湖北省团风中学2026-2027学年高二上学期数学周测卷9.6

**基本信息** 2026年9月高中数学周测试卷，涵盖复数、立体几何、概率统计等模块，通过多样题型考查空间想象、逻辑推理与数据分析，如结合AI世界模型情境的空间几何题，体现数学眼光与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数、立体几何、统计|第2题斜二测画法还原原图形，考查空间直观| |多选题|3题|概率、立体几何综合|第9题骰子抛掷事件分析，考查逻辑推理| |填空题|3题|向量应用、立体几何计算|第14题折叠问题求距离最大值，动态思维| |解答题|5题|概率应用、空间解析几何|第19题结合AI情境考平面直线方程，数学语言表达|

2026年9月6日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 2．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为（   ） A． B． C． D．2 3．在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（     ） A．1 B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 6．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则等于（    ） A． B． C． D． 7．一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（   ） A．的极差为10 B．的方差为8 C．的第80百分位数为 D．的平均数为7 8．一组不全相等的数据，将其去掉一个最小的数据后，则下列数字特征一定改变的是（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差 二、多选题 9．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件“第一次的点数为3的倍数”，事件“第二次为偶数点”，事件“两次掷出的点数之和大于8”，事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，则下列结论正确的有（    ） A．与互斥但不对立 B． C． D．与相互独立 10．如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．向量共面 C． D．若，则该平行六面体的高为 11．已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．已知O是所在平面内一点，且，，的面积S满足，则__________. 13．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 14．如图，在中，，．在边上取一点（不含、），将沿线段折起，得到．当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为______． 四、解答题 15．在一个不透明的袋中有5个形状、大小、质地均相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，5． （1）从袋中随机抽取两个小球； ①用列举法写出全部基本事件； ②求取出的两个小球编号之和不大于5的概率； （2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m，再将小球放入袋中，然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n，求函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点的概率． 16．如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 17．如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 18．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为15，求； (3)若，，求实数的取值范围． 19．世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题. (1)已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值； (2)求通过直线且与平面垂直的平面方程； (3)已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程. 试卷第1页（共3页） 《2026年9月6日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A C D D C BC ACD 题号 11 答案 AC 1．D 【详解】复数为纯虚数， ，解得， 则“”是“复数为纯虚数”的既非充分也非必要条件． 2．C 【分析】根据斜二测画法的规则，与 轴平行的线段长度不变，与 轴平行的线段在直观图中长度变为原来的一半．利用等腰梯形的性质求出直观图中的 ，再还原原长． 【详解】过 作 ，垂足为 ． 因为 是等腰梯形，且 ，，所以 ． 又 ，故 为等腰直角三角形，从而 ． 原梯形中的 与 轴平行，在斜二测画法中 ，所以 ． 3．A 【分析】通过余弦定理确定的中点为底面外接圆的圆心，再确定球心在上，通过列方程即可求解. 【详解】 由题意四边形有外接圆，则， 即，得，即，故， 取的中点为，即为四边形外接圆的圆心，且外接圆半径， 又，可得在底面上的投影为，即底面且， 故外接球的球心在上，设球心为，球的半径为， 由，得，解得. 4．A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 5．C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 6．D 【分析】根据投影向量、向量的数量积运算律及向量的模求解即可. 【详解】由在方向上的投影向量为，得， 又为单位向量，所以. 所以. 7．D 【分析】利用数据线性变换的性质，即可由原数据的数字特征计算出新数据的数字特征，逐一验证选项即可. 【详解】对于A，已知原数据的极差， 新数据的最大值，最小值， 则新数据的极差，故A错误， 对于B，新数据的方差，故B错误， 对于C，，故的第80百分位数为，故C错误， 对于D，新数据的平均数，故D正确. 8．C 【详解】一组不全相等的数据，最小的数据可能不唯一，所以去掉一个最小的数据后，众数，中位数和极差并不一定改变，但平均数一定变大. 9．BC 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则有种情况,用表示投掷结果，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果. 事件“第一次的点数为3的倍数”，3的倍数有，则有种情况. 事件“第二次为偶数点”，偶数有，则有种情况. 事件“两次掷出的点数之和大于8”，点数之和可能为，则： ，共10种情况. 事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，点数之和可能为，则： ，共9种情况. 事件和事件同时发生的情况：第一次为3的倍数，第二次为偶数点， 故与不互斥，A错误； ，B正确； 事件是“第一次为3的倍数且第二次为偶数”，第一次有2种选择， 第二次有3种选择，共种情况，则，C正确； 事件是“和大于8 且和能被4整除”，只有一种情况符合， 故，所以与不相互独立，D错误. 10．ACD 【分析】设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D. 【详解】设，， 则， 因为点分别是棱的中点， 所以，， 则， 则，故A正确； ， 则向量不共面，故B错误； ，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 则在上的投影向量的长度为， 则该平行六面体的高为，故D正确. 11．AC 【分析】建立空间直角坐标系，可得，.对于A：根据线面平行结合空间向量确定点P的轨迹，进而求出轨迹长度；对于B：利用向量的方法求出异面直线所成角的取值范围；对于C：求平面的法向量，利用空间向量怎么面面垂直；对于D：利用空间几何体的展开图求出的最小值． 【详解】如图以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，分别为边，的中点，则，， 可得，， 因为，即，. 对于选项A：因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 又因为平面，则，可得， 可知点P，B，D三点共线，所以点P的轨迹为线段，且， 所以若直线平面，点P的轨迹长度为，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 因为，， 设与所成角为， 则， 因为，则， 可得，即， 且，可得， 所以直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于选项C：因为，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 当时，则，可得，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于选项D：当时，点，， 设关于平面的对称点， 连接交平面于点，连接，则， 因为，由图知， 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D错误． 12． 【分析】先利用向量运算化简两个向量等式得，即点O是的外心，所以，再由结合三角形面积公式和向量数量积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，故， 因为，所以， 即，所以， 所以，故， 所以，即点O是的外心，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 故. 13． 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 14．2 【分析】设，则，到平面距离为，由题意根据可得，根据二次函数性质计算可得最大值. 【详解】在中，因为，，所以． 由余弦定理可得．设，则，． 在中，由余弦定理可得． 在中，，，， 设到平面的距离为， 因为平面垂直于平面，所以到平面的距离即为的高， 则， 解得， 由，令，， 当时，函数有最小值为，因为，所以． 15．（1）①有以下10种取法：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45．②； （2） 【详解】试题分析：（1）①从袋中随机抽取两个小球，利用列举法能求出全部基本事件． ②取出的两个小球编号之和不大于5，利用列举法求出包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球编号之和不大于5的概率． （2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m，再将小球放入袋中，然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n，利用列举法能求出函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点的概率． 解：（1）①从袋中随机抽取两个小球，有以下10种取法： 12，13，14，15，23，24，25，34，35，45． ②取出的两个小球编号之和不大于5，包含的基本事件为： 12，13，14，23，共4个， ∴取出的两个小球编号之和不大于5的概率：p==． （2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m，再将小球放入袋中， 然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n， 基本事件总数为：5×5=25， ∵函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点， ∴△=4n﹣4﹣4m﹣4=4（n﹣m）﹣8＜0，即n﹣m＜2， ∴条件的（m，n）有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，2），（3，3）， （3，4），（3，5），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5）， ∴函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点的概率p=． 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 16．(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 17．(1) (2)． 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则，    所以，，，得． （2）因为，且，， 设，，， 所以，    得， 即，    故，即，所以长度的取值范围为． 18．(1); (2); (3) 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理实现边化角，化简得到，从而求出角； （2）根据角平分线建立面积等量关系，结合余弦定理求出的长； （3）根据已知条件，结合正弦定理及两角差的正弦公式，化简可得，再结合正弦函数图象，求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1），即， 由正弦定理可得：，， 即，又， ，即， 在中，，则，又，； （2）由（1）知，则由余弦定理得， 的周长为15，则，，，， 又是的角平分线，，即， 则，； （3）由，则点为上靠近点的一个三等分点， ，，， 又，，则，，， 由正弦定理得， ， 化简整理得，又，，则， ，即. 19．(1) (2) (3)距离为， 【分析】（1）先由直线方程组取 和 得到直线上两点,进而确定直线的方向向量 ,再结合平面的法向量 ,利用线面角与向量夹角的关系 ,代入数量积和模长计算,最终化简求出sin 的值； （2）平面 过直线 且与平面 垂直,因此 的法向量同时与直线 的方向向量、平面 的法向量垂直,由此列方程组求出平面 的法向量 ,再代入直线上已知定点,用点法式写出平面方程并整理化简； （3）先根据两条直线的参数方程分别设出动点坐标，求出两直线方向向量，方法一利用公垂线向量同时与两个方向向量垂直，数量积为 列方程求出参数，得到垂足与公垂线段向量，计算模长得异面直线距离并写出公垂线方程；方法二写出两点距离平方表达式，用二次函数配方法求最小值，即为异面直线距离，同步确定垂足与公垂线方程. 【详解】（1）取的法向量为，上的点满足， 在方程组中取得，所以点在直线上.取得， 所以点在直线上.所以直线的方向向量可以取为， 取直线与平面所成的角为，则. （2）取平面满足且，取的法向量为， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，不妨取， 因为点在直线r上，所以点在平面内， 所以的方程为，整理得 （3）因为上的点满足，所以可取上的点为， 例如、均为上的点，所以的方向向量取为， 同理因为上的点满足，所以可取上的动点为， 例如、均为上的点，所以的方向向量可取为， 方法一：若直线为、的公垂线，则，， 因为，所以， 所以，所以、为公垂线在两条直线上的垂足， 此时，所以、的距离为， 所以公垂线方程为； 方法二：因为， 所以， ， 当且仅当时取等，所以、的距离为， 此时、为公垂线在两条直线上的垂足， 所以，所以公垂线方程为 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年9月6日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【详解】复数为纯虚数， ，解得， 则“”是“复数为纯虚数”的既非充分也非必要条件． 2．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，与 轴平行的线段长度不变，与 轴平行的线段在直观图中长度变为原来的一半．利用等腰梯形的性质求出直观图中的 ，再还原原长． 【详解】过 作 ，垂足为 ． 因为 是等腰梯形，且 ，，所以 ． 又 ，故 为等腰直角三角形，从而 ． 原梯形中的 与 轴平行，在斜二测画法中 ，所以 ． 3．在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】通过余弦定理确定的中点为底面外接圆的圆心，再确定球心在上，通过列方程即可求解. 【详解】 由题意四边形有外接圆，则， 即，得，即，故， 取的中点为，即为四边形外接圆的圆心，且外接圆半径， 又，可得在底面上的投影为，即底面且， 故外接球的球心在上，设球心为，球的半径为， 由，得，解得. 4．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 5．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 6．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量、向量的数量积运算律及向量的模求解即可. 【详解】由在方向上的投影向量为，得， 又为单位向量，所以. 所以. 7．一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（   ） A．的极差为10 B．的方差为8 C．的第80百分位数为 D．的平均数为7 【答案】D 【分析】利用数据线性变换的性质，即可由原数据的数字特征计算出新数据的数字特征，逐一验证选项即可. 【详解】对于A，已知原数据的极差， 新数据的最大值，最小值， 则新数据的极差，故A错误， 对于B，新数据的方差，故B错误， 对于C，，故的第80百分位数为，故C错误， 对于D，新数据的平均数，故D正确. 8．一组不全相等的数据，将其去掉一个最小的数据后，则下列数字特征一定改变的是（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差 【答案】C 【详解】一组不全相等的数据，最小的数据可能不唯一，所以去掉一个最小的数据后，众数，中位数和极差并不一定改变，但平均数一定变大. 二、多选题 9．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件“第一次的点数为3的倍数”，事件“第二次为偶数点”，事件“两次掷出的点数之和大于8”，事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，则下列结论正确的有（    ） A．与互斥但不对立 B． C． D．与相互独立 【答案】BC 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则有种情况,用表示投掷结果，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果. 事件“第一次的点数为3的倍数”，3的倍数有，则有种情况. 事件“第二次为偶数点”，偶数有，则有种情况. 事件“两次掷出的点数之和大于8”，点数之和可能为，则： ，共10种情况. 事件“两次掷出的点数之和能被4整除”，点数之和可能为，则： ，共9种情况. 事件和事件同时发生的情况：第一次为3的倍数，第二次为偶数点， 故与不互斥，A错误； ，B正确； 事件是“第一次为3的倍数且第二次为偶数”，第一次有2种选择， 第二次有3种选择，共种情况，则，C正确； 事件是“和大于8 且和能被4整除”，只有一种情况符合， 故，所以与不相互独立，D错误. 10．如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．向量共面 C． D．若，则该平行六面体的高为 【答案】ACD 【分析】设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D. 【详解】设，， 则， 因为点分别是棱的中点， 所以，， 则， 则，故A正确； ， 则向量不共面，故B错误； ，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 则在上的投影向量的长度为， 则该平行六面体的高为，故D正确. 11．已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，可得，.对于A：根据线面平行结合空间向量确定点P的轨迹，进而求出轨迹长度；对于B：利用向量的方法求出异面直线所成角的取值范围；对于C：求平面的法向量，利用空间向量怎么面面垂直；对于D：利用空间几何体的展开图求出的最小值． 【详解】如图以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，分别为边，的中点，则，， 可得，， 因为，即，. 对于选项A：因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 又因为平面，则，可得， 可知点P，B，D三点共线，所以点P的轨迹为线段，且， 所以若直线平面，点P的轨迹长度为，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 因为，， 设与所成角为， 则， 因为，则， 可得，即， 且，可得， 所以直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于选项C：因为，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 当时，则，可得，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于选项D：当时，点，， 设关于平面的对称点， 连接交平面于点，连接，则， 因为，由图知， 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D错误． 三、填空题 12．已知O是所在平面内一点，且，，的面积S满足，则__________. 【答案】 【分析】先利用向量运算化简两个向量等式得，即点O是的外心，所以，再由结合三角形面积公式和向量数量积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，故， 因为，所以， 即，所以， 所以，故， 所以，即点O是的外心，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 故. 13．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 14．如图，在中，，．在边上取一点（不含、），将沿线段折起，得到．当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为______． 【答案】2 【分析】设，则，到平面距离为，由题意根据可得，根据二次函数性质计算可得最大值. 【详解】在中，因为，，所以． 由余弦定理可得．设，则，． 在中，由余弦定理可得． 在中，，，， 设到平面的距离为， 因为平面垂直于平面，所以到平面的距离即为的高， 则， 解得， 由，令，， 当时，函数有最小值为，因为，所以． 四、解答题 15．在一个不透明的袋中有5个形状、大小、质地均相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，5． （1）从袋中随机抽取两个小球； ①用列举法写出全部基本事件； ②求取出的两个小球编号之和不大于5的概率； （2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m，再将小球放入袋中，然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n，求函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点的概率． 【答案】（1）①有以下10种取法：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45．②； （2） 【详解】试题分析：（1）①从袋中随机抽取两个小球，利用列举法能求出全部基本事件． ②取出的两个小球编号之和不大于5，利用列举法求出包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球编号之和不大于5的概率． （2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m，再将小球放入袋中，然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n，利用列举法能求出函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点的概率． 解：（1）①从袋中随机抽取两个小球，有以下10种取法： 12，13，14，15，23，24，25，34，35，45． ②取出的两个小球编号之和不大于5，包含的基本事件为： 12，13，14，23，共4个， ∴取出的两个小球编号之和不大于5的概率：p==． （2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m，再将小球放入袋中， 然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n， 基本事件总数为：5×5=25， ∵函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点， ∴△=4n﹣4﹣4m﹣4=4（n﹣m）﹣8＜0，即n﹣m＜2， ∴条件的（m，n）有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，2），（3，3）， （3，4），（3，5），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5）， ∴函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点的概率p=． 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 16．如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 17．如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则，    所以，，，得． （2）因为，且，， 设，，， 所以，    得， 即，    故，即，所以长度的取值范围为． 18．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为15，求； (3)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2); (3) 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理实现边化角，化简得到，从而求出角； （2）根据角平分线建立面积等量关系，结合余弦定理求出的长； （3）根据已知条件，结合正弦定理及两角差的正弦公式，化简可得，再结合正弦函数图象，求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1），即， 由正弦定理可得：，， 即，又， ，即， 在中，，则，又，； （2）由（1）知，则由余弦定理得， 的周长为15，则，，，， 又是的角平分线，，即， 则，； （3）由，则点为上靠近点的一个三等分点， ，，， 又，，则，，， 由正弦定理得， ， 化简整理得，又，，则， ，即. 19．世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题. (1)已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值； (2)求通过直线且与平面垂直的平面方程； (3)已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程. 【答案】(1) (2) (3)距离为， 【分析】（1）先由直线方程组取 和 得到直线上两点,进而确定直线的方向向量 ,再结合平面的法向量 ,利用线面角与向量夹角的关系 ,代入数量积和模长计算,最终化简求出sin 的值； （2）平面 过直线 且与平面 垂直,因此 的法向量同时与直线 的方向向量、平面 的法向量垂直,由此列方程组求出平面 的法向量 ,再代入直线上已知定点,用点法式写出平面方程并整理化简； （3）先根据两条直线的参数方程分别设出动点坐标，求出两直线方向向量，方法一利用公垂线向量同时与两个方向向量垂直，数量积为 列方程求出参数，得到垂足与公垂线段向量，计算模长得异面直线距离并写出公垂线方程；方法二写出两点距离平方表达式，用二次函数配方法求最小值，即为异面直线距离，同步确定垂足与公垂线方程. 【详解】（1）取的法向量为，上的点满足， 在方程组中取得，所以点在直线上.取得， 所以点在直线上.所以直线的方向向量可以取为， 取直线与平面所成的角为，则. （2）取平面满足且，取的法向量为， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，不妨取， 因为点在直线r上，所以点在平面内， 所以的方程为，整理得 （3）因为上的点满足，所以可取上的点为， 例如、均为上的点，所以的方向向量取为， 同理因为上的点满足，所以可取上的动点为， 例如、均为上的点，所以的方向向量可取为， 方法一：若直线为、的公垂线，则，， 因为，所以， 所以，所以、为公垂线在两条直线上的垂足， 此时，所以、的距离为， 所以公垂线方程为； 方法二：因为， 所以， ， 当且仅当时取等，所以、的距离为， 此时、为公垂线在两条直线上的垂足， 所以，所以公垂线方程为 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $