第四章一次函数单元练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为北师大版八年级上册一次函数单元复习卷，以核心知识为载体，融入天宫课堂、水费分段计费等真实情境，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养抽象能力、模型意识与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|正比例函数定义、图像平移、性质应用|如第5题结合图像平移与轴对称，考查几何直观| |填空题|5|函数平移、衍生函数新定义、费用图像分析|第14题以“衍生函数”渗透创新意识，第15题通过通讯方案对比强化数据观念| |解答题|5|函数建模、动态几何、行程问题综合|第18题弹簧实验建立函数模型，第19题直角三角形存在性问题发展推理能力，第20题等腰三角形分类讨论体现数学思维严谨性|

第四章一次函数 单元练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．将直线向下平移个单位长度得到的直线是（     ）． A． B． C． D． 3．点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 6．自来水公司为鼓励居民节约用水采取月用水量分段收费的办法，某居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示，若该居民本月用水量为18吨，则应交水费为（     ） A．42 B．43.2元 C．45元 D．46.8元 7．如图，在点，，，中，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 9．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相差100件时的时刻为（     ） A．9点40分 B．10点15分 C．9点45分或9点30分 D．9点40分或10点 10．如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线与轴的交点坐标为___________． 12．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为_________． 13．如图，已知一次函数（k，b是常数，且）的图象，当自变量时，的取值范围是____________． 14．定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 15．如图是某电信公司提供的，两种方案的通讯费用（元）与通话时间之间关系的图象．有下列结论：①若通话时间少于，则方案比方案便宜元；②若通话时间超过，则方案比方案便宜元；③若两种方案通讯费用相差元，则通话时间是或．其中正确的是______．（填序号） 三、解答题 16．甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，各自到达对方出发地后结束行程．图中，分别表示甲、乙两辆汽车离地的距离（单位：km）与行驶时间（单位：）之间的函数关系． (1)两地之间的距离是___________． (2)两辆汽车的速度各是多少？ (3)何时甲汽车到地的距离大于乙汽车到地的距离？ 17．在如图所示平面直角坐标系中，画出直线． (1)若直线与，轴分别交于，两点，直接写出，两点的坐标； (2)求的面积． 18．截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动已在中国空间站开展多场．中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生的探究热情．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧的长度与所挂物体的质量的对应值（在弹簧弹性范围内）． 所挂物体的质量/ 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度/ 15 18 21 24 27 30 (1)由表可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长_________； (2)设所挂物体的质量为，弹簧的长度为，则与之间的关系式为_________，自变量的取值范围是_________； (3)当弹簧的长度为时，求所挂物体的质量． 19．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当点落在直线上时，求的面积； (3)当是直角三角形时，求的值； (4)当的面积是面积的一半时，直接写出的值． 20．如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点． (1)求出点A、B的坐标，以及线段长． (2)当点与点重合时，求的面积． (3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第四章一次函数 单元练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C A D B D D A 1．A 【详解】解：正比例函数形如（）． A、是正比例函数； B、为反比例函数； C、为一次函数但不是正比例函数； D、未注明． 2．C 【分析】利用初中一次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解，向下平移个单位只需在原解析式后减即可． 【详解】∵直线平移时一次项系数不变，向下平移遵循“上加下减”的规律， ∴平移后直线的解析式为 ， 展开整理得 ． 3．A 【分析】根据函数解析式可得一次函数的增减性，再根据增减性可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数， ∴随的增大而增大， ∵点横坐标为，点横坐标为，且， ∴． 4．C 【分析】一次函数中，当一次项系数时，函数值随的增大而增大，当一次项系数时，函数值随的增大而减小，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大， ， 解得． 5．A 【分析】先根据一次函数左右平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再利用关于y轴对称的函数的性质求出关于y轴对称的解析式，对比系数即可求出的值． 【详解】解：将正比例函数的图象向左平移个单位长度，可得平移后的解析式为． ∵平移后的函数图象与的图象关于轴对称， 关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 因此将中的替换为， 即可得到其关于轴对称的解析式． ∴平移后的解析式与为同一个函数， 可得， ∴． 6．D 【分析】分和，分别求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为， 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故． 7．B 【分析】根据 ， 确定图象经过的象限以及与 轴的交点，结合各点坐标特征进行判断即可． 【详解】解： 一次函数 中 ，， 随的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，故排除A和C； ∵图象与 轴交于点 ， 当 时，；当 时，，故B符合题意，D不符合题意． 8．D 【分析】根据函数的比例系数k的绝对值越大，越靠近y轴，结合图象分布，去掉绝对值求解即可； 【详解】解：根据题意，得，且， ； 根据题意，得，且， ， ， ； 9．D 【分析】先分别求出该时段内甲、乙两仓库的快件数量与时间之间的函数关系式，再根据两仓库快递件数相差100件建立方程，解方程即可． 【详解】解：设该时段内甲仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， ∴该时段内甲仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 设该时段内乙仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， ∴该时段内乙仓库的快件数量与时间之间的函数关系式为， 当两仓库快递件数相差100件时，则有， 整理得：， ∴或， 解得或， ∴从开始经过10分钟或30分钟时，两仓库快递件数相差100件， ∴当两仓库快递件数相差100件时的时刻为9点40分或10点． 10．A 【分析】过作交轴于，得出点 和点 关于直线 对称，连接交 于点 ，此时四边形 周长最小，通过求直线与 的交点坐标求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 设直线 解析式为 ，将代入得， 解得， ∴直线 解析式为 ， ， ， ， 为 中点， ， ∵四边形 周长 ，其中 为定值， ∴要使周长最小，需 最小 ， 过作交轴于， ∵， ∴， ∴，， ∴， 点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于点 ，此时 最小， 直线 为 ， 设直线解析式为 ， 将 ，代入得 ， 解得 ， 直线解析式为， 联立 ， 解得 ， 点的坐标为． 11． 【分析】先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的新直线解析式，再令求出的值，即可得到新直线与轴的交点坐标． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位长度后，新直线的解析式为： ∵轴上点的纵坐标为， ∴令，得 解得 新直线与轴的交点坐标为． 12． 【分析】首先明确一次函数图象左右平移的规则：向左平移个单位时，将函数解析式中的替换为，据此写出平移后的函数解析式．因为平移后的图象经过点，所以该点坐标满足平移后的函数解析式，将、代入平移后的解析式，得到关于的一元一次方程．求解上述一元一次方程，即可得到的值． 【详解】解：将原函数向左平移个单位后， 新函数解析式为： ，整理得， 将代入解析式 ， 解得， ． 13． 【分析】观察函数图象，确定直线与轴的交点坐标，根据图象在轴左侧部分的位置即可得出当时的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知随的增大而减小， ∴当时，图象位于点的上方， ∴的取值范围是． 14．或 【分析】本题考查新定义分段函数的求值问题，先根据题目给出的“衍生函数”定义写出一次函数的衍生函数，再根据点横坐标的取值范围分两种情况代入计算，验证解的合理性后即可得到的值. 【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数的“衍生函数”为 ， 点在这个“衍生函数”的图象上， 分两种情况讨论： 当时，将点坐标代入得 ， 解得，满足，符合题意. 当时，将点坐标代入得 解得，满足，符合题意. 综上：的值为或. 15． ①② 【分析】根据图象求出、两种方案在不同通话时间范围内的费用表达式，再分别代入计算验证各结论． 【详解】解：由图象可知： 当 时，； 当时，设，图象过点，， ，解得， ； 当 时，； 当时，设，图象过点，， ，解得， ； 对于①，当时，，即方案比方案便宜元；故①正确； 对于②，当时，，即方案比方案便宜元；故②正确； 对于③，若两种方案通讯费用相差元，即； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 当时，，无解； 综上所述，若两种方案通讯费用相差元，通话时间是或；故③错误； 故正确的结论是①②． 16．(1)60千米 (2)甲汽车的速度：100千米/小时，乙汽车的速度是75千米/小时 (3)从出发开始小时内，甲汽车到地的距离大于乙汽车到地的距离 【分析】（1）由纵轴起点直接读出两地总路程； （2）总路程除以各自走完全程的时间得到两车速度； （3）分别写出甲、乙到地距离关于的表达式，建立不等式，解出符合实际行程的时间区间． 【详解】（1）解：由图像可知，乙从地出发，初始离地距离为 60km， 因此两地之间的距离是． （2）解： （3）解：设行驶时间为 甲到地距离： 乙到地距离： 列不等式： 结合实际行程时间范围 当 时，甲汽车到地的距离大于乙汽车到地的距离． 17．(1)解：列表， 描点，连线， ， ∴点，； (2)． 【分析】通过列表、描点、连线的步骤即可画出函数图象，再由图象可得，两点的坐标； 由，，则，，然后通过的面积为即可求解． 【详解】（1）解：画图略， 由图象可知，，； （2）解：∵，， ∴，， ∴的面积为． 18．(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据表格信息即可得出答案； （2）根据表格得出不挂物体时，弹簧的长度为，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加，得出伸长量与增加的质量的关系，即可解答； （3）将代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由表可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长 . （2）解：从表中数据可知，不挂物体时，弹簧的长度为 ，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加， ∵， ∴当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长， ∴y与x之间的关系式为． ∵弹簧最大能够承受的重物， ∴自变量x的取值范围是. （3）解：将代入， 得，     解得，     当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为． 19．(1)， (2)2 (3)， (4)或 【分析】（1）根据交点坐标即可求解； （2）根据题意可得，作，即可求解； （3）当时，时，分类讨论即可； （4）题意得 ，，根据等式化简求值即可. 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴，则，得， ∴； ∵直线与轴交于点， ∴ （2）解：∵点落在直线上 ∴，将代入直线得 ，解得 ∴ 如图；作 ∴ ∴ （3）解：∵是直角三角形时，则 ，， ①当时， ∵ ， ， ∴ ，解得 ②当时， ∴ ∴,则 ∴，； （4）解：由题意得 ， 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得 ∴直线的解析式为 ， 设直线与直线交于点，则 ∵ ∴ ∴； ∵ ∴， ∴， 即 或， 解得或. 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，直角三角形存在问题，面积问题，难点较大，需要具备对综合知识的理解运用能力. 20．(1)，； (2) (3)或或或 【分析】（1）根据解析式，分别令和，求出的坐标，勾股定理求出的长即可； （2）根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）知：，； ∴，， ∵过点作直线AB于点且点与点重合， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设，由（1）知：，； 当为等腰三角形时，分种情况： ①时，则，解得或， ∴或 ②当时，则，解得， ∴； ③当时， ∵轴， ∴， ∴； 综上：或或或. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $