2.1 认识有理数（第3课时 数轴）（教学设计）数学新教材北师大版七年级上册

2.1认识有理数（第3课时 数轴）教学设计 课题 数轴 单元 第二章 有理数及其运算 学科 初中数学 （北师大版） 年级 七年级 学习目标 1、经历从温度计抽象出数轴的过程，理解数轴的概念，掌握数轴的原点、单位长度和正方向三要素，会正确画出数轴。 2、能说出数轴上的点所表示的有理数，能将给定有理数用数轴上的点表示，知道任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，体会有理数与数轴上点的对应关系。 3、借助数轴理解相反数和绝对值的几何意义，会利用数轴比较有理数的大小，初步体会数形结合的思想方法，发展几何直观和抽象能力。 教材 分析 本节课是北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.1认识有理数的第3课时。前两课时学生已从代数角度认识了正负数、有理数分类、相反数和绝对值，本课时在此基础上引入数轴，建立“数”与“形”的联系。 教材以学生熟悉的温度计（图2-3）为现实原型，通过“用直线上的点表示有理数”的问题驱动，逐步规定原点、单位长度和正方向，抽象出数轴概念；再通过例4实现“由点读数”和“由数画点”的双向转化；最后借助数轴揭示相反数（位于原点两侧、到原点距离相等）和绝对值（对应点到原点的距离）的几何意义，并利用数轴上点的位置关系比较有理数大小。数轴是初中数学第一个重要的几何模型，是后续学习有理数运算、不等式、平面直角坐标系的基础，也是渗透数形结合思想的关键载体。 学情 分析 学生在生活中接触过温度计、刻度尺等带刻度的工具，对“用刻度表示数量”有直观经验；前两课时已掌握有理数、相反数和绝对值的代数意义，具备学习数轴的知识基础。但七年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，本节面临的主要障碍： 1、画数轴时三要素容易遗漏，尤其忘记标注正方向箭头，或单位长度长短不一、刻度不均匀。 2、标注负数刻度时方向容易标反，误将原点左侧从右向左写成-1、-2时出现混乱。 3、在数轴上定位分数和小数（如、-1.5、）时，不能准确按单位长度等分。 4、对"数轴上距离原点2个单位长度的点"只想到一个，遗漏左右两个点（2和-2）。 5、首次系统经历"以形助数"，由数想到点的位置、由点的位置判断数的大小存在困难，数形结合意识有待建立。 教学 重点 数轴的概念和三要素，正确画数轴；有理数与数轴上点的相互表示；借助数轴理解相反数、绝对值并比较大小 教学 难点 经历从温度计到数轴的抽象过程；分数（小数）在数轴上的准确定位；利用数轴理解相反数、绝对值的几何意义 教学 准备 多媒体课件（PPT）、温度计模型或图片、直尺、三角板 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 以形示数】 教师出示三支温度计（图2-3），提出三个问题： （1）图2-3中温度计上显示的温度各是多少？ （2）温度计上的刻度有什么特点？（有0刻度、刻度均匀、0上为正0下为负、向一个方向数值增大） （3）你能用直线上的点表示有理数吗？ 教师引导：温度计竖直放置就能表示正、负和零，如果把它“放平”，用一条水平直线上的点来表示有理数，就得到今天要学习的数学工具——数轴。 教师点题：数轴能把抽象的数变成直观的点，是研究有理数的重要工具。 1、观察温度计图片，读出三支温度计显示的温度，回顾正负数表示温度的方法； 2、独立思考温度计刻度的特点，小组交流：有0分界点、刻度间距相等、有数值增大的方向； 3、类比温度计，猜想"怎样用一条水平直线上的点表示正数、0和负数"，初步建立直线刻度与有理数的联系。 新知 探究 1.探究一：数轴的概念 【活动一：逐步建构——数轴是怎样规定的？】 教师边讲解边板演，引导学生经历数轴的生成过程： 第一步：画一条水平直线，在直线上取一点（称为原点），用它表示0； 第二步：选取某一长度作为单位长度，从原点向右、向左依次等距截取； 第三步：规定直线上向右的方向为正方向，画上箭头，相反方向（向左）就是负方向。 教师说明：原点右边的点表示正数，左边的点表示负数。如+3用原点右边3个单位长度的点表示，-4用原点左边4个单位长度的点表示。 教师板书数轴定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴，如图2-4，它"像一个平放的温度计"。 教师强调三要素缺一不可： ①原点（确定0的位置和分界）； ②单位长度（确定度量标准，同一条数轴上必须统一）； ③正方向（确定数增大的方向，通常向右，用箭头标出）。 1、跟随教师板演，在练习本上同步经历"画直线—定原点—选单位长度—标正方向"的建构过程； 2、在自己画的数轴上指出+3、-4、0分别对应哪个点，说出该点在原点的哪一侧、距原点几个单位； 3、记录数轴定义和三要素，圈画"原点、单位长度、正方向"三个关键词； 4、辨析教师出示的几条"问题数轴"（缺箭头、单位长度不均、无原点），指出各自缺少哪个要素。 新知 探究 【活动二：规范操作——怎样画数轴并表示有理数？】 教师归纳画数轴的标准步骤： 一画（画水平直线）； 二定（定原点，标0）； 三选（选统一的单位长度）； 四标（向右画箭头标正方向，依次标出…，-2，-1，0，1，2，…）。 教师特别提醒：负数刻度从原点向左依次为-1，-2，-3，…，绝对值越来越大，方向不要标反。 教师组织"尝试·思考"： （1）用数轴上的哪个点表示？-1.5呢？其他数呢？ 教师示范：在原点右侧，把0到1这一单位长度平均分成4份，取靠近0的第1份处；-1.5在原点左侧1个半单位长度处。 （2）由此你能得到什么结论？ 教师板书结论：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 教师补充：数轴上的点并不都表示有理数（为后续实数学习埋下伏笔，点到即可）。 1、按照"一画二定三选四标"的步骤独立画一条规范的数轴，同桌互相检查三要素是否齐全、单位长度是否统一； 2、在数轴上尝试标出1/4和-1.5，体会分数、小数要通过等分单位长度来定位； 3、再各写出一个正分数和一个负小数，在数轴上表示出来； 4、归纳并记录结论：任何一个有理数都能用数轴上的一个点表示，初步感受"数"与"点"的对应。 新知 探究 2.探究二：数轴的应用 【活动一：双向转化——例4】 例4 (1)（由点读数）如图2-5，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ 教师引导学生按“点在原点哪一侧定正负、数格子定数值”的方法读图： 点A表示-2，点B表示2，点C表示0，点D表示-1。 例4(2)（由数画点）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，-3，0，5，-4，，3，-5（如图2-6）。 教师板演规范作图：先画数轴，再逐个找点描点，分数先确定它介于哪两个相邻整数之间，再等分定位。 教师小结双向转化方法： 由点读数：看位置（左右定正负）+看距离（几个单位定大小）； 由数画点：定方向（正负定左右）+定距离（绝对值定离原点多远）。 1、独立完成例4(1)，说出每个点在原点的哪一侧、距原点几个单位，从而读出所表示的数； 2、独立画数轴并标出例4(2)的8个数，注意3/2和-3/2要在1与2、-1与-2之间等分定位； 3、同桌对照图2-6互相检查描点位置是否准确； 4、总结"由点读数"和"由数画点"的一般步骤，体会符号定方向、绝对值定距离。 新知 探究 【活动二：以形释数——相反数和绝对值的几何意义】 教师组织"观察·思考" 观察图2-6中表示3与-3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系？与、5与-5呢？ 教师引导归纳相反数的几何意义： 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。 教师进一步揭示绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离。 教师引导对照第2课时的代数结论： ①因为距离没有负的，所以，与代数结论一致； ②互为相反数的两个点到原点距离相等，所以； ③0对应的点就是原点，到原点距离为0，所以。 教师追问：数轴上距离原点2个单位长度的点表示什么数？ 教师强调：原点左右各有一个，分别是2和-2，即绝对值等于2的数有两个，防止漏解。 1、观察图2-6中成对出现的点，测量并比较它们到原点的距离，归纳相反数的位置特征； 2、在数轴上指出|3|、|-3|分别对应哪段距离，理解"绝对值是点到原点的距离"这一几何意义； 3、把几何意义与第2课时的代数结论逐条对照，体会两种表述的一致性； 4、独立思考"距原点2个单位长度的点"，在数轴上找到左右两个点，得出2和-2两个答案。 1. 典例精讲 教师组织"思考·交流"： 将例4(2)中的各数按从小到大排列，用“<”连接，观察它们在数轴上对应点的位置，你有什么发现？ 教师引导归纳： 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 由此得到比较法则： ①正数大于0，负数小于0，正数大于负数； ②两个负数比较大小，数轴上左边的更小，即离原点越远（绝对值越大）的负数反而越小。 教师示范： 例1：比较与-4； 【答案】在-4右边，故-4< 例2：比较-2与6 【答案】负数小于正数，-2<6。 教师总结比较大小的两种方法： 代数法：先判正负，负数之间比绝对值（绝对值大的反而小）； 数轴法：把数标到数轴上，按"左小右大"直接排序，多个数比较时尤其直观。 2. 课堂练习 1、（教材随堂练习1）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“>”将它们连接起来：3，-2，1.5，，0，-0.5。 【答案】大小顺序为3>1.5>0>-0.5>>-2 数轴为： 2、（教材随堂练习2）在数轴上距离原点2个单位长度的点表示什么数？ 【答案】2和-2 3、（教材随堂练习3）在数轴上表示下列各数及其相反数，并求出它们的绝对值： ，6，-7。 【答案】 ||=|6|=6、|-7|=7 教师巡视，重点检查：数轴三要素是否齐全、分数定位是否准确、"距原点定距离"是否漏解，并选取典型作品投影讲评。 1、把例4(2)的8个数在数轴上按从左到右的顺序读出，写出从小到大的排列； 2、归纳"右边的数总比左边的大"，推导正数、0、负数的大小关系； 3、跟随教师用数轴解释"两个负数绝对值大的反而小"的道理； 4、独立完成比较：-3与0、-1与-5、-1/2与-1，并分别用代数法和数轴法验证结果一致。 5、独立完成课堂练习第1题：先画规范数轴，再描点，最后按"右大左小"用">"连接各数； 6、完成课堂练习第2题，在数轴上找到原点左右两个距原点2个单位的点，写出2和-2，说明为什么有两个； 7、完成课堂练习第3题，在同一数轴上表示每个数及其相反数，借助到原点的距离写出绝对值； 8、同桌互查数轴画法与描点，订正错误，整理分数定位和漏解类错题。 课堂 小结 教师引导学生回顾本节课知识，构建知识框架： 一、数轴的概念 ·三要素：原点、单位长度、正方向，缺一不可； ·画法：一画二定三选四标。 二、有理数与数轴上的点 ·任何有理数都能用数轴上的一个点表示； ·由点读数、由数画点：符号定方向，绝对值定距离。 三、数轴上的相反数与绝对值 ·互为相反数的两个点在原点两侧、到原点距离相等； ·绝对值是对应点到原点的距离，。 四、利用数轴比较大小 ·右边的数总比左边的大；正数>0>负数，两个负数绝对值大的反而小。 教师提炼思想方法：数轴把"数"和"形"结合起来，是数形结合思想的重要工具。 1、跟随教师引导，对照自己画的数轴口头复述三要素和画图步骤； 2、独立绘制本节课知识结构图，理清"数轴概念—点与数对应—几何意义—比较大小"的主线； 3、主动分享易错点：漏画箭头、单位长度不统一、负数刻度标反、分数定位不准、距离问题漏解； 4、体会数形结合的好处，举例说明"看到数能想到点，看到点能读出数"。 作业 布置 1、教材习题2.1中与数轴相关的题目（必做，含第8题读点、比较大小）； 2、画一条数轴，表示下列各数：-3，2.5，，0，4，-2，并按从小到大顺序用“”连接（必做）； 3、思考题：一只蚂蚁从数轴上表示-1的点出发，先向右爬3个单位，再向左爬5个单位，最终停在表示什么数的点上？（选做） 板书 设计 第二章 2.1 认识有理数（第3课时 数轴） 一、数轴（像平放的温度计） （1）三要素：原点、单位长度、正方向（缺一不可） （2）画法：一画直线 二定原点 三选单位长度 四标正方向与刻度 （3）示例： 二、有理数与数轴上的点 （1）任何有理数都可用数轴上一个点表示 （2）由点读数或由数画点：符号定方向，绝对值定距离 三、几何意义 （1）相反数：原点两侧、到原点距离相等的两个点 （2）绝对值：对应点到原点的距离， 四、比较大小 （1）右边的数总比左边的大 （2）正数0负数； （3）两个负数，绝对值大的反而小 （4）数学思想：数形结合 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $