湖北随州市曾都区第一高级中学2026-2027学年高二上学期数学综合2

**基本信息** 高二数学周测试卷，涵盖复数、统计、立体几何、概率等模块，通过“笔墨纸砚”随机模拟、猜灯谜概率等情境，考查空间观念、数据意识与运算能力，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数几何意义、统计方差、空间线面关系、古典概型|第6题以“笔墨纸砚”卡片模拟概率，渗透文化传承| |多选题|3题|解三角形性质、独立事件判断、空间向量共面|第11题结合异面直线考向量共线，强化逻辑推理| |填空题|3题|圆锥侧面积、空间向量基底、摸球概率|第14题“首次全摸某色球”需分类讨论，提升思维严谨性| |解答题|5题|空间向量运算、频率分布直方图、解三角形、线面角、概率综合|第16题分层抽样与概率结合，第19题猜灯谜情境融合独立事件，体现数学语言表达现实问题|

曾都一中2026年秋高二上学期数学综合2 考试时间：18:30-20:30 2026.09.10 一、单选题 1．若复数，则下列选项正确的是（   ） A．在复平面内对应的点位于第二象限 B．的共轭复数为 C．为正数 D． 2．已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 3．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 4．设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列结论不成立的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 5．如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 6．盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 7．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 二、多选题 9．在中，内角，，的对边分别为，，，下列结论成立的是（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D． 10．下列描述正确的是（    ） A．若事件满足，则与B是对立事件 B．若，则事件与B相互独立 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，不放回地从中随机地取出两球，第二次取到红球的概率为 11．下列关于空间向量的说法中正确的有（   ） A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C．若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D．若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 三、填空题 12．已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______． 13．已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 14．袋中有2个红球、3个白球，现随机不放回地逐个摸出．设为“首次出现某一种颜色的球被全部摸出”时所需的摸球次数，则的概率为_____________． 四、解答题 15．如下图所示，在平行六面体中，，，， (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 16．随州市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 18．如图，在三棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． (1)求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； (2)求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； (3)求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 曾都一中2026年秋高二上学期数学综合2参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C D C B D CD BCD BD 8．D【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 11．BD【详解】对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误； 对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反， 所以向量，一定不共线，所以B正确； 对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示， 但三个向量，，不一定共面，所以C错误； 对于D，若，，是空间中三个不共面的向量， 根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使，所以D正确. 12． 13．/1.5 14． 15．【详解】（1）由，即，则；.............................2 （2）由，则， 而，则在上的投影向量；....................................8 （3）由，则 ， 所以.................................................................................13 16．【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得．......2 估计初赛成绩的平均数为：．...................4 设中位数为，因为、、组的频率分别为，，，因此，故；.............................................7 （2）由（1）知，成绩在，的频率之比为． 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为................................................10 从5人中随机抽取2人的样本空间为：共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此，所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．..................15 17．【详解】（1）由题意， 又，所以．.....................2 又，所以或，所以.....................6 （2）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：，..........................................................11 由余弦定理：， 所以．.......................................................................................15 18．(1)在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得，..........................3 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以.............................................................................8 （2）因为平面，平面，所以， 因为，，由勾股定理可得， 连接，如下图所示： 因为，为的中点，所以， 由（1）可知， 因为，、平面，所以平面， 所以与平面所成角为，..................................................................12 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得，故，...................15 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为..................17 19．【详解】（1）记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件， 则， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为...............................................5 （2）记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中， 所以，， ， ，， ， 记事件表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则， 所以， 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为;.............................................................11 （3）记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则， 所以， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为．...............................................17 学科网（北京）股份有限公司 $