定律得加速度 据题意知R甲＞R乙，则a甲＞a乙，选项C错误 a甲＞a乙，则下落时间t甲＜t乙，选项A错误 运动学公式，a甲＞a乙，则v甲＞v乙，选项B正确 克服阻力做的功，R甲＞R乙，则W甲＞W乙，选项D正确 【例12】将一个质量为0.5kg的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中所受阻 力大小恒定。该过程的图像如图所示，g取10m/s2。则小球（ ） A．受到的阻力大小为6N B．落回到抛出点时的速度大小为m/s C．上升过程与下落过程都处于超重状态 D．上升过程与下落过程所用时间之比为2:3 【答案】B 【解析】 A：由图可知小球上升过程中的加速度大小 根据牛顿第二定律有，选项A错误 D：小球下落过程的加速度大小 上升时间，设下落时间为 因上升高度等于下落高度，则，选项D错误 B：时间 小球落回到抛出点的速度大小，选项B正确 C：小球下落过程加速度方向向下，处于失重状态，选项C错误 【作业】 班次 座次 姓名 1．（2024年广西卷）让质量为1kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1s末速度大小为v1，再将P1和质量为2kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1s末速度大小为v2，g取10m/s2，则（ ） A．v1＝5m/s B．v1＝10m/s C．v2＝15m/s D．v2＝30m/s 【答案】B 【解析】 重物做自由落体运动，运动快慢（相同时间内获得的速度，或发生的位移）与物体质量无关 则下落1s后的速度，选项B正确 2．从高空中同一点先后释放小球a和小球b，设两球都做自由落体运动，则落地前，a、b两球之间的距离（ ） A．不断减小 B．保持不变 C．随时间匀速增大 D．随时间加速增大 【答案】C 【解析】 方法1：函数分析法 设小球a先释放时间，则小球b释放后经时间时刻，a、b之间的距离 由此可见，间距是关于时间的递增的一次函数，选项C正确 ( g g a b )方法2：相对运动分析法 当小球b开始释放时，小球a已具有速度 而此后a、b具有相同的自由落体加速度，相对加速度为0 则小球a相对于小球b向下做匀速运动，相对速度 所以，a、b两球之间的距离随时间匀速增大，选项C正确 3．（上海高考题）小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速为6m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰。第一个小球在抛出点以上能遇到的小球个数为（取g＝10m/s2）（ ） ( O t/s h 0.2 0.4 0.6 1.2 0.8 1 2 5 4 3 6 1.0 )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解析】 每个小球上升和下落时间均为0.6s 作各个小球到达的高度h随时间t变化的关系图像如右所示，从图像易知 第1个球在抛出点上方下落过程中能与第2、3、4、5、6个小球相遇 即能遇到5个小球，选项C正确 4．将一小球竖直上抛，若它在空中所受空气阻力大小恒定，设到达最高点前的1s内和离开最高点后的1s内通过的位移大小分别为s1、s2，速度变化的大小分别为∆v1、∆v2，则（ ） A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．∆v1＞∆v2 D．∆v1＜∆v2 【答案】AC 【解析】 设阻力大小为，时间 上升过程中的加速度大小，下落过程中的加速度大小，则 AB：，，则，选项A正确，B错误 CD：，，则，选项C正确，D错误 5．在轻绳的两端各拴一个小球，用手拿着绳子上端的小球站在三楼的阳台上，释放小球，使两小球自由下落，两小球相继落地的时间差为∆t。如果从四楼的阳台上用同样的方式释放小球，则两小球相继落地的时间差将（ ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定 【答案】C 【解析】 从四楼释放比从三楼释放，下端的小球着地时速度更大 因而运动绳子长度到上端小球着地所用时间更短，选项C正确 6．一物体从一行星表面上方（无空气）某高度处自由下落。开始下落时开始计时， 得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图所示，则（ ） A．行星表面重力加速度大小为10m/s2 B．1s末物体的速度为20m/s C．物体落到行星表面时的速度为20m/s D．物体最后1s内下落15m 【答案】C 【解析】 从图像可知，物体自由下落所用时间 A：设重力加速度为，则位移公式得 ，选项A错误 B：末物体的速度，选项B错误 C：末物体落到星球表面的速度，选项C正确 D：据图像知，最后1s为1.5s～2.5s 时物体的速度 则物体在最后1s下落的高度，选项D错误 7．某人在一个以a＝2m/s2的加速度匀加速上升的电梯内，以相对于电梯v＝1m/s的初速度竖直上抛一个小球，已知小球抛出点离电梯地板的高度为h＝1m，不考虑空气阻力的影响，重力加速度g取10m/s2，则小球从抛出至掉落到电梯地板上的时间为（ ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【答案】B 【解析】换参法 以电梯为参考系 小球对电梯的相对初速度v0相＝1m/s，相对加速度a相＝a＋g＝12m/s2（方向向下） 设所求时间为t，则相对位移 解得（舍去），或，B对 8．甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出， 小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g， 则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 两球运动到同一水平线上时，乙小球的运动时间 甲小球到达的最高点高度 甲小球下落的高度为 故该位置距离抛出点的高度，故选D。 9．小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s内的上升高度是其上升时间内正中间1s内上升高度的倍，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ） A．小球上升的时间为8s B．小球上升的最大高度为m C．小球中间1s内上升的高度为m D．小球最初1s内上升的高度为5m 【答案】BC 【解析】妙解：逆向思维法＋比例法 设上升总时间为，则正中间的1s就是第（顺数倒数都是） 用逆向思维法及比例法（通式），得：，A错； 上升的最大高度，B对； 中间1s相当于第，也相当于自由下落过程的第，下落过程第1s下落5m 中间1s位移设为，对下落过程用比例法，有：，C对； 最后1s上升高度为5m，最初1s肯定大于5m（），D错。 10．杂技表演中有一抛球节目，小明在家练习抛球，他以初速度4m/s竖直上抛一小球A后，又以初速度2m/s在同一高度竖直上抛另一小球B，发现两球在空中相遇，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则两球抛出的时间间隔Δt必须满足的条件是（ ） A．Δt＜0.4s B．Δt＜0.2s C．0.2s＜Δt＜0.4s D．0.4s＜Δt＜0.8s 【答案】D 【解析】 球A从抛出回到手中所用时间为 球B从抛出回到手中所用时间为 若两球刚好在球B回到手中相遇，则有 为了两球在空中相遇，抛出的时间间隔Δt必须满足Δt1＜Δt＜tA，即0.4s＜Δt＜0.8s，故选D 11．利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测出此时出水口到盘子的高度为h，从第1滴水开始下落到第n滴水刚落至盘中所用时间为t。下列说法正确的是（ ） A．每滴水下落时间为 B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为 C．当地的重力加速度的大小为 D．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为 【答案】BC 【解析】 A：设每滴水下落时间为，则，A错； B：相邻的两滴水时间间隔相同，则相邻两滴水开始下落的时间间隔，B对； C：从第1滴水到第n滴水落到盘中，有（n-1）个时间间隔Δt 则有 由前面的，C对； D：由比例规律可知，第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为，D错。 12．一竖直发射的小火箭在火药燃烧的2s内具有3g的向上的加速度。不计空气阻力，g取10m/s2。当它从地面上点燃发射后具有的最大速率为 m/s，能上升的最大高度为 m，在空中运动的总时间为 s。 【答案】（约69.3），240，（约14.9） 【解析】 第1空：易错等级：★★★★★ 注意：不是火药燃烧2s后时刻速度最大（60m/s），而是火箭将要着地时速度最大 第2空：前2s即内，上升高度，获得速度 以上抛高度 则能上升的最大高度 第3空：以上抛至落地，设时间为，则 代入数据解得（舍去），或 则在空中运动的总时间 第1空：落地速度最大，最大值 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $